2023届浙江省高考数学一轮复习提升训练-平面解析几何（解答题）【解析版】

《2023届浙江省高考数学一轮复习提升训练》

专题12平面解析几何（解答题）

33.（2022.浙江.高三开学考试）如图，已知双曲线€1：]-/=],经过点且斜率为％的直线/与C交

（向

于48两点，与C的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为MB）,其中后e0,m.

（1）若点T是MN的中点，求火的值；

（2）求△O8N面积的最小值.

【答案】（呜

C瓜一近

―_4-

【分析】（1）联立直线/与双曲线方程，根据点了是儿加的中点，列方程求解即可.

（2）联立直线/与双曲线方程，表示出|BN|的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到

三角形面积表达式，即可求得结果.

(1)

设4（5,乂）,8（々,%）

y=Z:（x-l）+l

联立直线/与双曲线方程尤2消去丫得(1-2公卜2一4%(1-/)》-2(1-%)2=0,

——y2=0

12'

由韦达定理可知，办+“力片丫若等

y=k（x-1）+1_\-k

联立直线/与其中一条渐近线方程I72，解得,

y=x

lT了一"

_"k_k-1

即/=0,，同理可得莅一夜,

------k+k

22

4%-4/

贝jIx”+XM=

I-2k2

则可知AB的中点与MN中点重合.

由于T（Ll）是MN的中点，所以4n）=2,解得衣=；；

(2)

y=&(x—l)+I与]-y2=i联立，消去y得

(l-2)l2)x2-4A:(l-A:)x-2(l-jt)2-2=0

由⑴知I,\BN\=\AM\=.pgS0BN=-S0MN)

20"(1一心2+1.2公

由于[AB|=J1+十，鹏

1-2公

所以网二时迎里手正L

又。到直线的距离"=元方，所以

SQBN2|则"=且心生叵正三叵:

2

.。耽2II2\-2k

_也_________。-2)_________

2J(1-+]_2：2J(]-k)~

S「1_

整理得网2I1-2公।

J1+-----y+1

V(D

1-2公-2t2+4t-l14-

令t=”ke1-冬1则「^二一尸7一2,

(13

当1=2,即4=［时，

t2

六与的最大值为2,所以Som的最小值为6一立.

（1一2）4

34.（2022.浙江.杭十四中高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系xQy中，椭圆C过点（6,；）,焦点

耳（一6,0）,月（百,0）,圆。的直径为百心.

（1）求椭圆C及圆。的方程;

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标；

②直线/与椭圆C交于AB两点.若38的面积为侦，求直线/的方程.

7

【答案】（1）—+/=1,X2+/=3；（2）y=-y/5x+3yf2

4

【详解】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得。力，

即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组

可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得一角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间

距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.

详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为耳卜后,0）,£（6,0）,

f2

可设椭圆C的方程为］•+方v=l（a>b>0）.又点在椭圆c上,

所以/十五一’，解得a2=4,

2

a2—h2=3,b=1,

因此,椭圆C的方程为!

因为圆。的直径为耳马，所以其方程为f+y2=3.

(2)①设直线/与圆O相切于「(毛,%)(玉)>(),%>0),则为2+%2=3,

所以直线/的方程为y=-如-%)+%,g|Jy=-^^+y.

fx2.

了+)，2=1，

由｛3,消去y,得

y=--X+—,

I%%

2222

(4JQ)+y0)x-24A^X+36-4y0=0.(*)

因为直线/与椭圆C有且只有一个公共点，

22

所以△=(-24X0)-4(4V+y；)@6-4%2)=48y0闻-2)=0.

因为题,为>0,所以毛=0,%=I.

因此，点P的坐标为（应」）.

②因为三角形。48的面积为侦，所以』AB0P=2西，从而48=逑.

7277

设A（X”X）,3（X2，%）,

24%士网函-2）

由(*)得&2=

2(4/2+城)

所以AB?=(X1-X2丫+(%-%)'

xj]48yo2(x；-2)

y2222

°i(4x0+y0)

因为X02+为2=3,

2

16(X0-2)32

所以AB=/,\2=右，即2琮-45/2+100=0,

(V+1)49

解得k=：（k=20舍去），则%2=；,因此P的坐标为粤,

综上，直线/的方程为y=S+3应.

点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解;

二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的

情况.

35.（2022•浙江•高三阶段练习）如图，已知抛物线。：尸=2*5>0）的焦点凡且经过点4（2p,m）（m>0）,

M=5.

