北京市朝阳区和平街第一中学2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷

2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中八年级（上）期中数学

试卷

一、选择题（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个

是符合题意的.

1.（2分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（）

A.1,2,4B.3,4,5C.4,6,8D.5,7,11

3.（2分）若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）

A.8B.6C.5D.4

4.（2分）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则NBAC的度数为（）

6.（2分）如图所示在△ABC中，边上的高线画法正确的是（

7.（2分）如图，已知/MON及其边上一点A.以点A为圆心，AO长为半径画弧，ON于

点8和C,再以点C为圆心，恰好经过点反错误的结论是（）

A.S/^AOC=S^ABCB.ZOCB=90°

C./MON=30°D.OC=2BC

8.（2分）如图，已知每个小方格的边长为1,A,8两点都在小方格的格点（顶点）上,

使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）

二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）

9.（2分）已知点P（-2,1）,那么点P关于x轴对称的点。的坐标是.

10.（2分）已知等腰三角形的一边长等于6,另一边长等于9,则它的周长

为.

11.（2分）如图，线段AB与CD相交于点。，且0A=0。，BD,要说明

DOB.（只需填一个条件即可）

c,

,B

/

4D

12.（2分）如图，在△ABC中，AB=AC,分别交8C,AC于点。，BC=4,则△A3。的

周长是.

13.（2分）如图所示，已知△ABC中，ZACB=90°,ADLCE于D点，BELCE于E

点.A£>=5,则.

14.（2分）数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线.小

明用直尺画角平分线的方法如下：

（1）用直尺的一边贴在NAOB的。4边上，沿着直尺的另一条边画直线加

（2）再用直尺的一边贴在NAOB的边上，沿着直尺的另一条边画直线“直线相与

直线n交于点D-,

（3）作射线0D射线。。是NA02的平分线.

请回答：小明的画图依据是.

15.（2分）如图，在△ABC中，NC=90°,任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点

M、N,大于/MN的长为半径作弧，射线4尸交于点。，若8=2,则△A3。的面积

为.

16.（2分）如图，过边长为2的等边△ABC的边A8上一点P,作尸E_LAC于E,当B4=

CQ时，连接PQ交AC边于D；②。为PQ的中点；③CQ=2A£；其中正确的结论

有：.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27,

28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（5分）数学课上，王老师布置如下任务：

如图，△ABC中，BC>AB>AC,使NAPC=2NA3C.

小路的作法如下：

①作A8边的垂直平分线，交于点P,交A8于点°；

②连接AP.

请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以

下推理

是A8的垂直平分线

：.AP=,（依据：）；

ZABC=,（依据：）.

ZAPC=2ZABC.

18.（5分）如图，在△ABC中，。是边A8上一点，作C尸〃48交DE的延长线于点?

（1）证明：AADE名LCFE；

（2）若/8=/ACB,CE=5,CF=I

19.（5分）如图，ZXABC中，AB^AC,CE_LAB于点E.求证：NCAD=/BCE.

20.（5分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完

成证明.

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

己知：如图，在△ABC中，NC=90°

求证：BC=—AB.

方法一方法二

证明：如图，延长BC到点。，使得CQ=BC证明：如图，在线段AB上取一点。，使得

BD=BC

D-

21.(5分)规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称

(1)画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△ALBICI；

(2)点Ai坐标为,点Bi坐标为,点Ci坐标

为;

(3)若△ABC边上有一点P(a,b),经过3次“R变换”后为尸3,则P3的坐标

为.

22.(5分)如图，在△ABC中，4。是BC边上的高，ZBAC=60°,/ABE=25°.求/

23.(6分)如图，ZVIBC是等边三角形，D,E分别是且求证：AE=CD.

24.（6分）如图，已知△ABC中，。是8c的中点，DFLACF,MDE=DF.试说明

25.（6分）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三

角形全等.

26.（6分）如图，点。是等边△ABC内一点，110°,连接AC、AD.

（1）当a=150°时，试判断△A。。的形状，并说明理由；

（2）探究：当a为多少度时，△A。。是等腰三角形？

27.（7分）如图，过等边△ABC的顶点B在NA8C内部作射线BP,/ABP=a（0°<a

<60°且aW30°）,直线CO交BP于点E,连接

备用图

（1）依据题意，补全图形;

(2)在a(0°<a<60°且aW30°)变化的过程中，NAEB的大小是否发生变化？如

果发生变化；如果不发生变化，请求出NAEB的大小;

(3)连接交8尸于点凡用等式表示线段AE,BF,并给予证明.

