广西贵港市名校2023-2024学年高二年级上册入学联考数学试卷

2023年秋季高二年级入学检测卷数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若复数z=（2—i）（3+7i）,则z的实部为（）

A.13B.11C.-1D.1

2.已知集合加=何2%—1>3},N={x|l<x+3<10},则MN=（）

A.（2,5）B.（2,7）C.（-2,5）D.（-2,-boo）

3.某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、

高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所

示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（）

4.要得到函数y=cos（心:―1）的图象，需将函数〉=（：05值的图象（）

A.向左平移！个单位长度B.向右平移■个单位长度

71兀

C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度

5.在y=/,y=tanx,y=f工这3个函数中，奇函数的个数为（）

x

A.0B.1C.2D.3

6.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3兀，12兀，母线长为2,则该圆台的体积为（）

A.6兀B.18兀C.7兀D.21K

7.已知向量4=（m,1）,人=（1,1）,则〃的夹角为锐角”是“能>一1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.若直线y=；x+3的倾斜角为a,直线y=丘一5的倾斜角为3a,则％=()

4911

A.-B.5C.-D.—

322

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知向量OA=(1,2),AB=(-3,1),OC=(，”,4),OA±OC,则()

A.03=(-2,3)B.AC=(9,2)

C.IAB-(?C|=V34D.在。。上的投影向量为一0C

II40

10.已知直线x=\是函数/(x)=sin(2x+e)[M<5图象的一条对称轴，贝IJ()

A.0=一看B./(x)的图象关于点票,0对称

/(X)在1方，言)上单调递减

C./(X)的图象关于直线犬=曾对称D.

11.已知一个正八面体A8CE。尸如图所示，48=夜，贝IJ()

A.BE〃平面AOFB.点£>到平面AFCE的距离为1

C.异面直线AE与8尸所成的角为45。D.四棱锥E—ABCD外接球的表面积为4兀

12.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内.已知小岛中

心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是()

A.南偏西45°方向B.南偏西30°方向

C.北偏西30°方向D.北偏西25°方向

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.若直线x+6y—l=0与直线〃a+2y-7=0垂直，则

14.已知圆C：/+,2+2%一分+。=。的半径为3,则。=.

2

15.log9(x+l)+log9f-4+4^的最小值为.

16.已知函数/(x)=｛,'，若从集合｛xwN|x410｝中随机选取一个元素加，则函数

入~~4人,x20,

g(x)=/(y(%)-w)恰有7个零点的概率是.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

17.(10分)

已知AABC的三个顶点为A(l,2),B(-l,2),C(5,4),。为BC的中点，AO所在的直线为/.

(1)求/的一般式方程；

(2)若直线4经过点B,且4〃/,求4在y轴上的截距.

18.(12分)

小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间

(单位：分钟)按照(0,4),[4,8),[8,12),[12,16),[16,20),[20,24]分成6组，画出的频率分布直

(2)求通话时间在区间[4,12)内的通话次数；

(3)试估计小晟这100次通话的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

19.(12分)

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ccosA—acos8+c=0.

（1）求A；

（2）若a=6,求AABC周长的取值范围.

20.（12分）

投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏.假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且

甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为甲、乙、丙、

3

丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响.

（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；

（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率.

21.（12分）

已知大气压强p（帕）随高度/?（米）的变化满足关系式lnp＜）-lnp=姑，p0是海平面大气压强.

（1）世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜马拉雅承包了10座，设在海拔4000米处的大气压强为p',

求在海拔8000米处的大气压强（结果用Po和p'表示）.

（2）我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表:

平均海拔/米

第一级阶梯>4(X)0

第二级阶梯1000-2000

第三级阶梯200-1000

若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为外，在第三级阶梯某处的压强为

“3，2=107,证明：p24P34e°,8〃2.

22.(12分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，PA=AD=2,3CD=AB=3,AB±AD,AB//CD,PA_L平面

ABCD,E,F分别为PC,BC的中点.

（1）证明：平面AEF_L平面尸CD

（2）设尸C与平面4EF交于点。，作出点Q（说明作法），并求PQ的长.

2023年秋季高二年级入学检测卷数学参考答案

1.A

因为z=（2—D（3+7i）=13+Ui,所以z的实部为13.

2.B

因为M={x|x>2},N={x]-2<x<7卜所以MN=（2,7）.

3.A

由图可知高三年级学生人数占总人数的36%,抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为

-^-=125.

36%

4.B

将函数y=cosTEX的图象向右平移上个单位长度得到y=cos[兀（x-■=cos（7ix-1）的图象.

5.D

因为y=d,y=tanx,y=Jsin，这3个函数均为奇函数，所以奇函数的个数为3.

X

6.C

因为圆台的上底面和下底面的面积分别为3兀，12兀，所以该圆台上底面和下底面的半径分别为6,273,

所以该圆台的高为,22—(2百—出丫=1

,故该圆台的体积

V=-h(S,+.[s^+sA=-x]x(3it+>,371x12兀+12兀）=

3\1、।22)3-

7.A

若方的夹角为锐角，则。•人=m+1>0且Q,。不同向，可得团>一1且“H1,故"a,8的夹角为

锐角”是“根>—1”的充分不必要条件.

8.D

14

+

一加1…-2tana，49111

依题意可得tana=—,则tan2a=--------=--,tan3a=tan(a+2a)=乙1=耳，故

2l-tarra1——X—

23

,一11

k=tan3a=——.

