福建省莆田市新度中学高二数学文上学期期末试卷含解析

福建省莆田市新度中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：C【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】先求出f（e）=0，结合函数的单调性，从而得到函数的零点所在的区间．【解答】解：∵f（e）=lne﹣1=0，f（x）在（0，+∞）递增，而2＜e＜3，∴函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间是（2，3），故选：C．2.已知函数f（x）=ex（x2﹣bx）（b∈R）在区间[，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（

）

A、（﹣∞，）

B、（﹣∞，）

C、（﹣，）

D、（，+∞）参考答案：B

【考点】利用导数研究函数的单调性【解答】解：∵函数f（x）在区间[，2]上存在单调增区间，

∴函数f（x）在区间[，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．

f′（x）=ex[x2+（2﹣b）x﹣b]，

设h（x）=x2+（2﹣b）x﹣b，则h（2）＞0或h（）＞0，

即4+2（2﹣b）﹣b＞0或+（2﹣b）﹣b＞0，

得b＜．

故选：B

【分析】利用导函数得到不等式成立问题，然后求解b的范围．

3.设二次函数在区间上为减函数，则实数的范围为.

.

.

.

参考答案：C4.定积分(－x)dx的值为_______________________参考答案：-略5.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，在由所给该几何体的俯视图构成的几何体中，表面积最大的是

（

）参考答案：A6.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是(

)A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．【解答】解：两直线的斜率分别为和，△ABC中，由正弦定理得=2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于，故两直线垂直，故选A．【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件．7.函数单调递增区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则直线xsinA+ay+c=0与直线bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直参考答案：B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用正弦定理和直线的斜率的关系判断两直线的位置关系．【解答】解：∵直线xsinA+ay+c=0的斜率k1=﹣，直线bx﹣ysinB+sinC=0的斜率k2=，∴k1k2=﹣=﹣1．∴直线xsinA+ay+c=0与直线bx﹣ysinB+sinC=0垂直．故选：B．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．9.下列值等于1的积分是（）A. B. C. D.参考答案：C试题分析：因,,,故应选C．考点：定积分及运算．10.下列求导数运算正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设P是边长为2的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为、、，则；类比到空间，设P是棱长为2的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和______.参考答案：【分析】根据平面正三角形利用等面积法可得，因此空间正四面体利用等体积法即可。【详解】间正四面体如下图由题意可得边长为2，设每个面的面积为即【点睛】把平面知识类比到空间知识，是高考的常考思想，本题属于中档题。12.对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是 ．（注：表示x，y，z中的最大者．）参考答案：100313.在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为

．参考答案：﹣1

【考点】椭圆的简单性质．【分析】由C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=c，∠PFO=60°，△FPO为等边三角形，边长为c，P（﹣c，c），代入椭圆方程：+=1，由b2=a2﹣c2，e=，0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，且直线PF的斜率为，则∠PFO=60°，∴△FPO为等边三角形，边长为c，则P（﹣c，c），代入椭圆方程：+=1，由b2=a2﹣c2，e=，则e4﹣8e2+4=0，解得：e2=4±2，由0＜e＜1，解得：e=﹣1，椭圆的离心率﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，三角形中位线的性质，考查数形结合思想，属于中档题．14.设，则a，b的大小关系为．参考答案：a＜b【考点】不等式比较大小．【分析】作差利用分母有理化因式即可得出．【解答】解：b﹣a=﹣+＞0，∴b＞a．故答案为：a＜b．15.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E到面ACD1的距离是．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面ACD1的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面ACD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，1，2），∴点E到面ACD1的距离：d==．故答案为：．16.已知随机变量ξ的概率分布规律为，其中a是常数，则的值为．参考答案：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】利用所有概率的和为1，求出a的值，利用=P（ξ=1）+P（ξ=2），可得结论．【解答】解：由题意，由所有概率的和为1可得，∴a==P（ξ=1）+P（ξ=2）===故答案为：17.参数方程的普通方程为__________________。参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出-投资额72万元）（1）该厂从第几年开始盈利？（2）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.参考答案：(Ⅰ)依题意前年总收入-前年的总支出-投资额72万元,可得----------3分由得,解得--------------5分由于,所以从第3年开始盈利.---------------------------6分(Ⅱ)年平均利润------------8分当且仅当,即时等号成立----------------------10分即第6年,投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元---------------12分19.如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.（1）求直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案：（1）（2）解析：解：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则由题意可得：,,,,,,又分别是的中点，,.

…………3分（1）因为，，所以，

…………7分直线与所成角的大小为.

…………8分（2）设平面的一个法向量为,由,得,可取，

…………10分又，所以，……13分直线与平面所成角的正弦值为.

…………14分

略20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为F12．F（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；参考答案：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．21.一个四棱椎的三视图如图所示：（I）求证：PA⊥BD；（II）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；（2）假设存在点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q﹣AC﹣D的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得=．【解答】解：（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形∴四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD，连接AC、BD交于点O，连接PO．

…∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PO，又∵BD⊥AC，PO、AC是平面PAC内的相交直线∴BD⊥平面PAC，结合PA?平面PAC，得BD⊥PA．…（II）假设存在点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°∵AC⊥BD，AC⊥PO，BD、PO是平面PBD内的相交直线∴AC⊥平面PBD∴AC⊥OQ，可得∠DOQ为二面角Q﹣AC﹣D的平面角，…（8分）由三视图可知，BC=2，PA==2，在Rt△POD中，PD=2，OD=，则∠PDO=60°，在△DQO中，∠PDO=