初中数学120大招-附4 全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略

全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略考点一全等三角形的概念考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和考点三全等三角形的性质考点四用SSS证明三角形全等考点五用SAS证明三角形全等考点六用ASA证明三角形全等考点七用AAS证明三角形全等考点八用HL证明三角形全等典型例题典型例题考点一全等三角形的概念例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'【解析】【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【解析】【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．【答案】45【解析】【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接

∵图中是的正方形网格∴，，∴∴，∵∴，即∴∵∴∵∴故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【解析】【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；【详解】如图所示，在△ACB和△DCE中，，∴，∴，∴；故答案是：．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．考点三全等三角形的性质例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．无法确定【答案】A【解析】【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵和全等，，对应∴∴AB=DF=4故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（

）A．80° B．70° C．65° D．60°【答案】B【解析】【分析】由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．【详解】，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．(1)解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，∴AE＝BD＝4cm，∴DE＝AD+AE＝6cm．(2)∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝∠CAE∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点四用SSS证明三角形全等例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．(1)求证：；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）运用SSS证明即可；（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．(1)在和中，，∴(SSS)；(2)AC和BD的位置关系是，理由如下：∵∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式训练】1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；(1)与相等吗？请说明理由．(2)若，，AF平分时，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【解析】【分析】（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．(1)解：，理由如下：∵∴在和中∴∴(2)解：∵∴∴∵平分∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．考点五用SAS证明三角形全等例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.【详解】证明：∵点O是线段AB的中点，∴，∵，∴，在△AOD与△OBC中，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】利用，得到，再用，，得到≌（SAS），然后用三角形全等的性质得到结论即可．【详解】证明：，，在和中，≌（SAS），．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．求证：△ABE≌△DCF．【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；【详解】证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，∴BE=CF，△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．考点六用ASA证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）∠B＝90°（已证）∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）∴∠DCE＝∠A（同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．(1)证明：在△ABO与△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（ASA）∴AB＝DC；(2)证明：∵△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB＋OD＝OC＋OA，∴BD＝AC，在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明；（2）由邻补角的定义求出，进而得到，再利用两直线平行同旁内角互补求出．由两直线平行得(1)证明：，，在和中，，．(2)解：，，，，，，．【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．考点七用AAS证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析【解析】【分析】根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．【详解】解：△BDO与△CEO全等；∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，又∵∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO，∵在△BDO与△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．【答案】见详解【解析】【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB=CD．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【答案】(1)证明见解析(2)BD＝1【解析】【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．(1)证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．(2)∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．考点八用HL证明三角形全等例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明．(1)解：∵BF=CE，∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，又∵AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴AE=DF；(2)解：，理由如下：∵Rt△ABE≌Rt△DCF，∴∠B=∠C，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB≌△BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．【答案】(1)见解析(2)18°【解析】【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）先求出∠ABC的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD的度数，由此即可得到答案．(1)证明：∵∠D=∠C=90°，∴△ABC和△BAD都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；(2)解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，∴∠ABC=36°，∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC=∠BAD=36°，∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．(1)∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；(2)∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·吉林省实验中学八年级阶段练习）下列结论中正确的有（

）①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】根据全等三角形的性质依次判断即可得出结果．【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确，符合题意；②全等三角形对应角相等，正确，符合题意；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，正确，符合题意；④全等三角形周长相等，正确，符合题意；⑤全等三角形面积相等，正确，符合题意．所以正确的有5个，故选：A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，深刻理解全等三角形的性质是解题关键．2．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（

）A．13° B．23° C．33° D．43°【答案】C【分析】根据△ABC≌△DEF，∠FED=15°，得∠CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15°，∴∠CBA=∠FED=15°，∵∠A=132°，∴∠C=180°-132°=15°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．3．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图，点B，F，C，E共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．BF＝EC B．∠B＝∠E C．AC＝DF D．ACFD【答案】A【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴当添加BF＝EC时，可得BC=EF不能判断△ABC≌△DEF当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；当条件AC＝DF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；当添加ACDF时，则∠ACB＝∠DFE，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．4．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（

