等差数列的前项和的最值

关于等差数列的前项和的最值等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾第2页,共24页，2024年2月25日，星期天一、常用数列的求和方法：(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0新课讲授第3页,共24页，2024年2月25日，星期天(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。第4页,共24页，2024年2月25日，星期天.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）则Sn=An2+Bn令新课讲授第5页,共24页，2024年2月25日，星期天

结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an}是等差数列。{an}是等差数列Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数若C≠0，则数列{an}不是等差数列。若C=0，则{an}为等差数列；结论2：设数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）当d=0时,Sn=na1不是二次函数第6页,共24页，2024年2月25日，星期天问题与思考第7页,共24页，2024年2月25日，星期天第8页,共24页，2024年2月25日，星期天第9页,共24页，2024年2月25日，星期天

例1若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。13

例2已知数列{an}中Sn=2n2+3n，求证：{an}是等差数列.第10页,共24页，2024年2月25日，星期天例1、若等差数列{an}前4项和是2，前9项和是－6，求其前n项和的公式。，解之得：解：设首项为a1，公差为d，则有：∴第11页,共24页，2024年2月25日，星期天

设Sn=an2+bn，依题意得：S4=2,S9=－6,即解之得：另解：第12页,共24页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.第13页,共24页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn第14页,共24页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第15页,共24页，2024年2月25日，星期天∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第16页,共24页，2024年2月25日，星期天解:由S3=S11得d<0，则d/2＜0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象开口向下，如图所示

又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn例1的变式题一：等差数列{an}中，首项a1>０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？第17页,共24页，2024年2月25日，星期天例2：已知数列{an}是等差数列，且a1=21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。S11最大为121的前n项和为,②当n为何值时，最大，s22最大①数列的通项公式

an=-8n+48已知求：例3设等差数列第18页,共24页，2024年2月25日，星期天求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第19页,共24页，2024年2月25日，星期天练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C第20页,共24页，2024年2月25日，星期天当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令小结Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）第21页,共24页，2024年2月25日，星期天

结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an}是等差数列。{an}是等差数列Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)若C≠0，则数列{an}不是等差数列。若C=0，则{an}为等差数列；结论2：设数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）小结第22页,共24页，2024年2月25日，星期天结论:3：等差数列前n项和不一定是关于n的二次函数：（1）当d≠0是，sn是项数n的二次函数，且不含常数项；（2）当d=0是，sn=na1,不是项数n的二