28.(7分)如图1,E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，。是边BC所在直线

上一点，若EC=ED.则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点,点E称为反称中

心.

备用图2

在平面直角坐标系xOy中,

(1)已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为(2,0),点A在第一象限内，反称中心

E在直线A。上

①如图2,若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点

D

②若AE=2,求点C关于等边三角形AOC的反称点。的坐标;

(2)若等边三角形ABC的顶点为8(小0),C(n+2,0),反称中心E在直线AB上,

反称点。在直线BC上(用含”的代数式表示)

2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中八年级（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个

是符合题意的.

1.（2分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（）

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可.

【解答】解：A.不是轴对称图形；

B.不是轴对称图形；

C.是轴对称图形；

D.不是轴对称图形.

故选：C.

2.（2分）下列长度的三条线段（单位：cm）,能组成直角三角形的是（）

A.1,2,4B.3,4,5C.4,6,8D.5,7,11

【答案】B

【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么

这个三角形就是直角三角形.最长边所对的角为直角.由此判定即可.

【解答】解：A.Vl2+62=1+5=5,48=16,

.♦.『+72*48,即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.V32+52=9+16=25,72=25,

.•.34+42=82,即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；

C.V45+62=16+36=52,22=64,

.-.46+62#72,即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；

D.V55+72=25+49=74,115=121,

.1.52+32^112,即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：B.

3.（2分）若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】”边形的内角和可以表示成-2）«180°,外角和为360°,根据题意列方程

求解.

【解答】解：设这个多边形的边数为人依题意

（M-2）*180°=2X360°,

解得"=5.

故选：B.

4.（2分）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则/8AC的度数为（）

A.75°B.60°C.105°D.120°

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：VZBAC+ZABC+ZACB=180°,

.\ZBAC=180°-45°-60°=75°,

故选：A.

5.（2分）如图，AABC^AADE,NB=80°,ZDAC=35°,则NEAC的度数为（

DC

B

AE

A.40°B.30°C.35°D.25°

【答案】C

【分析】根据全等三角形的性质可得NA4C=ND4E,进一步可得N84D=NEAC,再根

据三角形内角和定理可得NA4O的度数，即可确定NE4C的度数.

【解答】解：,••△A3C04AOE,

：.ZBAC=ZDAE,

：・NBAD=NEAC,

VZB=80°,ZC=30°,

：.ZBAD=18Q°-80°-30°-35°=35°,

：.ZEAC=35°,

故选：C.

【答案】B

【分析】直接利用高线的概念得出答案.

【解答】解：在AABC中，边上的高线画法正确的是5,

故选：B.

7.（2分）如图，已知NMON及其边上一点A.以点A为圆心，AO长为半径画弧，ON于

点3和C,再以点。为圆心，恰好经过点艮错误的结论是（）

A.S/sAOC=SAABCB.NOCB=90

C./MON=30°D.0C=2BC

【答案】D

【分析】由题意可知。4=AC=A8=8C,AABC是等边三角形，△OAC是等腰三角形,

即可判断选项.

【解答】解：由题意可知。4=AC=48=BC,

.'.△ABC是等边三角形，

：.ZCAB=60°,

：.ZMON=Z0CA=3Q°,

：.ZOCB=3Q°+60°=90°.

••S/^AOC~S/^ABCr

：.A,B,C,正确.

故选：D.

8.（2分）如图，已知每个小方格的边长为1,A,8两点都在小方格的格点（顶点）上,

使AABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点（7有（）

C.5个D.6个

【答案】D

【分析】以A8为腰，画出图形，即可找出点C的个数.

【解答】解：当为腰时，分别以A,以4B为半径作圆;

故使△ABC是以AB为腰的等腰三角形的格点C有6个.

故选：D.

二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）

9.（2分）已知点尸（-2,1）,那么点尸关于x轴对称的点。的坐标是（-2,-1）.