(2)点M,N在C上，且AM_L4V.过点A作A£)_LMN,。为垂足，证明：存在定点。，使得为定值.

【答案】(1)P=2,m=4-.

(2)证明见解析.

【分析】(1)由抛物线定义有|AF|=2p+5=5求P,由A在抛物线上求〃?即可.

(2)令MN:x=b，+〃，N(x“y°,联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据AM_LAN

及向量垂直的坐标表示列方程，求3〃数量关系，确定MV所过定点8,再由">_LMN易知。在以AB为

直径的圆上，即可证结论.

(1)

由抛物线定义知：|AF|=2p+曰=5,则p=2,

又A(4,⑴(加>0)在抛物线上，则加2=4*4,可得旭=4.

(2)

设M(X1,y),N(再,以)，由(1)知：44,4),

所以AW=(%-4,y-4),47=@-4,必一4),乂AM_LAV,

所以(％—4)(/_4)+(y-4)(%—4)=a/-4(%+/)+M-火乂+y2)+32=0,

令宜线MN:x=6+〃，联立。：丁=4工，整理得丁一以^-4〃=0,且A=16攵2+16〃>0,

所以y+%=4k,yy2=一4〃,则再+%=攵(必+%)+2九=4〃+2〃,x^x2=22yM+初(〉］+%)+=??,

综上，几2-16k2-12〃-162+32=(〃-4攵-8)5+42—4)=0,

当"二8+4%时，MN"=My+4)+8过定点3(8,Y)；

当〃=4—4攵时，加汽:工=%3—4)+4过定点(4,4),即A,例,N共线，不合题意;

所以直线MN过定点8(8,T),又ADJLMN,故。在以A3为直径的圆上，

而中点为。(6,0),即QQ卜惇=2若为定值，得证.

36.(2022・浙江•慈溪中学高三开学考试)已知双曲线=第>())的离心率为孚，且点(3,&)在

C上.

(1)求双曲线C的方程：

(2)试问：在双曲线C的右支上是否存在一点尸，使得过点尸作圆V+y2=l的两条切线，切点分别为A8,

直线A8与双曲线C的两条渐近线分别交于点且5血.=@?若存在，求出点P；若不存在，请说

33

明理由.

【答案】⑴二-y2=1

3

(2)存在，42百,6)或P(2g,-g)

【分析】(1)根据题意即可列出关于a、b、。方程组，即可解出答案；

(2)根据题意设P(x°,>。)，即可求出直线A3的方程，则可求出点的坐标，即可表示出

+y；1।CG

|MN|=j2,再由点。到直线AB的距离d=j,+y2，则可表示出ST"N|M=送落若，

即可求出点P的坐标.

(1)

因为e=£=毡，所以。,二:/二合+/，即^2=3/，

a33

乂点(3,码在双曲线的C:J-£=l(a>08>0)图像匕

o792

所以/一后"I'即套一后"I'解得^=1，"2=3'

所以双曲线C：5一/=］；

(2)

设尸(%,％),

由已知点A,B在以OP为直径的圆卜―5)~+［)告］=丘|区上，

(x-尹+(尸等=宅

又点在/+丁=1上，则有方程组.

x2*4+y2=1

解得直线AB的方程为xax+yay=1,

设直线AB与渐近线y=4x,y=-3x的交点分别为M,N,

3

x(>x+%y=i

13

由，6解得M

，=丁*

%)+丁先

J/

=1

v+yoy

3

1111V3解得N

V=-------X

3%

季3

1

-T

,1

又点。到直线AB的距离为d=&+),

则三角形MQV的面积S=------;—i—xI}/=~?~-----\

22«+%3X”,

2o_^/3173

又因为卒_弁=1,所以5一丁'；3屋了丽，

由已知S=噂，解得尤=3,即%=±6，

因为点P在双曲线右支上，解得%=26，

即点P(2底@或尸(2点一百).

37.(2022•浙江•高三开学考试)己知直线/：＞=h+1与双曲线C:二-V=l交于M、N两个不同的点.

4'

(1)求&的取值范围；

(2)若A为双曲线C的左顶点，点〃在双曲线C的左支上，点N在双曲线C的右支上，且直线M4、附分别

与N轴交于P、。两点，当忸。=1时，求我的值.

