湖南省娄底市涟源岛石中学高二数学文测试题含解析

湖南省娄底市涟源岛石中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的单调递减区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.设，若，则的最小值为()A.4

B.8

C.1

D.参考答案：A略3.极坐标方程ρ=cos（﹣θ）表示的曲线是（）A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆参考答案：D【考点】极坐标系和平面直角坐标系的区别．【分析】分析根据极坐标系与直角坐标系的关系，把极坐标方程方程转化为直角坐标系下的方程，再分析其所表示的曲线是什么．【解答】解：原坐标方程可化简为即又有公式所以可化为一般方程．是圆的方程故答案选择D．4.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的（

）A.若,,,则

B.若,,,则C.若,,,则

D．若,,,则参考答案：D略5.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（

）A.0 B. C.0或 D.以上都不对参考答案：B【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB?平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE，不满足AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ综上所述，得所求余弦值为故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．6.已知,则复数z=（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据复数的乘法运算求得，再根据共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知：

本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求解问题，属于基础题.7.函数处的切线方程是

A． B．C．

D．参考答案：8.如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是（

）.A.B.或

C.D.或参考答案：D9.已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的（

）A.充分条件B.必要条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件参考答案：B【分析】先写出原命题的逆命题，再根据逆命题是真命题，判断出是的必要条件.【详解】由题得“若，则”的逆命题为“若，则”.因为逆命题是真命题，所以，所以是的必要条件.故答案为：B【点睛】本题主要考查原命题的逆命题和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交F于A，B两点.若AB的中点坐标为(1,－1)，则E的方程为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤}，B={（x，y）||x﹣1|+2|y﹣2|≤a}，且A?B，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥【考点】集合的包含关系判断及应用．

【专题】计算题；集合．【分析】首先，令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），然后，将集合A，B用m，n表示，再结合条件A?B，进行求解．【解答】解：令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），根据集合A得，m2+n2≤，根据集合B得，m+2n≤a，∵A?B，∴a≥（a+2b）max，构造辅助函数f（m）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣）f（n）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣），∴f′（m）=1+2λm，f′（n）=2+2λn，令f′（m）=1+2λm=0，f′（n）=2+2λn=0，得到m=﹣，n=﹣，∵m2+n2=，∴λ=±1，∵m≥0，n≥0，∴λ=1，∴m=，n=1时，a+2b有最大值，∴a≥（a+2b）max=+2=，∴a≥，故答案为：a≥．【点评】本题重点考查集合间的基本关系，属于中档题．12.命题：“?x＜﹣1，x2≥1”的否定是．参考答案：?x＜﹣1，x2＜1【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“?x＜﹣1，x2≥1”的否定是?x＜﹣1，x2＜1；故答案为：?x＜﹣1，x2＜1．13.若在区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2=2内的概率为．参考答案：【考点】几何概型；简单线性规划．【专题】数形结合；概率与统计；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应区域的面积，根据几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：不等式组对应的平面区域为三角形OAB，其中A（8，0），B（0，2），对应的面积为S=，x2+y2=2表示的区域为半径为的圆在三角形OAB内部的部分，对应的面积为，∴根据几何概型的概率公式，得到所求对应概率P==．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型的概率公式，利用二元一次不等式组表示平面区域求出对应的面积是解决本题的关键．14.函数，在时，有极值10，则a=

,b=

．参考答案：

略15.若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则+的最小值为．参考答案：3【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，当且仅当x=y=1时取等号．所以的最小值为3．故答案为：316.幂函数在上是减函数，则实数_____参考答案：217.设x，y满足约束条件，的最大值为______.参考答案：【分析】根据不等式组作出可行域，再由线性目标函数的几何意义求得.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示．平移直线，由图可知当直线经过点时，取得最大值．【点睛】本题考查线性规则问题，考查数形结合的思想，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的应用．【分析】（Ⅰ）由题意知，所以a2=4b2，由此可知椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由题设得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是：．（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．由此入手可知直线ME与x轴相交于定点（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以，即a2=4b2，∴a=2b又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：．（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．19.（本小题满分12分）求二项式(－)15的展开式中：（1）常数项；（2）有几个有理项；（3）有几个整式项．参考答案：解：展开式的通项为：Tr+1=

=

(1)设Tr+1项为常数项，则=0，得r=6，即常数项为T7=26；

(2)设Tr+1项为有理项，则=5-r为整数，∴r为6的倍数，又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数，故共有3个有理项．

(3)5-r为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项．

20.已知，不等式的解集是．（1）求a的值．（2）若存在实数解，求实数k的取值范围．参考答案：(1),(2).试题分析：（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；（2）根据不等式的性质求出最小值，得到关于k的不等式，解出即可．解析：（1）由，得，即，当时，，所以，解得；当时，，所以无解.所以

(2)因为，所以要使存在实数解，只需，所以实数的取值范围是.点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，以及函数恒成立求参的方法．21.已知函数，（1）若，，判断在(－∞,1)上的单调性，并用定义证明；（2）已知，存在，对任意，都有成立，求a的取值范围．参考答案：(1)减函数，证明见解析；(2)【分析】（1）先求得的解析式，然后判断函数在递减，并利用单调性的定义，证明结论成立.（2）将原不等式等价转化为存在，使得，求得的取值范围，首先证得恒成立，然后对分成和两种情况分类讨论，结合求得的取值范围.【详解】（1），且，，在上为减函数证明：任取、，且，，即在上为减函数.（2），对任意，存在，使得成立，即存，使得，当，为增函数或常函数，此时，则有恒成立当时，，当时，，..故实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查存在性问题和恒成立问题组合而成的不等式的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.22.已知函数，，曲线在处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，则实数k的取值范围.参考答案：（1）（2）见解析(3)【分析】（1）由题意利用导函数与原函数的关系得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；（2）构造函数φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，利用导函数的性质确定其最小值即可证得题中的不等式；（3）将原问题转化为≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，然后构造函数结合(2)中的结论求解实数k的取值范围即可.【详解】（1）f（x）=ex-x2+a，f'（x）=ex-2x．由已知?，f（x）=ex-x2-1．（2）令φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，φ'（x）=ex-1，由φ'（x）=0，得x=0，当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x．（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立?≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=，x＞0，∴g′（x）=，由（2）可知当x∈（0，+∞）时，ex-x-1＞0恒成立，令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．∴k≤g（x）m