【答案】见试题解答内容

【分析】坐标平面内两个点关于无轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，点P关

于x轴对称，可得出点Q的值.

【解答】解：根据坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，

得出点尸关于x轴对称的点。的坐标为（-2,-1）,

故答案为：（-6,-1）.

10.（2分）已知等腰三角形的一边长等于6,另一边长等于9,则它的周长为21或

24.

【答案】21或24.

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和9,而没有明确腰、底分别是多少，所以

要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：分两种情况：

当腰为6时，6+4<9,周长是：6+6+9=21；

当腰为9时，5+9>6,周长是：8+9+6=24.

故它的周长为21或24.

11.（2分）如图，线段AB与CD相交于点。，且。4=0。，BD,要说明△AOC0

0C=08或A2=CT）或/4=/£）或.（只需填一个条件即可）

【答案】见试题解答内容

【分析】已知条件中。4=。。，且/49。=/。。2为对顶角相等，则还需添加这一对角

的另一对对应边相等或另一组对应角相等即可.

【解答】解：'：OA^OD,S.ZAOC^ZDOB,

，添加OC=OB或AB=CD时，依据SAS即可判定△AOCgZkOOB；

添加或/B=NC,依据ASA或A4s即可判定△AOC0/X。。。；

故答案为：0c=08或AB=C。或/A=NO或/B=/C.（答案不唯一）

12.（2分）如图，在△ABC中，AB=AC,分别交BC,AC于点。，BC=4,则△A3。的

周长是7.

【答案】7.

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC,然后利用三角形的周长公式以及等

量代换可得△A3。的周长=42+20进行计算即可解答.

【解答】解：•••£«是AC的垂直平分线，

：.DA=DC,

VAB=AC=3,8c=4,

；.AABD的周长=AB+3O+A。

=AB+BD+CD

=AB+BC

=5+4

=7,

故答案为：3.

13.（2分）如图所示，己知△ABC中，ZACB=90°,AD±CE于。点，BELCE于E

点.AD=5,则2.

c

E

【答案】2.

【分析】由AD_LC£于。点，BE_LCE于E点，得N4OC=NE=90°,则/ACD=N

CBE=90°-ZBCE,而AC=C8,即可证明△AC。g△CBE,则AD=CE=5,所以CZ)

=BE=CE-DE=2,于是得到问题的答案.

【解答】解：于。点，BELCE于E点，

.•./A£)C=/E=90°,

VZACB=90°,

ZACD^ZCBE^9Q°-ZBCE,

在△ACD和△CBE中，

，ZACD=ZCBE

-ZADC=ZE，

AC=CB

.♦.△ACD0ACBE(AAS),

：.AD=CE=5,

：.CD=BE=CE-DE=5-3=2,

故答案为：2.

14.(2分)数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线.小

明用直尺画角平分线的方法如下：

(1)用直尺的一边贴在NAO8的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线处

(2)再用直尺的一边贴在NAO8的08边上，沿着直尺的另一条边画直线"，直线烧与

直线n交于点D；

(3)作射线OD射线。。是NAOB的平分线.

请回答：小明的画图依据是在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分

线上.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用画法可点D到04和0B的距离相等（尺的宽度相等），然后根据角平分

线的性质定理判断四边形OC0E为菱形，然后根据菱形的性质可判定0D为NA0B的平

分线.

【解答】解：由画法可知，点D到0A和0B的距离相等，

所以平分NA02.

故答案为在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

15.（2分）如图，在△A8C中，ZC=90°,任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点

M、N,大于/MN的长为半径作弧，射线AP交于点。，若CO=2,则△A3。的面积

为6.

【答案】6.

【分析】作DELAB于E,根据角平分线的性质得到OE=OC=2,根据三角形的面积公

式计算即可.

【解答】解：作。ELA8于E,

由基本作图可知，AP平分/CAB,

尸平分NCAB,NC=90°,

：.DE=DC=2,

...△ABD的面积==XABXDEVX2X2=6，

故答案为：4.

16.（2分）如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P,作PE_LAC于E,当E4=

C。时，连接P。交AC边于。；②。为尸。的中点；③CQ=2AE；其中正确的结论有：

②③④.

【答案】②③④.