【答案】（1）一亚＜k＜亚且&X土:

222

（2）*=—

10

1一4攵2±0

【分析】（1）联立直线与双曲线方程，消元，依题意可得八，即可求出参数的取值范围;

△＞0

（2）设N（七,%）,由（1）可得韦达定理，求出直线M4的方程，即可求出尸点坐标，同理可

得。点坐标，根据忸。=1得到方程，解得即可.

（1）

解：联立方程组■消丁整理得0—必2）/-8丘-8=0,

1-4公w0版也”J

依题意可得《<解得----<k<——且士，.

△=32-64火2>on222

(2)

8k

…=K

解:设〃、N坐标分别为"（％,x）,N5,y）,A（-2,0）,由⑴

2知，—8

直线MA的方程为y=4（x+2）,

（2、

令x=0可得点尸坐标为0,J-

（为+2）

同理点。坐标为0,-以

IZ+2J

由|图T，所以本一备

”以温舄4

所以卜⑸1-2公(1-2"=2(2女一Ip,

整理得20/一必_7=0,即（2k+1）（10"7）=0,

解得％=—万1（舍去7）或4=木7，.・・％=卡.

38.（2022•浙江省淳安中学高三开学考试）如图，已知椭圆三+普=1（。＞方＞0）的离心率为五，以该椭圆

a2b22

上的点和椭圆的左、右焦点斗名为顶点的三角形的周长为4（忘+1）.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,

设尸为该双曲线上异于顶点的任一点，直线尸片和P鸟与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(I)求椭圆和双曲线的标准方程；

(II)设直线PR、PF1的斜率分别为％、k2,证明k”1；

(III)是否存在常数几，使得|/叫+|8|=川阴(力恒成立？若存在，求2的值；若不存在，请说明理由.

22

【答案】(I)椭圆的标准方程为二+二=1;双曲线的标准方程为

84

--^=1(II)占乂=心工=1-(UD存在常数冗.近使得|岗+|凹=川阴・|8|恒成立，

44%—48

c_>/2

【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知：£一彳，

2a+2c=4(0+1),所以a=2也，c—2.

又a2=b?+c2,因此b=2.故椭圆的标准方程为84=1.

由题意设等轴双曲线的标准方程为靠蔗=l(m>0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2,

因此双曲线的标准方程为彳T=i.

-

(2)设A(x”yi),B(X2，y2)，P(xo，yo),则ki=%+2,k2=^2

因为点P在双曲线X?—y2=4上，所以x—y=4.

4.w

因此kpk2=%+2.当・2—%—4=1

即ki-k2=l.

222

(3)由于PFi的方程为丫=履仪+2),将其代入椭圆方程得(2kl+l)x2-8klx+8kl-8=0,

屿2幽T

2J

显然2kl+l#0,显然△>().由韦达定理得X]+X2=内'1,X]X2=叫

所以|AB|=婷J(Xi+xJ-4XiX,

11__1讨+1超

则画+两二砸“'+1+耳+/

又ki-k2=l,

2

史

述

近

111讨+1==

两十函=凝弓+[+持88

所以

3^2

故|AB|+|CD|=8|AB|.|CD|.

3yf2

因此存在入=8，使|AB|+|CD|=MABHCD«l^)ta：.

考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系

点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求

解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式

选取最值的计算方式

39.(2022•浙江•高三开学考试)已知椭圆C5+亲•=l(a>h>0)过点Aif,且以长轴和短轴为对角线

的四边形面积为4〃.

(1)求C的方程；

22

（2）已知椭圆c：会+%=4,在椭圆q上任取三点氏c,r＞,是否存在;i使得△BC。与椭圆c相切于三角形

三边的中点，若存在，求出义的值，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴£+/=i；

4

（2）存在，2=4

,（⑸

【分析】（I）由以长轴和短轴为对角线的四边形面积为4从可得;2山北=4加，求得。=力，再结合A1，Y

\3

在椭圆上得到二十导=1,两式联立即可得到答案；

a4h-

（2）设的中点分别是E,居尸（毛方）,然后得到直线E尸为等+政=1,与椭圆C

进行联立，得到一元二次方程，利用韦达定理以及结合题意通过计算即可得到答案

（1）

以长轴和短轴为对角线的四边形面积为S=；・2a•2b=2",从而2必=4b2,a=2b,

因为A，#）在椭圆上，所以*+京=1，解得a=2,6=1,

所以椭圆方程为三+尸=1

4

（2）

设3（肛〃）,8。,或＞的中点分别是瓦尸,£（5,乂）尸（孙必），则。（2%一肛2y-睢0（2/-八

因为BC,8。均与椭圆c相切于E,尸点，所以BC:.+yy=1,8。:管+y2y=1,

~4~+X"=1

因为3（〃筋）在3。,比＞两直线上，所以，

xm

2+yn=1

~T2

所以（3），（"J在直线詈+“y=i上,即直线所的方程为詈+〃）』,

——mx+ny=.1

22

t得4n+m2m】，八

联立x---r-XH-m—1=0,

16万2n2n2

—X+V2=1

4.

