河南省部分学校2023-2024学年高三年级上册一轮复习摸底测试卷数学二

2023-2024学年度高三一轮复习摸底测试卷

数学（二）

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合。={1,3,5,7,9,11},4={1,3,9},3={3,5,9,11},则电（4B）=（）

A.{1,7,11}B.{1,5,7}C.{5,7,11}D.{1,5,7,11）

2.若复数z满足（1—2i）z=10—5i,则z的虚部为（）

A.—3B.3C.3iD.4

3.如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.图2是小明为自家

设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的

边长分别为4dm和2dm,正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm和6dm,则该花灯的表面积为（）

图1图2

A.(108+3073)dm2B.(72+3073)dm2C.(64+2473)dm2D.(48+24V3)dm2

4.已知向量0=（2—%3）1=（/1），则“一1<.<3”是“a与人的夹角为锐角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

5.2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战

胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站

左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有()

A.18种B.24种C.30种D.36种

6.若sin(10°—e)+sin(10°+e)+Gsin(20°+e)=0,则tan8=()

V3°g

.----B.--C.->/3D.G

3

7.在正四棱柱ABC。—A&GA中，A4,=245=4,点E,F,G分别是A4,,A4,用G的中点，则过点

E,EG的平面截正四棱柱ABC。-ABCQj所得截面多边形的周长为()

A.272+3>/3B.2垃+3非C.272+473D.20+46

8.若定义在(—0,0)(0,+8)上的函数/(x)同时满足：①/(x)为奇函数；②对任意的西,马e(0,+8),

且玉片々，都有二则称函数/(x)具有性质P.已知函数/(%)具有性质P,则不

石一々

/、/(X2-4)

等式)(x—2)<：+2，的解集为()

A.(―8,—1)B.(—3,2)C.(—co,—3)(—1,2)D.(―oo,—3)(2,+oo)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/'(x)=Asin(。尤+夕)[A>0⑷>0,0<e<^^勺部分图象如图所示，贝ij()

B./(X)的图象关于点卜今,0)对称

D./(x)在区间(一胃,一。)上单调递减

C./(x)的图象关于直线x=一丁对称

10.如图，正三棱柱A8C—4及G的底面边长为1,高为3,b为棱A4的中点，QE分别在棱8B1,CG

上，且满足AO+OE+以取得最小值.记四棱锥A—用£。、三棱锥R—AOE，A—的体积分别

为匕,匕,匕，则（）

C.2匕=3%D.匕=匕+匕

11.已知双曲线C:鼻一一=1（。>°）的左、右焦点分别为耳，居，月」耳居1=2石，点尸是C上一

。Q+3

点，则（）

A.C的离心率为石

B.若PK_Lx轴,则阀|=8

C.若户用=2俨用，则归。|=6（其中0为坐标原点）

4

D.点P到C的两条渐近线的距离之积为一

5

12.若实数满足/+必+加=3,则（）

A.a—bNB.ci+2Z?<Q.y/3C.ad—bN—D.a~+3一

22

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若随机变量X〜N（5,<T2）,且P（X<0）=0.11,则P（5<X<10）=.

14.若直线y=—3x+g与曲线/（x）=e-3*+“相切，则。=.

15.己知点A（—2,0）,B（2,0）,点M是直线丁=履+3上任意一点，旦NAM8<90°,则实数A:的取值范

围是.

22

16.已知椭圆C：L+与=1（0＜。＜2）的右焦点为F,C外的一点A满足E4=2O尸（0为坐标原点），过

4h~

点A的直线与C交于P,。两点，且AP=PQ,若直线尸。，尸尸的斜率之积为-士3，则）=______.

4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）如图，在四边形A5CD中，AB_LBC,NAZJC=120°,AB=CZ）=2AZ）,AACD

⑴求sinZCAB：

（2）证明：ZCAB^ZCAD.

18.（本小题满分12分）A市天文台在该市朝阳区随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到如图所示的样

本数据频率分布直方图.

（1）估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的75%分位数（精确到0.01）；

（2）已知该朝阳区天文爱好者的占比为11%,且该朝阳区年龄位于区间［20,30）的人口数占该区总人口数

的25%.用样本的频率估计总体的概率，从该朝阳区任选I人，若此人的年龄位于区间［20,30）,求此人是

天文爱好者的概率.（计算结果精确到0.01）

19.（本小题满分12分）已知数列｛4｝是首项为1的等差数列，数列｛2—1｝是公比为2的等比数列，且

«3=b2,ab+4=20.

（1）求数列｛凡｝,也,｝的通项公式；

⑵设[x]表示不超过X的最大整数(如:[3.5]=3,[—1.5]=—2),求集合

eN*|ant<[log2^]<«2,„,l</M<10|中元素的个数.