【分析】过尸作尸尸〃8C交AC于R得出等边三角形APR推出AP=PP=QC,根据

等腰三角形性质求出EF=AE,证△PFD0△QCD,推出FD=CD,进而逐一判断即

可.

【解答】解：如图，过尸作尸尸〃BC交AC于E

\'PF//BC,ZkABC是等边三角形，

:.NPFD=/QCD,△APf'是等边三角形，

：.AP=PF=AF,

'：PE±AC,

：.AE=EF,

：.AP^2AE,

:.PE=6AE；

'：AP=PF,AP=CQ,

:.PF=CQ,

：.CQ=AF=8AE,故③正确；

在△尸即和△0CZ)中，

'/PFD=NQCD

<ZPDF=ZQDC-

PF=CQ

:.XPFDQXQCD(A4S),

:.FD=CD,PD=QD,

...£)为P。的中点，故②正确；

；AE=EF,

：.EF+FD=AE+CD,

：.CQ+2CD^AF+CF^AC^2,故④正确,

.•.正确的结论有：②③④.

故答案为：②③④.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27,

28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（5分）数学课上，王老师布置如下任务：

如图，△ABC中，BC>AB>AC,使/APC=2NABC.

小路的作法如下：

①作A2边的垂直平分线，交于点P,交AB于点。；

②连接AP.

请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以

下推理

：尸。是AB的垂直平分线

：.AP=BP,（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；

ZABC=ZBAP,（依据：等边对等角）.

ZAPC^2ZABC.

【答案】见试题解答内容

【分析】作AB的垂直平分线交于尸点，根据线段垂直平分线的性质得到AP=BP,

再根据等腰三角形的性质得ZABC=ZBAP,然后根据三角形外角性质得到ZAPC=2Z

ABC.

【解答】解：如图，点P为所作；

玄

理由如下：

是4B的垂直平分线

：.AP=BP,（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；

/.ZABC=ZBAP,（依据：等边对等角）.

ZAPC^2ZABC.

故答案为BP,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角.

18.（5分）如图，在△ABC中，。是边AB上一点，作C尸〃交。E的延长线于点F.

（1）证明：LADE出4CFE；

（2）若/B=/ACB,CE=5,CF=1

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据44S或A&4证明△AOEg/XCFE即可;

（2）利用全等三角形的性质求出A。，即可解决问题;

【解答】（1）证明：是边AC的中点，

J.AE^CE.

5L'：CF//AB,

：.AA^ZACF,/ADF=NF,

在△&£>£1与△CFE中，

,ZADF=ZF

<ZA=ZACF

AE=CE

AAADE^/\CFE(AAS).

(2)解：VAAD£^ACF£,CF=1,

：.CF=AD=1,

又,；/B=/ACB,

：.AB=AC,

是边AC的中点，CE=3,

：.AC=2CE=10.

：.AB=10,

：.DB=AB-AD=IO-1=4.

19.(5分)如图，△ABC中，AB^AC,CE_LAB于点E.求证：NCAD=NBCE.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据等腰三角形的性质得出N8=ZACB,根据等腰三角形底边上的中线与底边

上的高互相重合得到ADLBC,再根据直角三角形的两个锐角互余和等角的余角相等即

可求解.

【解答】证明：BD=CD（已知）,

：.ZB=ZACB（等边对等角），AD1BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相

重合）.

XVCEXAB（已知），

：.ZCAD+ZACB=9Q°,/BCE+/B=90°（直角三角形的两个锐角互余）.

：.ZCAD=ZBCE（等角的余角相等）.

20.（5分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完

成证明.

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

己知：如图，在△ABC中，ZC=90°

求证：BC——AB.

方法一方法二

证明：如图，延长8C到点。，使得C£）=BC证明：如图，在线段上取一点D,使得

D-

【答案】证明过程见解答.

【分析】若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出N8=60°,再利用平角

定义求出NAC£）=90°,从而可得NAC£）=NAC2=90°,然后利用SAS证明△BC4会

ADCA,从而可得A£）=A8,进而可得△A3。是等边三角形，最后利用等边三角形的性

质可得即可解答；

若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出NB=60°,从而可得△BCD是

等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得BC=BQ=OC,ZBCD=60°,从而可得

NOCA=NA=30°,进而可得DC^DA,最后利用等量代换可得BC=BD=DA=

IAB,即可解答.