所以％+々8/n

;TA

4n2+m2-4n^—-\-mr

所以％+%=土%+土—

4n4/i4〃4/7+m

当直线C£＞斜率存在时，且C。的中点为（为+%-加,乂+%-〃），直线

8-m2-4九2

CD:y-必一乂口一（玉+/一相）］+（＞|+丫2-〃）=一1》+

工2一百4n

22y=Ax+B/、

Sm4n222

]^A=--,B=~~Jx^,|-+AL+2ABX+B-1=0,

4〃4n----Fy2=]14j

14

因为8与椭圆C相切，所以化简得"=4A2+1，

代入A=_：,§=8-"；心",得（8一加2-4n2）-=4（MJ2+4“2）

因为8（典〃）在椭圆G：£+y2=2上，所以加+4〃2=4叫代入得（8-44）2=4（44）,解得2=4,2=1（舍）,

4

8-m2-An28-42_2

所以4=4,此时A=--—,B=

4〃4/74/tn

™qi-xzL4+fl,x-8〃？8加1

CO中点的横坐标为芯+%一根=—5----7-m=--m=--m

4n~+m~4221

-2A8

方程（；+*V*----

的解为"2

所以;1=4时，8与椭圆C相切时切点为8的中点，所以；1=4满足条件,

当直线C。斜率不存在时，不妨假设直线CO切于椭圆C的左顶点（-2,0）,且根据椭圆的对称性，C。的中

点为左顶点（-2,0）,B在x轴的正半轴上，

所以将x=-2代入椭圆C：《+y2=；l得y=±JTZ,不妨设a-2,JT斤），

将N=0代入椭圆6：:+丫2=4得％=±2〃，所以8（2＞/1,0）,

则BC的中点为（互-1,叁口，代入椭圆C得上2里1+上1=1,解得2=4,

I2）44

综上所述，2=4

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为人不X）,B（为力）：

（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或丁）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为为+x2g々形式；

（5）代入韦达定理求解.

40.（2022•浙江嘉兴•高三阶段练习）已知椭圆C:：+£=1（O<b<2）,直线4：y=x+”与椭圆C交于A,B

两点，且|AB|的最大值为孚.

⑴求椭圆C的方程；

⑵当|A8|=当时，斜率为-2的直线12交椭圆C于P,。两点（P,。两点在直线/,的异侧），若四边形APBQ

的面积为处正，求直线/,的方程.

9

【答案】（1）《+片=1

42

（2）/2:2x+y土友=0.

【分析】（1）设力a，%）,3（七,必），联立直线4与椭圆方程，得出韦达定理，再根据弦长公式求解，结合

函数的最大值可得人=应，进而求得椭圆方程即可；

（2）设直线4方程为y=-2x+〃，尸（&,%），Q（%”），记点P，。到直线4的距离分别为4，4，表达

出4，4，根据当即°=々指求解即可.

上+片=1

设A（XQ）,8（w，%）,联立直线4与椭圆方程得4b2~，

y=x+m

消去y得W+4）f+8〃a+4（2）=0,又演,巧是这个方程的两个实根,

A=64/-16（从+4）"一/）〉0

所以%+々=j，由弦长公式得

/r+4

4（m2-b2}

网=TiTF,一々卜0m

所以当m=0时，|A回取到最大值，即=^^==之屈,解得人&•

皿,技+43

所以椭圆C的方程为三+反=1.