20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥S-ABCZ)中，AB//CD,ABLBC,SA=SD=\,

AB=2CD=2BC=2,SB=6，点M为棱CD的中点，点N在棱S4上，且AN=3SN.

(1)证明："N〃平面SBC；

(2)求直线SC与平面S3。所成角的正弦值.

21.(本小题满分12分)已知抛物线。：产=2〃叱〃>0)的焦点为/，准线为/,C上的动点A到点厂与到

直线尤=—2的距离之和的最小值为3.

(1)求C的方程；

(2)过点A作直线交C于另一点B,过点A作C的切线点P在/'上.从下面①②③中选取两个作为条

件，证明另一个成立.

①点P在/上；②直线依与C相切；③点尸在直线ABt.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.(本小题满分12分)已知函数/(x)=Inx+eR.

(1)当加=—3时，求/(x)的单调区间；

(2)当xe(l,+8)时，若不等式/(x)<i恒成立，求利的取值范围；

(3)设〃eN”,证明：21n+『+—^—+…+2?+1.

、'12+122+2/+〃

参考答案及解析

数学(二)

一、选择题

1.D【解析】因为A={1,3,9},6={3,5,9,11},所以A，B={3,9},所以d(A'B)={1,5,7,11}.故

选D.

10-5i_(10-5i)(l+2i)

2.B【解析】因为(1—2i)z=10—5i,所以z==(2—i)(l+2i)=4+3i,所

l-2i(l-2i)(l+2i)

以z的虚部为3.故选B.

3.A【解析】正六棱台的斜高为JM+QG—GJ=2dm,所以该花灯的表面积为

gx(4+2)x2x6+6x2x6+当x4?x6+中x22x6=108+30君(dm?).故选A.

(2-r)f+lx3>0

4.B【解析】若。与6的夹角为锐角，则且。与6不共线，所以〈1,解得

t*一

2

一1</<3且故选B.

2

5.C【解析】当丙站在左端时，有A；=6种站法；当丙不站在左端时，有C；A；A；=24种站法，所以一

共有30种不同的站法.故选C.

6.A【解析】因为5皿（10。一。）+则（10。+。）+>/^11（20。+6»）=2$皿10。85。+疯缶20飞05。+

2sinl0°+瓜in20°2sin(30o-20o)+V3sin20°

J5cos20°sin。=0,所以tan0=

-V3cos20°-x/3cos20°

2xicos200---sin20°+Gsin20。广

”2J：6

->/3cos20o3

故选A.

7.D【解析】如图，延长GE交2A的延长线于点M,交2G的延长线于点N，连接ME并延长交

AD于点K,交的延长线于点T,连接力V,分别交C2CG于点/，”，连接K7,G",则六边形

EEGH/K所在平面即为平面EEG.由全等三角形可知，K,/,“分别为A。,C。,CG的中点，因为

AA=2AB=4,所以EF=G”=EK=H/=J^,FG=K/=0,所以六边形EFGH/K的周长为

2夜+4石.故选D.

8.C【解析】因为对任意的内,we(0,+8),且玉Hx,,都有二/(%)一即对任意两个不

王一犬2

./(一)一项/(尤2)〃王)/(々)

相等的正实数%,马，都有.......-.......=—^-------%—<0,所以函数g(X)=/(0是(0,+8)

x}-x2x]—x2X

上的减函数，因为〃x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(-00,0)上单调递增.当x-2>0,

x2-4)f(x2-4)

即x>2时，由/(x—2)<、-----L,得〃——土、——->所以％—2>f—4,此时无解；当

,)x+2x-2X2-4

x—2<0,即无<2时，由小_2)<,得".二)>/(：；),所以,一2|<,2-4,解

f(x2-4]

得x<—3或一l<x<2.综上所述，不等式/(x_2)<'+2’的解集为(fo,—3)u(—1,2).故选C.

二、选择题

yrn

9.BD【解析】由图象可得A=2,且f(O)=2sinp=l,又0<9<,,所以。二^，所以

f(%)=2sincoxH—,因为/—=2sin------1—=-2,所以-----1——----F2k兀,keZ,解得

k6)I3JV36/362

2427r

0=3左+2,kGZ,由图象可知T=—>—,解得@<3,又0>0,所以④=2,故A错误；所以

co3

"17乃71

/(x)=2sin(2x+?,当x=-----时,2%+-=0,故B正确；当了=——时，2x+—=34，此时

126126

77r71I71(711

/(x)不取最值，故C错误；当xe——2x+-e-7T--,此时y(x)单调递减，故D正

\12376\2J

确.故选BD.

