随机过程习题答案

随机过程习题解答(一)

第一讲作业:

i、设随机向量(X，y)的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布N(°』)。

(a)分别写出随机变量X+丫和X-y的分布密度

(b)试问：Y+T与X-Y是否独立？说明理由。

解：(a)X+JN(0,2),y-r-27(0,2)

(b)由于：

‘x+丫、(\1丫『

=、1-山,=B,B=.det5=-2*0

5T

支+y、

因此d-h是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为:

♦1Y10Y11、(20、

D=BEBr

1J-山山1厂102,

因此x+‘与”—y独立。

2、设人和＞,为独立的随机变量，期望和方差分别为〃「b；和/公。：

(a)试求Z="7和A的相关系数；

(b)Z与N能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：(a)利用X，1的独立性，由计算有：

r

Cov(Z,X)=E{[Xi-E(XY)]\X-E(X)]}=[^+^]/i2-&小=中匕

D(Z)=E(Z2)-£,2(Z)=E[X2-+。河

_%_5%

U片b；+b；/Z；+bE)

(b)当二1的时候，2和4线性相关，即

22222222

从巴+5%=，也

3、设{X")''2°}是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为

E{X(s)X(/)}=B(t-s),s<t,且是一个周期为T的函数，即8(r+T)=B(r),「20,试求方差

函数力[X(t)—W+T)L

解：由定义，有：

D[AXr)-X{t+r)]=D[A7O]+D[X(t+T)]

-2E{[X(t)~EX(t)][X(t+7)-EX(t+T)]}

=5(0)+B(0)-2E{X(t)X(t+T)}

=B(0)+B(0)-2B(T)=0

4、考察两个谐波随机信号X«)和)«),其中：

X(t)=ylcos((y/+。)，丫⑴=8cos®J)

式中力和为正的常数；。是[一〃，〃.内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布的随机变量。

(a)求的均值、方差和相关函数；

(b)若3与B独立，求X(，)与M/)的互相关函数。

解：卬或了(/)}=0

%看“)=/XG)X(G)}=

产21A2

=Acos(①J[+<jp]cos(<yJ,+哈——d(p=——cos(。入(：-k))

人""lit2

A2

=——cosa)cTr=4-G

2

D{X(t)}=cos(a)ct+(p)^-d^=

(b)RAY(%4)=E{X(。))('2)}=。

第二讲作业:

P33/2.解:

AnT<t<nT+7]

*)=,

0nT+/j<t<(n+l)I其中7?为整数，i]为脉宽

00x<0

F±(K/)=4P0viWT}=*—0<x<A

1ix>A

从而有一维分布密度:

4(x/)=，(力"-#(工—力)

P33/3.解：由周期性及三角关系，有：

A.

*)=0"+7-%)f丘卜0-T,7]

%=r+f-1g(t)

反函数A,因此有一维分布：

.[1KL1Z1

=xe(0,送4)

介(幻=丁|小ITAA

I0其它

/、0=tan1—,V=4比+〃2

P35/4.解：⑴G(f)=VsinW+“)其中〃

由题意可知，的联合概率密度为：

&勿(苍)')=；exp{-(V+)/)/2}

x=vcos伊

v=^x2+y2(p=tgl-

y=vsin^?x

利用变换:,及雅克比行列式:

改

友

一

一

加

切

-砂

如

一

一

lav而

我们有(匕阳的联合分布密度为:

八…卢卜V

2v>0,0<^><2^

因此有:

V

2

fv(y)=vev>0

/。4…

且V和0「相互独立独立。

(2)典型样本函数是一条正弦曲线。

(3)给定一时刻/,由于；独立、服从正态分布，因此「(/)也服从正态分布，且

E(g⑴)=E(^coscot+〃sincot)=cos。fE(j)+sinofEQ?)=0

。(式f))=D(Jcoscot+7；sincot}=cos旗)+0(〃sincot}

=cos2otD(g)+sin2①tDQ])=1

所以G")〜N(OJ)O

网/；一。)力=片+"2

(4)由于：万

所以"用=202+〃2>,)因此

当c-0时,

P(A)=1

当0>°时,

F(4)=l-P(Jy+〃244)

c

2

P(A)=1-Fv(4c)=e

由(1)中的结论，有:

P36/7.证明：

Z

R%(“2)=£J]COS/(COSJd，]=—cos/)cos/2

⑴°3

(2)由协方差函数的定义，有：

Cq（’1，，2）=尺1（。，，2）一]〃cosf]cost2d〃•fT7cosAcost2dr/

111

=—costcosL---cosAcosL=—cost,cosL

3,24121212

P37/10解.⑴顼相>0)=龙©)=小@(-i)+p」l=Mp-q)

J-•-*//Ax_7•/IJ-J•X..1-x

⑵•力)=E(z落)=2>(必，

J=1J=1均码1;对

1</<«]

当i=j时双适)=1；否贝卢(西卜年一夕丫

令〃=miu(%,n2)N=max(%,n2),则有

R*(%，％)=ZE©ej)+〃」=m<N-l)](p-q)2+”(5•%一”)(p-q>+力

.产

C〃“(々，%)=,n2)-E(T](nx))-石(77(々))

=(公•力2-〃)(P-9)2+"一&(P-q)•%(P-。)=4叩q

第三讲作业：

P111/7.解：

(1)是齐次马氏链。经过,7+1次交换后，甲袋中白球数仅仅与"次交换后的状态有关，和之前的状态

和交换次数无关。

(2)由题意，我们有一步转移矩阵：

010

14401

---

P9990

=44

o--1

99

019

Ooj

P1H/8.解：(1)由马氏链的马氏性，我们有：

P旗0)=0苫(1)=1,空)=1}=

=唾⑵=喈(1)=1}.尸领)=喈(0)=()}•尸原0)=0}

1311

=—♦—•—二---

34416

(2)由齐次马氏链的性质，有：

571

一

一4

17616

口2

尸13

一

2)--一16

3163636

13

一31

一

124848

此

因

7

-

16

Pl12/9.解:

'\-0

Pp1-p0p

⑴尸(2)=尸=

010P⑷=pA=010=p(2)

\-p0p.y-p0p.

nt")_pb+2)

(2)由(1)的结论，当”为偶数时，递推可得：1一广

pl")_p("+2)

计算有：即=pMp⑶=尸\递推得到尸一尸，因此有：

010'

1-P0p〃是奇数

010

尸⑸=）

1-/70p

010n是偶数

1-p0p

P112/11.解：矩阵尸的特征多项式为：

="+；12+；1=(2-1XA+C7+^-1

由此可得特征值为：4=1,4=1一°-8,及特征向量:

4=（L1）「，4=（见-b）：

令矩阵1

A=

1一

则有:

因此有:

0

A-PA==月-1尸w月

（l-a-b/

b

10a+ba+b

0(1-a-b)n1-1

a+ba-\-b

b+a(l-a-b)na-ff(l-a-b)n

a+ba+b

b_b(l_a_b)"a+b(l—a—b)"

a+ba+b

Pl12/12.解：

设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是

一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0,下雨为1,则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三

天晴为000,为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001,为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天

晴为010,为状态2；第一天晴，后两天阴为011,为状态3,等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如

下：

0.80.2000000

000.40.60000

00000.60.400

0000000.40.6

P=

0.60.4000000

000.40.60000

00000.60.400

0000000.20.8

第四讲作业:

P113/13.解：画出状态转移图，有：

f⑴_„(»)_1f⑵_.1_1f(v__L211

Ioo—Poo—,Joo-〜一一万，J00一―~

22362339

1

f(0-1.f(2)__X=­•

/01—J01—A——J01.__

22242228

PI13/14.解：画出状态转移图，有：

端=成一外常二。，/石二％%%；

To,=5,/of=Pili，/of)=

P113/16.解：画出状态转移图，有：

(1)由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。

(3)状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且^3=1,所以状态3、4为常返态；另外状态0、