42

(2)

_1

设直线4方程为y=-2x+〃，-W,%)，。&,”)，联立直线4与椭圆方程7万一，消去y得

y=-2x+n

9x2-8Aix+2/-4=0,

△=(-8"『-4X9X(2〃2-4)>0

所以x3+x4,且〃4-3夜,3&),

2〃2一4

WZ=­y-

记点p,Q到直线《的距离分别为4，d2,又&=压浸，&=&泮1且优一%)(%—%)<0,

卜3-必|卡卜-%|=卜3-4)一(七一)'4)|3|(X「XJ

所以4+4==

&忘一y/241

所以S“晔=g|A8|(4+4)=；.gJ18-a、=J18-〃2，

因为5.2=9#，所以及48-〃2=处,整理得r=2,所以〃=±忘满足条件,

999

综上所述直线的方程为£y=-2x土血，即为/2：2x+y±3=0.

v-22

41.(2022•浙江省苍南中学局三阶段练习)已知点A(2,D在双曲线C:^--2v=1(匕>0)上

2b2

(1)求双曲线C的渐近线方程；

⑵设直线/：y=%(x-D与双曲线C交于不同的两点E,F,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N.当

.AMN的面积为及时，求左的值.

【答案】⑴y=±^^x

(2)-|

【分析】(1)由双曲线的性质求解，

(2)由E,尸两点坐标表示|MN|,联立.直线/与双曲线方程，由韦达定理化简，再由一AMN列方程求解

(1)

将点42,1)代入方程三-与=1,解得从=1,

2b-

所以双曲线C的方程为J-y2=],渐近线方程为y=±[x：

(2)

^=fc(x-l)

1-2公NO

联立＜X*2*IO,整理得（1-2犬卜2+44、-2公-2=0,由题意

=1A>0

得公＜1且公k:，设点E,F的坐标分别为（西,乂）,（々，%），由韦达定理得为+々=/^，平2=与工

22左一12H—1

直线AE的方程为）=1=上三。-2）,令》=3,得y=2二+1,即M（3,空■+」，同理可得

士一2%一2I斗一2）

2旧1-H

门

叱驾占为二三X一3+6-24+2/

(X,-2)(X2-2)

fcc,(x2-1)-2A:(X2-1)+X2(3_1)+2忆(玉一1)_再

(xt-2)(x2-2)

I，1lX|-々llil无«-k后11-AI

=|A：-lI---------=-一-=|Z:-11—r-；~i—=V2,,

士匕-2（芭+々）+4KT\l\-k2

所以.AMN的面枳S=!X|MN|X1==*^4=&,即2^^=|1一%|，

22yjl-k~

解得k=l或上=-=,又公＜1且公力：,所以A的值为-

525

42.（2022•浙江・绍兴鲁迅中学高三阶段练习）已知椭圆C:=1（。＞匕＞0）过点（-2,0）,乙（2,0）

为其左、右焦点.

（1）求椭圆C的方程;

（2）P为第一象限内椭圆C上的一点，直线尸耳/鸟与直线x=5分别交于A,B两点，记△E48和△24工的面

S.25PA-PF.

积分别为S”邑，若”=不，求U的值•

%9PB-PF2

【答案】⑴3+4=1

IOo

（2）1

【分析】（1）先根据椭圆焦点得c=2,再由定义得到椭圆方程.

(2)先设直线尸耳P玛并表示出AB,再根据自吟求出呜，()，《5彳

,8(5,9),最后由距离公式得到

归用=|而,|尸用=g而解=竟疝陷=|加计算出答案.

(1)

由题意可知耳(-2,0),月(2,0),

a=V10，

b2=a1—c1=6,

椭圆C的方程为：3+0=1.

106

（2）

2

由F}（-2,0）,产（%。,%）得直线m：为x-（％）+））'+2%=°，

令x=5,解得尸；^，

7%1

/.A5,

）

I7+27

同3%

I%-2

.,\AB\=^___肛L=4坐一20%,

X。+2%。—2XQ—4

AB5-x2

51_|ll（o）_（5-xo）_25

化简得16x；+90x0-325=0①或34x；-90x0+125=0②,

由①得（2%-5）（既+65）=0,故/=}

由②可知/<0,故该方程无实根.

s22a

将X。=与代入椭圆方程J+J=1中，解得%=3，

21062

（翡）A卜£］，8（5,9），

.■.|p/-|=|Vio,|Pf；|=^VK）.|PA|=|Vio,|PB|=|>/io,

2262

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,1网尸国■

43.（2022•浙江•高三开学考试）已知椭圆C：「+与=l（a>0力>0）的右焦点为尸（2,0）,离心率为!，ABC

ab~2

为椭圆C的任意内接三角形，点。为3A3C的外心.

