河北省石家庄八十一中学2023-2024学年上学期12月月考九年级数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省石家庄八十一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共16小题，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)A.y=x2 B.y=1x2.对这一组数2，4，6，5，7，3的说法正确的是(

)A.这组数的平均数是5 B.这组数的中位数是5.5

C.这组数没有众数 D.这组数的方差是353.身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是(

)A.9米 B.10米 C.13.4米 D.14.4米4.下列命题在，正确的是由(

)

①平分弦的直径垂直于弦；

②经过三角形的三个顶点确定一个圆；

③圆内接四边形对角相等；

④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.A.①② B.②③ C.② D.①④5.设a、b是方程x2+x−2014=A.2014 B.2013 C.2012 D.20116.已知关于x的一元二次方程m(x−h)2−k=0(m,hA.x1=−3，x2=−6 B.x1=−47.已知x2−5xy+6yA.16或1 B.6或1 C.13或8.在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：asinA=bsinB=csinC=2R(其中RA.16π3 B.64π3 C.9.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP=4，∠APOA.3

B.5

C.210.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COA.4 B.3 C.2 D.111.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为(−2,3)，(1,3)，点MA.3

B.4

C.5

D.612.如图，AB=6，点C是AB上的动点，以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形，M、N分别是CD、BE中点，MN最小值是(

)A.3

B.32

C.313.如图，点P在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，过点P作PQ//x轴，交y轴于点Q，将点P绕线段PQ的中点M逆时针旋转90∘得到点P′，点A.2

B.4

C.8

D.1614.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,A.ab<0

B.4ac−b2

15.如图，在平面直角坐标系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，A

A.11.4 B.11.6 C.12.4 D.12.616.如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于Q，PR⊥BE于R.有下列结论：①△A.1

B.2

C.3

D.4二、填空题：本题共3小题，每小题2分，共6分。17.直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径等于______.18.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=90∘，D为AB中点，E在线段

19.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON=______

三、计算题：本大题共1小题，共9分。20.解方程

(1)(2x+1)2=3四、解答题：本题共6小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题8分)

某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过W吨的部分按4元/吨收费，超出W吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表，请根据如图表提供的信息，解答下列问题：组别月用水量

x吨/人频数频率第一组0.51000.1第二组1n第三组1.52000.2第四组2m0.25第五组2.51500.15第六组3500.05第七组3.5500.05第八组4500.05合计1(1)观察表可知这次抽样调查的中位数落在第______组，表中m的值为______，n的值为______.扇形统计图中“用水量2.5<x≤3.5”部分的圆心角为______.

(2)如果W为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，W22.(本小题10分)

如图，小明在大楼的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15∘，山脚B处的俯角为60∘，已知该山坡的坡角∠ABC=30∘点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.

(1)山坡23.(本小题10分)

如图①，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现：∠A=∠E=90∘，AE=5，AB=DE=1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4.

(1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为(−1,0)；点B的坐标为(−1,1).

请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；

(2)求直线BC，曲线CD的函数表达式；

(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP，其中M24.(本小题11分)

如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC=PA.

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点25.(本小题12分)

如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1.

(1)求抛物线的表达式；

(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

(26.(本小题12分)

已知在矩形ABCD中，E，F是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交边DC于点H.

【发现】如图1，以EF为直径作⊙O，点A______(填“在”或“不在”)⊙O上；当AE=AF时，tan∠AEF的值是______；

【论证】如图1，当FE=FH时，求证：AD=AE+DH；

【探究】如图2.当E，F是边AB，AD的中点时，若AB=8，DH=2，求EH的长；

【拓展】如图3.将矩形换为平行四边形，在平行四边形ABCD中，答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、抛物线y=x2经过点(0,0)，故符合题意；

B、双曲线y=1x不经过点(0,0)，故不符合题意；

C、抛物线y=(x2.【答案】D

【解析】解：A、平均数为2+3+4+5+6+76=4.5，此选项错误；

B、重新排列为2，3，4，5，6，7，中位数是4+52=4.53.【答案】D

【解析】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．

∴1.6：1=旗杆的高度：9，

∴旗杆的高度为：14.4(米).

故选：D4.【答案】C

【解析】解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，①错误；

②经过三角形的三个顶点确定一个圆，②正确；

③圆内接四边形对角互补，③错误；

④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，④错误．

故选：C.

根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．

5.【答案】B

【解析】解：∵a是方程x2+x−2014=0的实数根，

∴a2+a−2014=0，

∴a2+a=2014，

∴原式=2014+a+b，

∵a、b是方程x2+x6.【答案】C

【解析】解：∵关于x的一元二次方程m(x−h)2−k=0的解是x1=3，x2=6，

∴二次函数y=m(x−h)2−k的图象与x轴的交点坐标为(3,0)，(6,0)，

∵将二次函数y=m(x−h)2−k的图象向右移动1个单位长度，新图象的函数解析式为：y=m(x−h−1)7.【答案】C

【解析】解：∵x2−5xy+6y2=0，

∴(x−2y)(x−3y)=0

∴x−2y=0，x−38.【答案】A

【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180∘，

∴∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−75∘−459.【答案】D

【解析】解：连接OB，过O作OC⊥AB于C，

则∠OCP=90∘，

∵OP=4，∠APO=30∘，

∴OC=12OP=2，

在Rt△OCB中，由勾股定理得：BC=10.【答案】B

【解析】解：∵∠AOB=∠COD，

∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，

即∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，

∴△AOC≌△BOD(SAS)，

∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，

故①正确，符合题意；

∵∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，

∴∠AMB=∠AOB=40∘，

故②正确，符合题意；

如图所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，

则∠OGC=∠OHD=90∘，

在△OCG和△ODH中，

∠OCA=∠ODB11.【答案】B

【解析】解：当顶点为(−2,3)时，函数的对称轴为x=−2，

∵M的横坐标为−5，

∴N的横坐标为1，

∴MN=6，

当顶点为(1,3)时，M点横坐标为−2，

∴N的横坐标为4；

故选：B.