2

9.AC

OB=OA+AB=(-2,3),A正确.因为。4,OC,所以。A-OC=机+8=0,贝=—8,所以

AC=OC-OA=(-9,2),B错误.因为AB—OC=(5,—3),所以卜0-困=125+9=取,C正

确.08在。。上的投影向量为0，I。•段r=oc=LoC,D错误.

|oc||oc|(-8)2+4220

10.BCD

因为直线了=正是/（x）图象的一条对称轴，所以2xE+e=H+E,AeZ.又附〈工，所以e=土A

1212223

不正确.当*=詈时，2x+1=2兀，所以/（x）的图象关于点（今可对称.B正确.因为

/==sinful,所以C正确.当］<x<得时，兀<2x+?<£,/（x）单调递减.D

正确.

11.ABD

将正八面体A8CED尸置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，由图可知，

BE〃DF,因为BE《平面AOF,OEu平面ADF,所以〃平面AOF,A正确.连接3。（图略）.由

图可知，点。到平面AFCE的距离为工8。=1,B正确.

2

由图可知，AE//CF,则直线4E与8尸所成角即CF与8尸所成角，因为ABC尸为正三角形，所以

NCFB=60。,C错误.

四棱锥E-ABC。外接球的球心为正方形A8CO的中心，所以外接球的半径为1,故四棱锥E—A3C。外

接球的表面积为4兀，D正确.

12.BCD

如图，以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系，则轮船

所在的位置为A（25,0）,受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为f+y2=400,设轮船航线所

在直线的方程为丁=攵（》一25）,即依一y-25k=0,

由户刈>20,得攵〉£或Z<—d.因为tan45°=l<&<tan60°=g,所以该轮船的行驶路线可以

VFTT333

是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向.

13.-12

因为直线x+6y-l=0与直线如+2y—7=0垂直，所以mxl+2x6=0,解得m=-12.

14.-4

将圆C的方程转化为(尤+l)2+(y-2)2=5—Q,因为圆C的半径为3,所以5—。=9,即。=7.

15.1

(x2+l)二+4)=1+4+432+晨5+2,4X2」=9,当且仅当4产=3，

2

即/=；时，等号成立，所以log4f+D+iogg(±+4)=log9[(x+10

+4>log99=1,故

log(x2+l)+log^4

99—+4的最小值为1.

3_

16.77

由/(x)=。，得X=-3,0,4,当了2。时,/(x)的最小值为-4.

由g(x)=。,得/(X)—加=一3,0,4,即“x)=zw-3'm,m+4-,因为OW〃?W1。,

所以一3W/T7-3W7.而〃?eN,当，"=0时，方程〃X)=/?2—3,=/(%)=m+4的实数解

的个数分别为3,3,2；当相€{1,2,3}时，方程=3,/(x)=m,"x)=，〃+4的实数解的个

数分别为32,2；当me{4,5,6,7,8,9,10}时,方程〃x)=m—3,,f(x)=m,,f(x)=m+4的实数

3

解的个数均为2.所以当加@{1,2,3}时，函数g(x)=/(/(x)-〃7)恰有7个零点，故所求概率为一.

即x—y+1=0.....5分

（2）设4的方程为x—y+/?=O,...6分

将3（—1,2）代入，得一1—2+力=0,即b=3,……8分

所以4在y轴上的截距为3.……10分

18.解：（1）由（0.1+0.06+4+0.02+0.02+0.01）x4=1,……2分

得。=0.04.……4分

（2）因为通话时间在区间［4,12）内的频率为（0.06+0.04）x4=0.4,……6分

所以通话时间在区间［4,12）内的通话次数为100x0.4=40.……8分

（3）这100次通话的平均时间的估计值为

（2x0.1+6x0.06+10x0.04+14x0.02+18x0.02+22x0.01）x4=7.28分钟.……12分

19.解：（1）因为ccosA-acosB+c=0,所以sinCcosA-sinAcosB+sinC=0...1分

又sinC=sin（A+3）=sinAcos5+8sAsinB,3分

所以sinCeosA+cosAsinB=(sinC+sinB)cosA=0.4分

因为sinC+sin3>0,所以cosC=0....5分

IT

又入£（0,兀），所以A=/.……6分

(2)由(1)可知，-"=6,所以Z?+c=6sinB+6sinC....7分

sinA

jrJr

由4=—,得3+C=-,则sinC=cos3,……8分

22

则/?+c=6sin3+6cos3=6>/2sinf8+9)......9分

因为所以8+手）sin（5+：）e孝/，……10分

则b+ce（6,60],故△ABC周长的取值范围为（12,6+60].……12分

20.解：设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A,B,C,D,

则P（4）=P（B）=P（C）=；,P（0=；.……1分

（1）设只有一人投中为事件E,则P（E）=P（A月①+43①+X月C方+而仁。）

=P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）……3分

17

x—=——6分

324

（2）若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次.……8分

设丁获胜为事件M,12分

21.（1）解：设在海拔8000米处的大气压强为p〃，

Inp-Inp'-4000k,

02分

Inp(j-Inp"=8000%,

所以21n"=ln",解得p"=£二

5分

PPP。

(2)证明：设在第二级阶梯某处的海拔为〃2,在第三级阶梯某处的海拔为％3,

则Jnpo_lnp2=lOT/

6分