2019-2023全国各高考数学真题按分项汇编 不等式含详解

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

与集13系等式

高存•存瓶分析

不等式作为高考一个工具，主要题型是小题，再者就是与其他知识点相结合。

考点01解基本不等式

考点02不等式应用一线性规划

考点04不等式综合应用

高存真魅精折

考点01：解基本不等式

填空题

1.（2021高考天津）若a>0,6>0,则,+=+6的最小值为____________.

ab

11Q

2.（2020天津高考・）已知〃>0,b>0,且仍=1,则一+—+^的最小值为_________

2a2ba+b

3.（2020江苏高考・）已知5x2y2+y4=i（x,〉eR）,则，+/的最小值是.

y>0,x+2y=5,则为什］）的最小值为

4.（2019•天津•理）设x>0,Q+D

V

5.（2019•上海）若冗、yeR+,,且一1+2y=3,则2的最大值为.

XX

6.（2019•江苏・）在平面直角坐标系X中，尸是曲线丁=九+±（%>0）上一动点，则点P到直线x+y=0的距离

最小值是.

7.（2022年全国高考甲卷数学（文）.）已知ABC中，点。在边3C上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当——取得

AB

最小值时，BD=

考点。3：不等式应用一线性规划

x+l>0

（2021年高考浙江卷.）若实数羽y满足约束条件,则2=x-gy的最小值是（）

1.

2x+3y-l<0

31

A.-2B.C.

2210

x+y>4,

2.（2021年全国高考乙卷文科.）若乂丁满足约束条件<x—y<2,则z=3x+y的最小值为()

A.18B.10C.6D.4

x-3y+l<0

3.（2020年浙江省高考数学试卷・）若实数X,y满足约束条件<,则z=2x+y的取值范围是()

[x+y-3>0

A.（-co,4]B.[4,+oo）C.[5,+cc)D.(-oo,+oo)

x-2>0,

4.（2022年浙江省高考数学试卷.）若实数X,y满足约束条件，2x+y-l«0,则z=3x+4y的最大值是()

x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

x+y>2,

5.（2022年高考全国乙卷（文））若无，y满」已约束条件<%+2y«4,则z=2x-y最大值是()

40,

A.-2B.4C.8D.12

x-3y+4>0,

6.（2019・浙•）若实数x,>满足约束条件<3x-y-4V。，则z=3x+2y的最大值是()

x-1-y>0,

A.-1B.1C.10D.12

x+y-2<0,

x-y+2>0,

7.（2019・天津•文・）设变量%y满足约束条件，、，则目标函数z=-4x+y的最大值为()

X>-1,

A.2B.3C.5D.6

二填空题

x-3y<-1

1.（2023年全国乙卷文科・）若羽y满足约束条件x+2y«9,则z=2x—y的最大值为

3x+y>l

3x-2y<3

2.（2023年全国甲卷文科・）若羽y满足约束条件—2x+3y«3,设z=3x+2y的最大值为.

x+y>l

2%+y-2«0,

3.（2020年高考课标I卷文科.若x,y满足约束条件冗-歹-1>0,则z=x+7y的最大值为

y+120,

x+y>-L

4.（2020年高考课标H卷文科・）若羽y满足约束条件％-1,则z=x+2y的最大值是.

2x-y<1,

'x+y>Q,

5.（2020年高考课标III卷文科第13题）若无，>满足约束条件y20,,则z=3x+2y的最大值为.

x<1,

-x>0

5.（2019・上海・文理）已知满足<y>0,求z=2x-3y的最小值为.

x+y<2

2x+3y-6>0>

<x+y-3<0,

7.（2019•全国H文）若变量尤/满足约束条件〔尸2V。，则z=3x-y的最大值是.

考点04不等式综合应用

1.（2023年全国乙卷文科。已知实数羽y满足％2+y2—4x—2y—4=o,则V的最大值是（）

A.1+孚B.4C.1+3后D.7

02

2.（2019•天津•理）a=log52log050.2c=O.5,a,4c的大关系为（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

3.（2020年浙江省高考数）已知a,b£R且abWO,若（x-a）（x-b）（x-2o-b）20在xNO上恒成立，贝lj（）

A.a<0B.a>0C.b<QD.b>0

4.（2020年浙江省高考数学试卷・）已知Q,"R且。厚0,若（元-哄口0。-2〃询K）在史0上恒成立，则（）

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

5.（2019•全国I•理）已知a=log20.2,b=20-2,c=O.20-3,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

二、填空题

1.（2022年高考全国甲卷数学（理））已知,ABC中，点。在边BC上，ZADB=120\AD=ZCD=2BD,当「取得

AB

最小值时，BD=.

B

2.（2021年高考浙江卷）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中

间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方形的面积

S

为S],小正方形的面积为S2,则芳=.