10.ABD【解析】正三棱柱ABC—AgG的体积为

匕BCG=S"B£-44,=gxlxlx*x3=¥，由图可知匕+匕+匕＜匕如一.£，所以

K+K+匕〈乎，所以A正确；沿着侧棱AA将棱柱展开得到一个矩形A£PA,连接4尸，

因为4O+OE+E4取得最小值，即线段A7,所以。耳=1,EQ=2,因为尸为A4的中点，所以

._1V3_11z,.X.6_._113.V3_V3

vzcvz

\=1542,3=3*5、(1+2)*1*»-=彳，V2=瞑_年&=

匕=%-,0=%-廿。=匕，所以B正确，C不正确，D正确•故选ABD-

11.ACD【解析】因为闺用=2石，所以。2+/+3=5,解得。2=1,故双曲线。：/一?=1.对

于A,双曲线C的离心率e=6,故A正确；对于B,由题可得耳卜石,0),又P£_Lx轴，所以

v2

Xp=—JL则5-牛=1,解得力=±4,所以|尸制=4,故B错误；对于C,因为仍用=2户用，且

户制一|「用=2,所以|尸用=4,|P闾=2,所以|P制2+归闾2=]4图2,所以9_LPK，所以

|「。|=；|耳国=6,故C正确；对于D,设P®,%),则%；—1=1,因为双曲线C的渐近线方程为

x—2=0或%+2=0,所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为

22

故D正确.故选ACD.

a+—b=y/3cos0

22

【解析】由"2得

12.ABD+ab+b=3,令<r，得

2)

—b=V^sin。

2

a=V5cossin。

，所以。-b=V3cos0-3sin0=26cos故A正确；因为

b=2sin。

故正确；，

a+2b=Geos。+3sin6=25/3sin,+26,26],BQ+g/?=Gcos-sinO+

sin6=V§COS6E[一6,G],故C错误；a1+6-ab=3-lab=3-2V3cos0-sinj-2sin0=

3-46cos/in0+4sin%=3-2百sin26+2(1—cos2。)=5-41sin2。+；cos2。=

5—4sin(26+总e[l,9],故D正确.故选ABD.

三、填空题

13.0.39【解析】因为X~N(5,cr2),所以正态曲线的对称轴是直线〃=5,因为P(X<0)=0.11,所

以P(5<X<10)=P(0WX<5)=0.5—0.11=0.39.

21

14.--【解析】设切点为（%,%），则及）=一3%+§，且％=e'+",由/（X）=e-3x+",得

2?

