专题17 圆（教师版）

知识点01：垂径定理及其应用【高频考点精讲】1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2、垂径定理的推论（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。知识点02：圆周角定理【高频考点精讲】1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。知识点03：圆内接四边形的性质【高频考点精讲】1、圆内接四边形的对角互补。2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。知识点04：三角形的外接圆与外心【高频考点精讲】1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。3、注意事项（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。知识点05：切线的性质【高频考点精讲】1、圆的切线垂直于经过切点的半径。2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。知识点06：三角形的内切圆与内心【高频考点精讲】内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。4、三角形内心的性质（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等。（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。知识点07：弧长及扇形面积计算【高频考点精讲】1、弧长计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）2、扇形面积计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则①S扇形＝πR2②S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法。知识点08：圆锥的计算【高频考点精讲】1、圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。顶点与底面圆心的连线叫圆锥的高。2、圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。3、圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．4、圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl5、圆锥的体积＝×底面积×高6、注意事项（1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等。（2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.50一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（）A．80° B．90° C．100° D．110°解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝100°．故选：C．2．（2分）（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（）A．π B．π C．π D．2π解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面积为，故选：D．3．（2分）（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵∠BOC＝2∠COD，∴∠BOD＝3∠COD＝150°，∴∠COD＝50°，∴∠CBD＝∠COD＝25°，故选：A．4．（2分）（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，∴∠AOB＝80°．故选：D．5．（2分）（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故选：B．6．（2分）（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°解：∵BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故选：B．7．（2分）（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2解：如图，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，所以，S阴影部分＝3＝3×＝（cm2），故选：C．8．（2分）（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（）A． B． C． D．解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A、O、B、C四点共圆，∴∠AOB＝α＝60°，∴圆曲线的长为：（km）．故选：B．9．（2分）（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较解：连接P4P5，P5P6．∵点P1～P8是⊙O的八等分点，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，∵P5P4+P5P6＞P4P6，∴P3P4+P7P6＞P1P3，∴b﹣a＞0，∴a＜b，故选：A．10．（2分）（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为60°．解：∵点A（1，0），P（﹣1，0），∴OP＝OA＝1，∴AP＝OP+OA＝2∵⊙P过原点O，∴OP为⊙P的半径，∵AB为⊙P的切线，∴PB⊥AB，PB＝OP＝1，在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，sinA＝PB/AP＝1/2，∴∠BAP＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠CPD＝60°，又∵PC＝PD，∴三角形CPD为等边三角形，∴∠PCD＝60°，即∠BCD的度数为60°．故答案为：60．12．（2分）（2023•南通）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝24度．解：如图，连接OD，∵OA＝OD，∠DAB＝66°，∴∠ODA＝∠OAD＝66°，∴∠AOD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，∴∠ACD＝∠AOD＝24°，故答案为：24．13．（2分）（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝66°．解：如图，连接OC，OD，∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝22°，∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，∵，∴∠COA＝2∠BOD＝88°，∴∠CDA＝，∵∠DEB是△AED的一个外角，∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝66°，故答案为：66．14．（2分）（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为1500πcm2．（结果保留π）解：烟囱帽的侧面积为：×2π×30×50＝1500π（cm2），故答案为：1500π．15．（2分）（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则的长为10πm．（结果保留π）解：∵∠AOB＝120°，⊙O半径r为15m，∴的长＝＝10π（m）．故答案为：10π．16．（2分）（2023•北京）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为．解：∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线，∴∠A＝90°，∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE，∵OA⊥BC，∴CD＝，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝，故答案为：．17．（2分）（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是80°．解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠B＝80°．故答案为：80°．18．（2分）（2023•青海）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是16﹣4π（结果保留π）．解：由图得，阴影面积＝正方形面积﹣4扇形面积，即阴影面积＝正方形面积﹣圆的面积，∴S阴影＝42﹣π•22＝16﹣4π．故答案为：16﹣4π．19．（2分）（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于10cm．解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则∠OEC＝90°，∵餐盘与BC边相切，∴点E为切点，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），设餐盘的半径为xcm，则OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盘的半径为10cm，故答案为：10．20．（2分）（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是4．解：∵点M是弧AC的中点，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴OM＝6.5，∵点D是弦AC的中点，∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC，∴OD⊥AC，∴O、D、M三点共线，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案为：4．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC＝＝tan60°，CD＝2，∴，解得OC＝2，∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．22．（6分）（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝180°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．23．（8分）（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．（1）证明：连接OC，∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥DB，∵PD⊥BD，∴PD⊥CO，∴PC为⊙O的切线；（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，∵PC＝2BO＝2r，∴OP＝＝3r，∵PB＝10，∴3r+r＝10，即r＝．∵OC∥DB，∴△PCO∽△PDB，∴，∴，∴BD＝，∵AB是⊙O的直径，∴AE⊥BD，∴AE∥PD，∴，∴，∴BE＝．24．（8分）（2023•娄底）如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO＝DG，连接GB，GC，OB，OC．（1）求证：四边形BOCG为菱形．（2）如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O．①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点，∴连接点A、G、D，其所在直线是BC的垂直平分线，∴GO⊥BC，且BD＝DC，∵DO＝DG，∴GO与BC互相垂直且平分，∴四边形BOCG是菱形；（2）①解：直线AB与⊙O的位置关系是相切，证明：∵等边△ABC中，∠ABC＝60°，BG为∠ABC的角平分线，∴∠ABG＝∠GBO＝30°，∵四边形BOCG是菱形，∴∠CBO＝∠GBC＝30°，∵∠ABO＝∠ABG+∠GBC+∠CBO＝90°，∴AB⊥OB，即AB与⊙O相切；②证明：∵∠BGC与∠BMG对应的弦为BC，∴∠BMC＝∠BGC＝180°﹣60°＝120°，∴∠MBC＝180°﹣120°﹣∠MCB＝60°﹣∠MCB，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°﹣∠MCB，∴∠ACF＝∠MBC，∵∠BCE＝∠A＝60°，BC＝AC，∴△BEC≌△FCA（ASA），∴AF＝CE，∵AE+CE＝AC，∴AE+AF＝AE+CE＝AC，即AE+AF为定值．25．（8分）（2023•营口）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的长．（1）证明：如图，连接BD，OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，∵AB＝BC，∴AD＝CD，又∵OB＝OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，∵FD⊥AB，∴FD⊥OD，∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：由于cosC＝＝，可设CD＝4x，则BC＝5x，∴BD＝＝3x，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴∠DBE＝∠CBD，∵∠BED＝∠BDC＝90°，∴△BED∽△BDC，∴＝，即，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴BC＝5x＝，∴OD＝BC＝，∵OD∥BE，∴△FEB∽△FDO，∴＝，即＝，解得FB＝．26．（8分）（2023•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．（1）证明：连接OE，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE平分∠ACB交⊙O于点E，∴∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，∵EF∥AB，∴OE⊥FE．∵OE为⊙O的半径，∴EF与⊙O相切；（2）解：连接OG，OC，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°．∵∠ACE＝45°，EG⊥AC，∴∠MEC＝45°，∴∠GOC＝2∠MEC＝90°，∴∠AOG＝∠AOC﹣∠GOC＝30°，∵AB＝8，AB是⊙O的直径，∴OA＝OG＝4，∴的长＝＝．27．（8分）（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE为等边三角形，∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；【应