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

与集13系等式

高存•存瓶分析

不等式作为高考一个工具，主要题型是小题，再者就是与其他知识点相结合。

考点01解基本不等式

考点02不等式应用一线性规划

考点04不等式综合应用

高名真魅精折

考点01：解基本不等式

一填空题

1.（2021高考天津）若a>0">0,则!+告+匕的最小值为____________.

ab

【答案】2&

【解析工«>0,&>0,1+4+^^2.（^4+&=-+&>2.pl=2^,

ab\abbVb

-«r\

当且仅当厂会且1=0,即a=6=拒时等号成立，所以:+芯+6的最小值为2&.

故答案：2夜.

11Q

2.（2020天津图考•）已知〃>。，b>0,且=则1--1-----的最小值为_________.

2a2ba+b

【答案】4

八7c118abab8

【解析】>O,Z7>0,tz7+Z7>07ab=1,---1----1----------1----1-----

?2a2ba+b2a2ba+b

二审+£»2”>£=4,当且仅当a+行时取等号,

结合仍=1,解得a=2-后b=2+g,或"2+亚6=2-百时，等号成立.

故答案为：4

3.（2020江苏高考・）已知5无2y>4=1（》,丁已R）,则f+y2的最小值是

【答案】|4

14

【解析】5尤2/+^=1,且1=二

，-2=察+-5+口2乩.丫=：当且仅当导苦,即皂时取等号.

0c44

“2+,2的最小值为歹故答案为：-.

则5A

4.（2019•天津•理）设x>0,y>0,x+2y—5,的最小值为________________

【答案】4A/3【解析工5=x+2y22代号，.•.而在京=竽，

.+1）合+1）「+27二孙+1="竺=2+2922无=46,当且仅当位=也即卜3

J孙。盯g<xy[y=l

x=2

或13时等号成立，因为3〈生，所以后<。=,故（X++D的最小值为4君.

J=-8272历

、乙

5.（2019•上海）若1、ycR+,且，+2y=3,则上的最大值为.

9

8

6.（2019•江苏•）在平面直角坐标系xQy中，P是曲线y=x+3（x>0）上一动点，则点P到直线x+y=0的距离

最小值是.'

【答案】4

lx+x+-l

4

【解析】法1：由已知，可设P（x,x+-）,尤>0,所以

x

当且仅当2x=3,即工=拒时取等号，故点尸到直线的距离的最小值为4.

X

法2:距离最小时，y'=l--^-=—i,则x=所以尸（0,3后）,所以最小值为4.

7.（2022年全国高考甲卷数学（文）.）已知ABC中，点。在边3c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当——取得

AB

最小值时，BD=

8

D

【答案】退-1或-1+G

【解析】设CD=2BD=2m>0,

则在AABD中，AB-=BEr+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

AC2_4m2+4-4/7/4(m2+4+2m)-12(l+m)12>4——12-=4-273

22

所以正=m+4+2mm+4+2m++2吐1)岛

)m+1

3

当且仅当m+1=—即根=百-1时，等号成立，

m+1

所以当去取最小值时，—故答案为：6-1・

AD

考点03：不等式应用一线性规划

-单选题

x+l>0

的最小值是（）

1.（2021年高考浙江卷）若实数无，y满足约束条件<x->4。，则z=xgy

2x+3y-l<0

1

A.-2B.--C.--D

2210

【答案】B

x+l>0

【解析】：画出满足约束条件-x-yVO的可行域，如下图所示：

2x+3y-l<0

1[x=-1[x——1

目标函数Z=x—化为y=2x—2z,由解得,设A(—l,l),当直线y=2x—2z过A点

2[2x+3y—l=0[y=l

13

时，z=兀-gy取得最小值为一万,故选B.

%+y24,

2.(2021年全国高考乙卷文科.)若满足约束条件<x-y<2,则z=3x+y的最小值为()

JW3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【解析工由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线y=-3x+z,数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，

此时Zmin=3xl+3=6.故选：C.

x-3y+l<0

3.(2020年浙江省高考数学试卷・)若实数无，y满足约束条件《°八，则z=2x+y的取值范围是()

x+y-3>0

A.(-00,4]B.[4,+00)c.[5,+co)D.(-oo,+oo)

【答案】B

【解析工绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：y=—x4—z,

22

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：cc，可得点A的坐标为：4（2,1）,据此可知目标函数的最小值为:

[x+y-3=0'7

Zmin=2+2xl=4且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[4,+8）.故选：B

x-2>0,

4.（2022年浙江省高考数学试卷.）若实数x,y满足约束条件2%+y-7«0,则z=3x+4y的最大值是（）

x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

【解析】：不等式组对应的可行域如图所示：

x=2lx=2

由cr八可得.故A（2,3），故Zmax=3x2+4x3=18,故选,B-

2x+y-7=0[y=3

x+y>2,

5.（2022年高考全国乙卷数学（文））若羽y满足约束条件卜+2y<4,则z=2x-y最大值是（）

^>0,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数z=2x—y为y=2x—z,

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点（4,0）时，直线截距最小，z最大,

所以Zmax=2x4—0=8-

故选：C.