（1）求C的方程；

（2）记直线AB、8C、C4、OD的斜率分别为&愁2人、8,且斜率均存在.求证：4k&k/=3.

2、户

【答案】（1）土r+匕=1：

1612

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用右焦点、离心率求出&匕即得解；

（2）设4（%,乂）,3（々,必）,。（毛,％）,。（%,％），求出K&，%人即得证.

（1）

解：由椭圆C:£+]=l（a>0,〃>0）的右焦点为尸（2,0）,离心率为£得a=4,c=2.所以

ab"ci2

b=J16-4=2^3.

所以椭圆C的方程为兰+q=1.

1612

（2）

证明：设双%％），“玉,%），°（Z，％），则匕=^^内=^5^£=^^人=3

“2”1”2巧”3巧”4

设,ABC的外接圆方程为犬+丁-2x4X-2y4y+F=0,

得x；+y：_2^-2y4yt+F=0,x1+y1-2x4x,-2y4y2+F=0,

两式相减得W-X；+货-4=2X4(&-4)+2%(%-X)，

因为y；-y；=-1-（%2-^2）,所以;（％+X）=2%+2以勺，

同理：；（々+》3）=2匕+2以&.

-X.-x,cX+X.X.-X,

两式相减得：2%=水小，于是：2寸寸7-忒力/

所以％4.*)_鼻f

4

七-+♦石一百江(x2+x})k2-(x3+x2)kl

44a/

(外一占)(工3-々)(々一%)

将占=k2=y^代入上得:k&=

马一百X2-X3(X；一引(%-%)-(4T)(%-%)

因为x；-x：=-g(y；-y；)，^~x2=_g(£_£)

3（犬3-玉乂*2-吟（工3一%）

所以％=

4（丫3—%）（必一乂）（%一芳）

所以4K自公自=3得证.

44.（2022.浙江省桐庐中学高三阶段练习）已知椭圆E:'方=l（a>b>0）经过点”[1,引，且焦距

闺勾=2百，线段A8.CD分别是它的长轴和短轴.

⑴求椭圆E的方程；

（2）若N（s/）是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线尸。经过定点.

①s=l,/w土弓，直线附,N8与椭圆E的另一交点分别为P,Q；

②f=2,swR,直线NC,NO与椭圆E的另一交点分别为P,Q.

【答案】（1）二+>2=1

4

（2）见解析

J_+J_=1

【分析】（1）由已知可得：/+/一，解得：〃=44=1,即可求椭圆E的方程：

Y_/=3

（2）选①，则MlJ）,4―2,0）,8（2,0）,设尸（与,力）,。（々,人），

如A=7^7=g，kzB=三=T，所以：y=g（x+2）,/柩：>=T（*_2）,

1+ZJ1—ZJ

联立直线和椭圆的方程，求出RQ的坐标，进一步得到直线PQ的方程，令y=0,x=4,故直线P。恒过定点

（4，。）.

选②，则Ms,2）,C（0,l）,0（0,-l）,设尸（与,力）,Q（q,y。），

,2-11,2+13—13,

kNC=—=—,kND=—=一，所以4vc:y=_x+L4vo:y=

SSSSSS

联立直线和椭圆的方程，求出尸，。的坐标，进一步得到直线PQ的方程，令x=0,y=；,故宜线P。恒过定

点[*[

（1）由已知，C=5点硝用在椭圆上，所以*磊=1，又因为储―6小，所以/=4,从=1,所

以椭圆的方程为：a1=4,〃=1.

（2）选①，则N（l/）,4（—2,0）,8（2,0）,设产（今,力）,。（知“），L=7二=:，输=[==一八所以

1+231—2

y=：（x+2）

/NA：y=；（x+2），4vB：y=T（x—2）,《2消去y得：（9+4z2）x2+16r2x+16r-36=0,

匕+>1

△=256/-4（9+4产）（161-36）=362>。所以_2与=鉴言，所以与=三螯，则为=悬？，所以

借"二二消去丫得：（1+4/2）X2-I6Z2X+16/2-4=0,

A=256~4（l+4产）（16产-4）=16>0,所以2%=毛某，所以q=卷，则3忌，所以

I2t4t

0[窃所以怎「当望=签潦=品'所以直线尸。的方程为:

9+4/1+4/

4/_-2t（8/-2）

，所以16y4+（8x—32）/+16城+（2x-8）f+3y=0,所以y=0,x=4,故直线

?。恒过定