2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）圆周角定理

圆周角定理40．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70° B．105° C．125° D．155°【答案】D【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．【解答】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB=180°−140°∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC＋∠OCP＝140°＋∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故选：D．【点评】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得∠BPC的范围是解题的关键．圆周角定理42．（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．（1）求证：∠ADC－∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）8．【分析】（1）方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；方法二：连接BC，利用圆周角定理求得∠ACB＝90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；（2）根据方法二中的图形易证得△PBC∽△PCA，结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例求得PB的长，继而求得AP的长．【解答】（1）证明：方法一：如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ADC－∠BAC＝90°；方法二：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠PBC－∠BAC＝90°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∵∠PBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠PBC，∴∠ADC－∠BAC＝90°；（2）解：由上图可得∠ADC＝∠PBC，∵ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA，∵∠BPC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA，∴PBPC∴PC2＝PA•PB，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴PA＝PB＋6，∵CP＝4，∴42＝（PB＋6）•PB，解得：PB＝2或PB＝－8（舍去），则AP＝2＋6＝8．【点评】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中结合已知条件证得△PBC∽△PCA是解题的关键．圆周角定理37．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是4．【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据垂径定理得OM⊥AC，根据圆周角定理得∠C＝90°，根据勾股定理得AB=122+52=13，根据三角形中位线定理得OD=12BC＝2.5，OD∥BC，所以OD【解答】解：∵点M是弧AC的中点，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB=1∴OM＝6.5，∵点D是弦AC的中点，∴OD=12BC＝2.5，OD∥∴OD⊥AC，∴O、D、M三点共线，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键．圆周角定理44．（2023•成都）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的长．【考点】圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）结合已知条件，根据同弧所对的圆周角相等易证得∠ADE＝∠ACE＝∠BAC＝∠B，再由等边对等角即可证得结论；（2）连接AE，易证得△ABC∽△ADE，根据已知条件，利用直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝∠ADC＝90°，根据三角函数值可得AD＝2BD，再结合，CD＝3，AC＝3+BD，利用勾股定理列得方程，求得CD的长度，从而得出AD，BC，AB的长度，再利用相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC；（2）解：如图，连接AE，∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴tanB=AD∴AD＝2BD，∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD+CD＝BD+3，∵AD2+CD2＝AC2，∴（2BD）2+32＝（BD+3）2，解得：BD＝2或BD＝0（舍去），∴AD＝2BD＝4，AB=AD2+BD∵ADAB∴42∴DE＝25．【点评】本题主要考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用三角函数值可得AD＝2BD，再根据勾股定理列得方程是解题的关键．圆周角定理46．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（）A．140° B．120° C．110° D．70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】连接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C为AB的中点．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．【解答】解：连接OC，如图：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，∵C为AB的中点．∴BC=∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，故选：A．【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．圆周角定理42．（2023•云南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（）A．66° B．33° C．24° D．30°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【解答】解：∵∠A=12∠BOC，∠∴∠A＝33°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．圆周角定理43．（2023•苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1A．2 B．223 C．75【考点】圆周角定理；解直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】如图，过C作CH⊥AO于H，证明∠COD＝∠BOE＝∠CAO，由S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，可得BHCE=23，证明tan∠A＝tan∠BOE，可得CHBE=AHOB=23【解答】解：如图，过C作CH⊥AO于H，∵CD=∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，∵S1S2∴CHBE∵∠A＝∠BOE，∴tan∠A＝tan∠BOE，∴CHAH=BE设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO，∴OH＝3m﹣2m＝m，∴CH=9∴tan∠A=CH∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴tan∠ACO=2故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．圆周角定理42．（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【答案】C【分析】先由平角定义求得∠AOD＝56°，再利用圆周角定理可求∠ACD．【解答】解：∵∠BOD＝124°，∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD=12∠故选：C．【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得∠AOD＝56°是解决本题的关键．圆周角定理44．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°【答案】D【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC的度数，再利用圆周角定理可求解．【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC=12∠故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．45．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】先根据圆周角定理求得∠AOD＝40°，再由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．【解答】解：连接OD，如图，∵∠C＝20°，∴∠AOD＝40°，∵∠BPC＝70°，∴BDP＝∠BPC﹣∠B＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDP＝40°，故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．圆周角定理34．（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．【答案】4．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3311【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，∵360°÷110°＝3311∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4．【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．圆周角定理39．（2023•随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为30°．【答案】30°．【分析】连接OC，根据垂径定理及圆心角、弧、弦的关系求得∠AOC的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得答案．【解答】解：如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴AC=∴∠AOC＝∠AOB＝60°，∴∠ADC=12∠故答案为：30°．【点评】本题考查圆的有关性质的应用，结合已知条件求得∠AOC的度数是解题的关键．圆周角定理43．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】D【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．44．（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝35°．【答案】35．【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝20°，∴∠ADC＝∠ABC＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠故答案为：35．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．圆周角定理24．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，BC=5，求⊙O【答案】（1）证明过程见答案；（2）52【分析】（1）利用圆周角定理可得∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，结可求得BE＝2，DB=5，利用勾股定理可求解DE【解答】（1）证明：∵∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∴∠AOB＝2∠BOC；（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB=12∠∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，BC=5∴BE＝2，DB=5在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴DE=B在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得OB=5即⊙O的半径是52【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键．圆周角定理40．（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵AC=∴∠D＝∠ABC＝40°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．41．（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】由圆周角定理即可得到答案．【解答】解：∵∠C=12∠AOB，∠∴∠AOB＝80°．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．圆周角定理35．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：BE＝CF，∠BDC＝30°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：BF＝CF+2AM；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP7+74或7−【答案】7+74或【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAE即可得出结论；（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第3小题的结论得到三角形的高，△ABP的面积即可求出．【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，理由如下：如图1所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠AOE∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACD+∠BDC，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：如图2所示：证明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；（3）BF＝CF+2AM，理由如下：如图3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，EAF＝90°，∴EF＝2AM，∵BF＝BE+EF，∴BF＝CF+2AM；（4））如图4所示：连接BD，以BD为直径作圆，由题意，取满足条件的点P，P′，则PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，∴BD＝22，∴BP=B连接PA，作AF⊥PB于点F，在BP上截取BE＝PD，∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，∴△ADP≌△ABE（SAS），∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，∴∠PAE＝90°，由（3）可得：PB＝PD＝2AF，∴AF=PB−PD∴S△PAB=12PBAF同理可得：S△P′AB=7+故△ABP的面积为：7+74或【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．圆周角定理37．（2023•烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为52.5°．【考点】圆周角定理．【分析】由图形求出∠BOD的度数，由圆周定理得到∠BAD=12∠【解答】解：设量角器的圆心是O，连接OD，OB，∵∠BOD＝130°﹣25°＝105°，∴∠BAD=12∠故答案为：52.5°．【点评】本题考查圆周角定理，关键是