直线与平面垂直（一） 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册+

8.6.2直线与平面垂直（一）教学目标1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.(重难点)3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.(重难点)问题1

在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性的认识.比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，相邻墙面交线与地面的位置等，都给我们以直线与平面垂直的形象.按照研究一类对象的基本路径，对于直线与平面的垂直，我们要研究哪些内容？按怎样的线索展开研究？研究方法是什么？研究内容：直线与平面垂直的定义、判定、性质等；空间问题平面化问题2

如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？追问1

对于地面上不经过点B的直线，旗杆AB所在直线还与它垂直吗？为什么？旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直.追问2

你还能举出生活中给我们以直线与平面垂直的形象的例子吗？

追问1

我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.练习：判断下列说法是否正确（1）如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内无数条直线垂直.（2）如果一条直线与一个平面内无数条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直.（3）如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线就与这个平面内任意一条直线垂直.（4）如果一条直线与一个平面内任意一条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直.（5）如果一条直线与一个平面部垂直，那么这条直线与这个平面内任意一条直线都不垂直.问题4

我们学习了直线与平面垂直的定义，通过定义可以判定直线是否与平面垂直.你认为用定义判断直线与平面垂直方便吗？你有更好的办法吗？按照研究位置关系的一般观念，应该做怎样的探索？探究：一条直线至少与平面内的几条直线垂直，就能够判定直线与平面垂直？探究1

一条直线与平面内的一条直线垂直，能否判定直线与平面垂直？为什么？探究2

一条直线和平面内的两条直线垂直，能否判定直线与平面垂直？为什么？需要分几种情况进行？依据是什么？两条相交直线或者平行直线探究3

如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.请你动手操作并思考：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？（3）如何验证折痕AD垂直于桌面？追问1

利用探究3能解释沿着高线翻折时，折痕吹吃鱼桌面内的每一条直线吗？探究3

如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.请你动手操作并思考：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？（3）如何验证折痕AD垂直于桌面？追问2

你能利用基本事实2的推论2，或者用平面向量基本定理解释上述猜想吗？

例1

(多选)下列命题中，不正确的是A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α√√√当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以D不正确.跟踪训练1

(多选)下列说法中，正确的是A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可

能平行C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD.若a⊥b，b⊥α，则a∥α√√例2

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，令正方体的棱长为2，连接OM，A1M，∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD.跟踪训练2

如图，在四面体ABCD中，棱CD＝

，其余各棱长都为1，E为CD的中点.求证：(1)CD⊥平面ABE；∵E为CD的中点，且AD＝AC，∴CD⊥AE.又∵BD＝BC，∴CD⊥BE.∵AE∩BE＝E，AE，BE⊂平面ABE，∴