2相通组成一个闭集，且九一L故状态0、2是常返态；因为外"=LN/,=（）（">1）,故

/1=1/2<1,所以状态1为非常返态。

（4）0、1相通作成一闭集，且Foo=1,故0、1为常返态；又#？=L/黑=°（">1）,因此工12=1,

故2为常返态；自=1<L启=2/'3<1,故3、4为非常返态。

第六讲作业：

P115/17.解:（1）一步转移矩阵为:

0p00q-

q0p00

P=0q0p0

00q0p

_p00q0

（2）当P>°，夕>°时，由计算可得P'>0,因此可由以下方程组计算极限分布:

0p00q

q0p00

（万0>万2，叼，%）=（万0，万1，"2，%3，%）0q0p0

00q0p

p00q0

(7Tg+»]+7T7+71、+兀4=1

解得极限分布即可。

P115/18.解：由第七题的结果，计算可得：，

因此可计算极限分布如下：

-0100'

£44

0

999

（既，冗］、冗1，霏3）~（近.巧，叫，江3）

442

nU

999

_0010

+江1+%2+斤3=1

解以上方程，得极限分布：

,、/1991)

°123(20202020J

P115/19.解:见课上讲稿。

P116/21.解：记工”=45），％=〃（〃），〃=1，2,…，则有:

(1)因为：

=P{X.+1=0,工+]=/工=iJfiA==/J

+产在田=1，L"工=，T=*，••・/=0

=9P邕+1=/|匕+1=。，匕­=*Lj=iJ

+泮区+1=)|匕+1=1，，=i，，T=*，…，5=4}

当，二°时，有：

P{Yn+l=0\Xn+l=0Jn=/"；T=4"...,匕=G=1

产区式二0|匕+1=1，工=7消T=乙}二。

由(A)可得：

—=)|工=»，，T=*，…，、=巾=q

当/工°且/=’+1时，有:

尸口+1=，+1因£=0,工=/,%=*，…,4=幻=0

P亿H=j+1£+1=L匕=G=1

由(A)可得：

产也+i=/1%=力匕-1=*，,•,/=♦=「

当/工°且/4+1时，有：

P{1=/工用=0，工=；，岫=*，…/；=G=0

P%产/因+1=1，匕=*T=*，…黑=寸=0

由(A)可得：

—=/%='♦,给=*，…/=讨=0

另外：下列等式是明显的

，q,7=o

2亿+i=/工=，}=，/=/+1

o,其它

因此我们有：

口工+i=/|%=，，工T=*，…,X=%}=口工+i=/|工=讣

即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：

匕Poo■■•

p=q0p0…

q00p•••

k:

(2)画出转移矩阵图，可得：

瑞=q，您=pq,需=p2q,…，需=p'Tq

0,由递归可得:

POT=Too*Poo1=9

Pm=foopSo+.相，p”=/+pg=q

PM，=q

(3)由于:

/ou=Z启"=EP"%=1

n-\w=l

1

E破)=-<8

«=iq

因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。

(4)由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有:

E{T}=fkP{T=熊=沙腰工kpiq=上

k=i±=i上=1q

£){7}=}-(E{T»=匕苫

q

随机过程习题解答(二)

P228/1o证明：由于s口，有

PS(S)D</NG)010P斤%

「p£j(s)Pc画N6围DiDd

UpQ^)OhD

其中

pQ(s)Ck3{N(tQ)Dim©m；e.)

pQ(t)DiS^em

n!

所以

4一———

pQ(s)O</N(t)------L尸’:---

工田

n!

□$kGQ)nan!国厂

tktnlUk!(nQ)!