2

【解答】解：若选择方法一：

如图：延长BC到点。，使得CZ)=BC,

D'

VZACB=90°,ZBAC=30°,

.•.ZB=90°-ZBAC=60°,ZACD=180°-ZACB=90°,

AZAC£)=ZACB=90°,

VAC=AC,

.•.△BCA^ADCA(SAS),

：.AD=AB,

.,.△AB。是等边三角形，

：.AB=BD,

•：BC=CD=LBD,

2

.-.BC=AAB；

2

若选择方法二：

如图，在线段AB上取一点£>,连接CD,

VZACB=9Q°,ZA=30°,

：.ZB=900-ZA=60°,

△BCD是等边三角形，

：.BC=BD=DC,ZBCD=60°,

AZDCA^ZACB-ZBCD^30°,

：.ZDCA=ZA=30°,

：.DC^DA,

：.BC=BD=DA=^AB,

6

即BC^l-AB.

2

21.(5分)规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称

(1)画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；

(2)点Ai坐标为(-4,3)点Bi坐标为(-1,0)点Ci坐标为(-

6,0)；

(3)若AABC边上有一点P(a,b),经过3次“R变换”后为巴，则P3的坐标为

a,b-6).

【答案】(1)作图见解析部分.

⑵(-4,3),(-1,0),(-6,0).

(3)(-a,b-6).

【分析】(1)利用轴对称，平移变换的性质分别作出A,B,C的对应点Ai,Bi,。即

可.

(2)根据点的位置写出坐标即可.

(3)探究规律，利用规律解决问题即可.

【解答】解：（1）如图，△4BC6；

（2）点Ai坐标（-4,7）点Bi坐标（-1,3）1坐标（-6,6）.

故答案为：（-4,3）,2）,0）.

（3）若AABC边上有一点尸（a,b）3,则尸7的坐标为Q-a,b-6）.

故答案为：（-a,6-6）.

22.（5分）如图，在△A8C中，AO是8c边上的高，ZBAC=60°,ZABE=25°.求/

【答案】见试题解答内容

【分析】根据角平分线的定义可得NA8C=2NABE,再根据直角三角形两锐角互余求出

ZBAD,然后根据ND4c=NA4C-NBA。计算即可得解.

【解答】解：平分/48C,

AZABC^2ZABE^2X25°=50°,

：是8c边上的高，

：.ZBAD=90°-ZABC=90°-50°=40°,

：.ZDAC=ZBAC-ZBAD=6Q°-40°=20°.

23.（6分）如图，△ABC是等边三角形，D,E分别是3A,且求证：AE^CD.

E

【答案】证明见解答.

【分析】根据等边三角形的性质得出AB^AC,ZABC=ZBAC^60°,进而利用SAS

证明AABE与△CAD全等解答即可.

【解答】证明：：△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZABC=ZBAC=60°,

AZABE=ZCAD=180°-60°=120°,

在△ABE与△CA。中，

，BE=AD

-ZABE=ZCAD>

AB=CA

AAABE^ACAD(SAS),

：.AE=CD.

24.(6分)如图，已知△ABC中，。是8c的中点，DFLACF,MDE=DF.试说明

AB=AC的理由.

【答案】见试题解答内容

【分析】欲证4B=AC,可证/8=/C,只需证RtzMJBE丝RtZYDCE即可，由已知可根

据HL证得RtADBE^RtADCF.

【解答】解：'：DE1AB,DFLAC,

ADBE与ADCF是直角三角形.

:在RtADBE与RtADCF中，JED=FE,

1BD=CD

：.RtADBE^RtADCF(HL),

：.AB=AC.

25.（6分）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三

角形全等.

【答案】见试题解答内容

【分析】求出根据SSS证△ABM也△OEM推出根据SAS（证AABC

之△。所即可.

已知：△ABC和中，AB=DE,AM是△ABC的中线，AM=DN,

求证：AABC名ADEF.

证明：:BC=EF,AM是△ABC的中线，

:.BM=EN,

在△ABM和△OEN中，

'AB=DE

•3BM=EN-

AM=DN

•SABM沿ADEN（SSS）,

:.NB=/E,

在△ABC和△DEF中，

'AB=DE

ZB=ZE-

BC=EF

.♦.△ABgADEF（SAS）.