当顶点为(−2,3)12.【答案】D

【解析】解：如图所示，连接CN，

∵△BCE，△ACD是等边三角形，点N是BE的中点，

∴∠ACD=∠BCE=60∘,∠BCN=12∠BCE=30∘，BN=12BE=12BC，

∴∠MCN=180∘−∠ACD−∠BCN=90∘，

设AC=2x，则13.【答案】D

【解析】解：设P(m,km)(m>0)，则M(12m,km)，

∴PM=12m，

∵将点P绕线段PQ的中点M逆时针旋转90∘得到点P′，

∴P′M⊥PQ，P′M=PM=12m，

∴P′(12m,km+14.【答案】C

【解析】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，

∴a<0，c<0，−b2a>0，

∴b>0，

∴ab<0，故A正确，不符合题意；

∵y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac−b24a，抛物线的顶点在第一象限，经过点(1,1)，对称轴为直线x=m+32>1，

∴4ac−b24a>1，

∵a<0，

∴4ac−b2<4a，故B正确，不符合题意；

∵抛物线y=ax2+b15.【答案】A

【解析】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T.

∵AD=DC=5，DJ⊥AC，

∴AJ=JC=3，

∴DJ=AD2−AJ2=52−32=4，

∵CD//AT.

∴∠DCJ=∠TAJ，

∵∠DJC=∠TJA，

∴△DCJ16.【答案】D

【解析】解：①∵BE=BC，∴∠QCP=∠REP，又∵∠PQC=∠PRE=90∘，∴△PCQ∽△PER，故正确；

②作△DCE的边DC上的高EF.∵BE=BC=1，∴DE=BD−BE=2−1，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DF=22DE=2−22，∴S△17.【答案】2

【解析】解：如图，△ABC为直角三角形，∠C=90∘，AC=8，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，

连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10，

则OD=OE=r，OD⊥AC，OE⊥BC，

∵∠C=90∘，

∴四边形ODCE为矩形，

而OD=OE，

∴四边形ODCE为正方形，

∴CD=CE=OE=r，

∴AD=8−r，BE=6−r，

∵AF=18.【答案】12或1【解析】【分析】

本题主要考查了平行线分线段成比例．

利用平行线分线段成比例及等边三角形的判定及性质，分两种情况解答即可．

【解答】

解：∵D为AB中点，

∴ADAB=12.当DE//BC时，

ADAB=DEBC=AEAC=12.

当DE与BC不平行时，

DE=DE′，19.【答案】105

【解析】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，

∵点O是正六边形ABCDEF的中心，

∴OA=OB=OF=OE=OD，∠AOB=∠AOF=∠FOE=∠EOD=60∘，

∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD=180∘，

∴D，O，A在一条直线上，∠OAB=60∘20.【答案】解：(1)方程移项得：(2x+1)2−3(2x+1)=0，

分解因式得：(2x+1)(2x+1−3【解析】(1)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到21.【答案】(1)四;250;0.15;72∘.

(2)∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%【解析】解：(1)根据统计表可知，1−(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15，

∴n的值为0.15，

∴抽取的样本总人数为100÷0.1=1000(人)，

∴第四组的频数为1000×0.25=250(人)，

∴m的值为250，

∴扇形统计图中“用水量2.5<x≤3.5”部分的的圆心角为360∘×150+501000=72∘，

∴第二组的频数为1000×0.15=150(人)，

∵100+150+200=450<500，100+150+200+250=700>501，

∴第500与第22.【答案】1：3【解析】解：(1)∵山坡的坡角∠ABC=30∘，

∴山坡AB的坡度为tan30∘=33=1：3；

(2)由题意得PD//HC，AB⊥BP，PH⊥HC，∠DPA=15∘，∠DPB=60∘，AB=20米．

∵PD//HC，

∴∠PBH23.【答案】72【解析】解：(1)由题意，如图如下：

(2)由题意可得B(−1,1)，C(1,4)，D(4,1).

设直线BC：y=mx+n.

则有−m+n=1m+n=4，

解得m=32n=52，

∴直线BC：y=32x+52，

设曲线CD：y=kx，则k=xy，

把C(1,4)代入得k=1×4=4，

则反比例函数的表达式为：y=4x；

(3)如图，设点M的横坐标为m，则点P坐标为24.【答案】(1)证明：连接OC、OP，如图1所示：

∵点C在⊙O上，

∴OC为半径．

∵PA与⊙O相切于点A，

∴OA⊥PA.

∴∠PAO=90∘.

在△PCO和△PAO中，OC=OAOP=OPPC=PA，

∴△PCO≌△PAO(SSS)，

∴∠PCO=∠PAO=90∘，

∴PC⊥OC.【解析】解：(1)见答案；

(2)①见答案；

②如图3所示：

∵△PCA是等边三角形，

∴PM=AM=3，

∴CM=3PM=3，

∵△PAC的内切圆圆心为I，则CI=23CM=2，

在Rt△CEI中，由勾股定理得：IE=CI2+CE2=7；

故答案为：7.

25.【答案】解：(1)在y=43x+4中，当x=0时，y=4，

∴C点坐标为(0,4)，

当y=0时，43x+4=0，

∴x=−3，

∴A点坐标为(−3,0)，

∵对称轴为直线x=−1，

∴B点坐标为(1,0)，

∴设抛物线的表达式为y=a(x