）A．AB=5，BC=4，AC=10 B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8C．∠A=80°，AB=6，BC=7 D．∠C=90°，AB=9【答案】B【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．【详解】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；B、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；C、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．5．（2022·陕西·西安市东元中学七年级阶段练习）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BE，CD为△ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC=120°；②BD=BG；③△BDF≌△CEF；④BC=BD+CE．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）可对①进行判断；根据“ASA”证明△BCF≌△BGF，可对②进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对③进行判断；由②可得BD=BG，同理可得CE=CG，可对④进行判断．【详解】解：∵∠A=60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线，∴∠EBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=×（180°-∠A）=60°，∴∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）=120°，故①正确；由①得，∠DFB=60°，∠BFC=120°，∵FG平分∠BFC，∴∠BFG=∠BFC=60°，在△BDF和△BGF中，，∴△BDF≌△BGF（ASA），∴BD=BG，故②正确；在△BDF和△CEF中，∠BFD=∠CFE=60°，但没有相等的边，∴△BDF和△CEF不一定全等，故③错误；由②可得BD=BG，同理可得△CEF≌△CGF，∴CE=CG，∴BC=BG+CG=BD+CE，故④正确．∴正确的结论是①②④，共3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC≌△DCB，若∠A＝75°，∠ACB＝45°，则∠BCD等于____．【答案】60°##60度【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，再根据全等三角形对应角相等得到∠BCD=∠ABC，从而得解．【详解】解：∵∠A=75°，∠ACB=45°，∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-75°-45°=60°，∵△ABC≌△DCB，∴∠BCD=∠ABC=60°．故答案为60°．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图确定出对应角是解题的关键．7．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△ACB≌△DBC，你补充的条件是______（填出一个即可）．【答案】(答案不唯一)【分析】本题要判定△ACB≌△DBC，已知∠A＝∠D，，则可以添加从而利用AAS判定其全等．【详解】解：添加，∵，∠A＝∠D，∴△ACB≌△DBC．（AAS）故答案是：(答案不唯一)．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是__________．

【答案】【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC=∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解．【详解】解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∴AE就是∠PRQ的平分线，故答案为：SSS．【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．9．（2022·广西·都安瑶族自治县民族实验初级中学九年级阶段练习）如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE．则∠DAE＝___度．【答案】60【分析】根据△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB=6，根据D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，得到△ACE≌△ABD，推出∠CAE=∠BAD，推出∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．【详解】∵等边△ABC中，∠BAC=60°，AC=AB=6，且D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ACE≌△ABD，∴∠CAE=∠BAD，∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．故答案为：60．【点睛】本题主要考查了等边三角形，旋转，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的边角性质，旋转图形全等性．10．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_____时，∆PEC与∆QFC全等．【答案】1s或3.5s【分析】推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，求出即可得出答案．【详解】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP=CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP=6-t，CQ=8-3t，∴6-t=8-3t，∴t=1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=6-t=3t-8，∴t=3.5；答：点P运动1s或3.5s时，△PEC与△QFC全等．故答案为：1s或3.5s．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，能根据题意得出方程是解此题的关键．三、解答题11．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图，B、D分别是AC、AE的中点，且AB=AD．求证：△ADC≌△ABE．【答案】见解析【分析】利用中点的性质，得到，再根据∠A是公共角，即可证明△ADC≌△ABE．【详解】证明：∵B是的中点，∴，∵D是的中点，∴，∵，∴，即，在和中，，∴．【点睛】本题考查利用SAS证明三角形全等，利用公共角是对应角这一隐含条件进行证明是解题的关键．12．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF＝CD，，且AB＝DE．求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据AF＝CD，可得AC＝DF．再由，可得∠A＝∠D．可利用SAS证得△ABC≌△DEF；（2）根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DFE，即可．（1）证明：∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF．∵，∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE．∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABC≌△DEF是解题的关键．13．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)求证：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的长【答案】(1)见解析(2)BD=6cm．【分析】（1）利用角角边证明△DBC≌△ECA即可；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，在△DBC和△ECA中，∵，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD；（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD=CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．（2022·吉林省实验中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CD，BD的延长线交AE于点F．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：BF⊥AE；(3)若BD=8，DF=2，直接写出△ABE的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)△ABE的面积为40【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断△ACE≌△BCD即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的面积公式即可得到结论．（1）证明：∵∠ACB=90°，E是BC延长线上一点，∴∠ACE=∠ACB=90°，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠FBE=∠CAE，∵∠CAE+∠E=90°，∴∠FBE+∠E=90°，∴∠BFE=180°-（∠FBE+∠E）=180°-90°=90°，∴BF⊥AE；（3）解：∵BD=8，DF=2，∴BF=10，∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD=8，∴△ABE的面积=AE•BF=×8×10=40．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明△ACE≌△BCD．15．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD与BE相交于点O，AD与CE交与点F，AC与BE交于点G．(1)找出图中一对全等三角形，并说明理由．(2)求∠BOD度数．(3)连接GF，判断△CGF形状，并说明理由．【答案】(1)△BCE≌△ACD，理由见解析(2)∠BOD=120°(3)△GFC是等边三角形，理由见解析【分析】（1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明△BCE≌△ACD；（2）由（1）△BCE≌△ACD可以得出∠ADC=∠BEC，而有∠AOB=∠EBC+∠ADB，就有∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°，从而可以求出∠BOD的值；（3）通过证明△BGC≌△AFC就可以得出CG=CF，由∠ACE=60°，就可以得出△CGF是等边三角形．（1）解：△BCE≌△ACD，理由：∵△ABC和△ECD都是等