x-3y+4>0,

6.（2019・浙江・文理•）若实数x,V满足约束条件，3x-y-440,贝ljz=3x+2y的最大值是)

x+^>0,

A.-1B.1C.10D.12

【答案】C

【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中A（2,2）.由z=3x+2y得y=—』x+Lz，当直线y=—+

2222

过A（2,2）时，在y轴上的截距最大，所以z有最大值为10.故选C.

x+y-2V0,

x-y+2>0,

7.（2019・天津•文•）设变量苍丁满足约束条件.、丁则目标函数Z=-4尤+y的最大值为)

x>-1,

A.2B.3C.5D.6

【答案】【答案】C

IX=—1_

联立《cc,解得A(-L1),化目标函数z=-4x+y为y=4x+z,由图可知，当直线y=4x+z过A时,

[x-y+2=0

Z有最大值为5.故选C.

二填空题

x-3^＜-1

1.(2023年全国乙卷文科.)若x,＞满足约束条件＜x+2y＜9,则z=2x-y的最大值为.

3x+y＞7

2.【答案】8

【解析工作出可行域如下图所示：

x-3y=-1[x=5

z=2x-y,移项得y=2x-z,联立有＜二,解得＜一，

x+2y=9[y=2

设4(5,2),显然平移直线y=2x使其经过点A,此时截距-z最小，贝心最大，

代入得z=8,故答案为：8.

外3x+y=l

/x-3产-1

/^\^^^4^^x+2y=9

2x-y=Qy

3x-2y<3

2.(2023年全国甲卷文科•)若x,y满足约束条件＜一2x+3yV3,设z=3x+2y的最大值为____________

x+y>l

【答案】15

【解析工作出可行域，如图，

3z

由图可知，当目标函数y=-过点A时，z有最大值,

J-2x+3y=3

由13x—2y=3可得＜.,即A(3,3)

[y=3

所以Zmax=3x3+2x3=15.故答案为：15

2x+y-2<0,

3.(2020年高考课标I卷文科•若x,y满足约束条件(x-y-120,则z=x+7y的最大值为

y+120,

【答案】1

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

其中Z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

2x+y_2=0

联立直线方程：，c，可得点A的坐标为：A(l,0),

x-y-1=0

据此可知目标函数的最大值为：z111ax=1+7义0=1.故答案：1.

x+y>-L

4.(2020年高考课标II卷文科。若x,y满足约束条件(尤-1,贝”=x+2y的最大值是

2x-y<\,

【答案】8

【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示:

x-y=-l[x=2

此时点A的坐标是方程组।的解，解得：<,

[2x-y=l[y=3

因此z=x+2y的最大值为：2+2义3=8.故答案为：8.

x+y>0,

5.（2020年高考课标III卷文科•第13题）若x,y满足约束条件｛2x-y>0,,则z=3x+2y的最大值为

x<1,

【答案】7

【解析】不等式组所表示的可行域如图

3Yz7

因为z=3%+2y,所以y=——+—,易知截距万越大，贝!Jz越大，

3_xz

平移直线y=-5，当y=-飞■+]经过A点时截距最大，此时z最大,

【答案】-6

【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当x=0,y=2时，ZmL-6.

2x+3y-6>0,

<x+y-3<0,

7.（2019•全国II文）若变量阳丁满足约束条件卜一240，则z=3x-y的最大值是

【答案】9

【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，

阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线3x-y-z=0中的z表示纵截距的相反数，当直线z=3x-y过

点（3,0）时，z取最大值为9.

考点04不等式综合应用

一单选题

1.（2023年全国乙卷文科。已知实数其丁满足f+丁―4x—2y—4=0,则x—y的最大值是（）

A.1+迪B,4C.1+30D.7

2

【答案】C【解析】：法一：令x-y=k,则％=上+，

代入原式化简得2y2+（2左一6）y+左2—4左一4=0,因为存在实数则△对,即

（2左一6）2—4x2（r—4左一4）之0,化简得左？一2左一1740，解得1—3点〈左<1+3加，

故％—y的最大值是3我+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4^0,MW（^-2）2+（y-l）2=9,

令x=3cos6+2,y=3sin6»+l,其中。6[0,2兀],

则x-y=3cos6-3sine+l=30cos[6+；）+1,

,TTtTTvJ'ITijry

6>e[0,2^-],所以，+^6—,则（9+i=2兀，即。=彳时，x—y取得最大值3拒+1,

法三：由犬+丁―4x—2y—4=0可得（x-2）2+（y-l>=9,设x—y=左，则圆心到直线x—y=左的距离

<3,解得1—30〈kW1+3后故选：C

y/2

2.（2019•天津•理）已知a=log52,b=log050.2,c=0.5°\则a,dc的大小关系为）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

-1