/'（x）=—3e-3x+。，所以-3e—+〃=-3,所以一3x0+a=0,所以为=1，所以/=一§，则。=一

15.J【解析】以线段AB为直径的圆的方程为/+y2=4,因为NA"5<90。，所以点河

I22）

3

在以线段A3为直径的圆外，所以圆心（0,0）到直线丁=麻+3的距离d=1pq>2,解得

~~~~<k<,所以实数Z的取值范围是一避^.

22122J

16.百【解析】如图，取线段PQ的中点为连接

3

则由题意可得，|以|=2|外4,又|A丹=2|R9|,所以P/〃MO.因为直线PQ,PF的斜率之积为,

日+y=1

所以即设尸（X1，M）,Q（X2，%），则2b\，两式相减可得（%+々）（％—.）+

4-，咚=14

14b2

（y+型必一%）=0,整理得'+%1'|%,=_贵,即A自“=一£=一3,所以/=3,所以

xx

b~（%1+x2）（i~2）444

b=V3.

四、解答题

17.解：（1）设CD=2AZ）=勿,a>0,

因为会必。。的面积为3,NADC=120。，

2

所以』x2axaxsinl2（）o=正，解得a=l,

22

所以A8=CD=2,AD=1.

在AACD中，由余弦定理得4。2=4。2+。。2一2/1£）-30$120。=1+4-2乂2乂1乂（一3）=7,

所以AC=4.

在RtAABC中，AB±BC,AB^2,所以3C=JAC?一至？=夜一4=6

AC7

(2)由(1)可得CD=2,AC=S，

CDAC

在八48中，由正弦定理得

sinZCAD-sinZADC'

所以sinNG40=COsinNAOC=_苒=叵，且0。<NCW<60。.

ACV77

J21

由(1)可得sin/CABn^^—，又0。<NC4B<90°,

7

所以NC4B=NC4£).

18.解：(1)记该朝阳区100名天文爱好者年龄的75%分位数为x,

则10x0.016+10x0.036+(x—20)x0.028=0.75,

解得xa28.21,

故估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的75%分位数为28.21岁.

(2)记事件A为：“任选一人，此人年龄位于区间[20,30)”，

事件8为：“任选一人，此人是天文爱好者”，

由条件概率公式可得，/>(胴)=以等=以萼誓=小型H暨二。」232，。[2,

v17P(A)P(A)25%

故此人是天文爱好者的概率约为0.12.

19.解：(1)设等差数列｛q｝的公差为d,

1

由题意可知an=\+(n—\^d,bn—1=(Z>,—1)-2">

因为生="，。6+2=20,

所以1+a=2(4一1)+1,1+54+4(4-1)+1=20,

解得白=3,4=2,所以a“=2〃-1也=2"+1.

(2)因为2*<2"+1<2*+:所以左<1。82(2*+1)<z+1,所以[log24]=h

因为=2机一1,4〃？=4/〃-1,所以当加=1时，ax<[log2^]<tz2，

则1v左v3；当利=2时，42V[log24]v4，则3<Zv7；

当根=3时，生<Rogzd]v4，则5vkv11；

依次类推，当初=10时，4()v[logzd]v%o，则19〈人〈39,

又AeN*,且集合中的元素互异，

所以集合卜eN〔am<[log2/?A.]<a2m,l<m<10|

中元素的个数为1+3+5++19—（1+3+…+15）=17+19=36个.

20.解：（1）在平面A8CQ内过点〃作M交A8于点连接桥，

则四边形MCBF为平行四边形，

所以FB=MC='CD=L,所以AF=3EB,

22

又A7V=3SN,所以NF〃SB,

因为入户（2平面S8C,S6u平面SBC,所以版〃平面SBC.

因为MF//BC,MF«平面SBC,BCu平面SBC,所以MF//平面SBC,

又NFMF=F,NF,MFu平面MNF,所以平面"A/〃平面SBC,

又MNu平面MNF,所以MN〃平面SBC.

（2）取AO的中点O,连接SO,80,

因为AB//CD,AB_LBC,AB=2CD=28C=2

所以AO=BO=0,所以从。2+3。2=AB2,所以仞工班），

i/y

又SA=SD=1,AD=6.,所以54_15。,5。，49,所以5。=—AD=Y-.

22

在△300中，BO2=BD2+0D2=-,

2

又SB=6所以582=5。2+8。2,所以SOLQB,

又AO80=。,4）,80（=平面43。£）,所以SO_L平面ABC。.

过B作Bz//SO,则Bz±平面ABCD,则BA,BC,Bz两两垂直，

所以以8为坐标原点，84,BC,8z所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

I5、

则8（0。0）,。（0,1,0）,0（1,1,0）,5,

7

所以交］,BO=(1,1,0),SC=

222、1

设平面SBD的法向量为n=(x,y,z),

31y+冬=0

n-BS—x+—

则422

n•BD=x+y=0

取X=l,则〃=1,—0),

设直线sc与平面SB。所成的角为e,

31,

-+1

SCn22百

则sin。=cos(SC,n

SC2百~6

即直线SC与平面SBD所成角的正弦值为g

6

21.解：(1)设A(%,%),%30，由题意知准线/"=一日，/々,0

由抛物线的定义可知点A到点F的距离等于点A到准线/的距离，

所以点A到点尸的距离与到直线x=-2的距离之和为%+5+%+2=2/+2+g

由题意知当x°=0时，距离之和最小,

所以2+j=3,解得〃=2,所以抛物线C的方程为J/=4尤.

(2)由(1)可得/(1,0).由题意可知直线/'的斜率不为0,

故设直线/':x—玉=m(y-y),

联立"一"(''J,化简得丁_4相＞+4/孙一4项=0,

旷=4x

2

则△=16m-16my]+16再=0,

2

即△=16m-16myl+4y；=4(2m一M『=0,解得m=^-9

所以直线「：工—玉=甘（,一必），即yy=2（x+xJ.

若选择①②作为条件，证明③成立：

设6（工2，%），，2不丁尸0，

同理可得直线PB:y2y=2（x+/），

设P（—,则0]=2（-1+X]）,“2=2（—1+尤2），

所以点48在直线）=2（工一1）上，

所以点尸在直线AB上，即③成立.

若选择②③作为条件，证明①成立：

设。0，

同理可得直线PB:y2y=2（x+w），

y2y=2%+亍

yy=2(x+x)即|I

联立〈22

yy=2(x+xj(2

%y=2x+^-

解得Xp=怨1.

设直线AB:x=<y+l,联立［得/一4b一4=0,

/=4x

则△=16r2+16>0,凹%=一4,所以与=苧=-1,

所以点P在/上，即①成立.

若选择①③作为条件，证明②成立：

设5（工2，%），必/X。0，

同理若直线夕8与C相切，则直线依：%丁=2（%+%），

在直线yy=2（x+xJ中，令x=-1,得丁=义三~,

所以p'1,2®-L).

IMJ

x=(y+1°

设直线AB:x=)+l,联立4,J,得/一4)-4=0,

y=4x

则△=16『+16>0,%%=-4,

4144、

则上=----，所以6-7,----

MIKyj

_4_2(^-1)

XX_-4y-2(4-l)y

所以即8=

±+l-4+y；

-郛+对1(4)2

4+y；4+y；22y2)y2

则直线PB:y-2(~二0=2(x+l),

y