26.（6分）如图，点。是等边△ABC内一点，ZAOB=110°,连接AC、AD.

（1）当a=150。时，试判断△A。。的形状，并说明理由；

（2）探究：当a为多少度时，△A。。是等腰三角形？

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)首先根据已知条件可以证明△BOC四△ADC,然后利用全等三角形的性质

可以求出的度数，由此即可判定△A。。的形状；

(2)利用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.

【解答】解：(1)•..△oc。是等边三角形，

：.OC^CD,

而AABC是等边三角形，

C.BC^AC,

VZACB=ZOCD=60°,

J.ZBCO^ZACD,

在△BOC与中，

'OC=CD

••••ZBC0=ZACD-

BC=AC

.♦.△BOC名LADC,

：.ZBOC=ZADC,

而/BOC=a=150°,ZODC=6Q°,

AZADO=150°-60°=90°,

...△A。。是直角三角形；

(2):设/C8O=/CAZ)=a,ZABO=b,ZCAO=d,

则a+6=60。,6+c=180°-110°=70°,

：.b-d^10°,

：.(60°-a)-d=10°,

.'.a+d—50°,

即/D4O=50°,

①要使A。=AD需NAOO=/A。。，

.•.190°-a=a-60°,

，a=125°；

②要使OA=。。，需NOAO=/AOO,

.•.110°+80°+60°+a=360°

・・・a=110°；

③要使OD=AZ),需/OAD=NAOD,

110°+50°+60°+a=360°,

a=140°.

所以当a为110。、125°,三角形AO。是等腰三角形.

27.(7分)如图，过等边△ABC的顶点B在NA8C内部作射线BP,ZABP^a(0°<a

<60°且aW30°),直线C£)交8尸于点E,连接

(1)依据题意，补全图形；

(2)在a(0°<a<60°且aW30°)变化的过程中，NAEB的大小是否发生变化？如

果发生变化；如果不发生变化，请求出NA国的大小；

(3)连接A。交8尸于点R用等式表示线段AE,BF,并给予证明.

【答案】(1)见解答；

(2)不发生变化，ZABE=6Q°；

(3)BF=CE+1AE,证明见解答.

2

【分析】(1)根据题意补全图形，即可得出结论；

(2)先判断出NABP=NQBP=a,BD=BA,在判断出AB=AC=BC,ZABC=ZACB

=60°,进而得出BD=BC,NCBD=60°+2a,/BDC=NBCD=6Q°+a,即可得出

结论；

(3)先判断出是等边三角形，得出ZEAM=60°,在判断出/

BAM=NCAE,进而判断出△ABM丝ZvlCE(SAS),得出BM=CE,再判断出NAFE=

90°,得出NEAF=30°,：.EF=1AE,即可得出结论.

2

【解答】解：(1)补全图形如图1所示，

(2)NAEB不发生变化，ZA£B=60°；

,/点A关于射线CP的对称点为点D,

：.ZABP=ZDBP=a,BD=BA,

\-AABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=60°,

：.BD=BC,ZCBD=ZABC-ZABD=60°-2a,

：.ZBDC=ZBCD=60°+a,

:/BDC=NBEC+/DBE=/BEC+a=6Q°+a,

AZBEC=60°,

:./AEB=NBEC=6Q°,

.../AEB不发生变化，ZAEB=60°；

(3)如图4,线段AE,CE之间的数量关系为：BF=CE+L

2

证明：如图5,在BE上取一点M,连接AM,

'：AEB=60°,

...△AME是等边三角形，

：.AE^AM=EM,ZEAM=60°,

ZBAM+ZCAM=ZCAM+ZCAE=600,

：.ZBAM=ZCAE,

'：AB=AC,

：.AABM^AACE(SAS),

：.BM=CE,

,/点A关于射线CP的对称点为点D,

：.AE=DE=EM,ZAFE=90°,

VZA£B=60°,

：.ZEAF^30°,

;.EF=LAE,

2

,/BF=BE-EF=CE+AE=CE+Z-AE,

2

即BF^CE+1.AE.

28.（7分）如图1,E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，。是边8C所在直线

上一点，若EC—ED.则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点,点E称为反称中

心.