P229/3.解：（1）因为｛N（t）,0是一Poission过程，由母函数的定义，有:

□(s)口口｛NBCk｝国

N(tEO)

kQ

｛NR）口｝田｛N（口）口｝主

□ETOQN心口｝国中｛N(□)□<口｝@口口

kOHtD

□苫RNG)口｝国13｛N(□)□<口｝国口口

1.

□回马（t）口｝国

OjQ

CD(s)皿(s)

NA)N(Q)

（2）有上面（1）的结果，可得:

m©f—LIaLU&

N(t)口1171N(tnn)N(t)

anno□

Tm口©皿G)H©

□limN(t)N(d)N(t)

□□o口

□□(s)djmDNo/s)D

N(t)□

□□0

（3）当口充分小时，由于:

□(s)口口｛N(口)公｝国

N(Q)

kQ

d3mma)QdSama)3cEtaa)国

kQ

因此，当|s|口时，有：

limqo)©口[XO@rT7sQ)

□□0口QDO口kD口

由(2)的结果，我们有：

皿曾©CQs口)□(s)

□N(t)

P229/4.解：（1）由上面3题的结果（3）,我们有:

(s)

口口)口(s)

N(t)口

（2）由于口（s）是随机过程N&）的母函数，且口（s）匚bEfenot,将函数eoismt关于s（sDL）

N（t）N(t)

展开成级数形式，我们可得:

□(s)Ei口so□叵］——上国coEk

N(t)k!

kQ

由母函数与分布函数的唯一性定理，可得:

P{N⑪匚k}Hffl,k匚D」,2口

P230/8.解：由特征函数的定义，我们有:

□J)DE

□□p{N6)Di}国口:1(t)|NG)Da口

nO

□")nSffldE

nQl提好MW

□

n!

nO

则有:

至4人口□

J口Qxp(*)

n!

iO

若Y伍口,2,口）的概率分布为:

p{Ya}Dntop

n1212

则

IU0U（**）

□心）DEHn土曲

1212

将（**）代入（*）,我们有:

□

口xs回U□0QU口花

IIII.I

nitean(nm)t

212

P230/7.解：先求｛N《）』0）｝的特征函数:

o

I-elnjt倒(Qi)m

由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知｛N©[□)｝是复合

o

Poission过程。

P231/10.解：由于

pgt)a(x6)Dj|XQDCJ)0D1电

JP53©a,x6后,x6Dedoct)Di口

P图t)DC?)DC6D1口

123

因为xjt)的母函数为：

□(s)DexpQ(sDl)tD

N(t)i

由独立性，可知X(t)DX^t)DXG)的母函数为：

123

□(s)□巴□(s)Dexp咽□□□□OBtO

X(t)X(t)123

i口

所以XG)DXG)DCG)DCG)是参数为□匚口工的泊松过程，即

123123

P员C)匚区t)Eh1吧中?口史坦事事昆

123n!

因此我们有:

pU(t)a,xoDj|X6)DC《)DC6)D1电

曰国值t口4st比

1昌国ao1

_A_emtLJiee叫

「k!k»jj!i___(nLj\_k)!

□DBEm——rnWr~~

i23eq口W

n!

n!「Silnha

%!?□：口)!’123-----------

nmm)n

123

P231/12.解：(1)由

px(tm)

□P{x(t)ci.x(□)□)}DP{x(t)口Q,X(Q)口}m

□P{x⑪ndEtoaBHX⑪□<口}星a□)(口

rr

令口口0,有

EQp(t)p©

dtrkrkQ

解得

P员的口宙平kefflt

k!

(2)由(1)知，XG)服从参数为国的泊松分布。

r

P232/15.解：(1)以2)表示t时刻系统中不正常工作的信道数，则{%)上□)}是一马氏

过程，其状态空间为：SB0L2},Q矩阵为：

平口2口0C

=□□non□E

Q

=02口口上

(2)令：

HG)p心pQ)匚

J000102

P(t)匚J)(t)p。pG)=

r—|1011121—1

3G)pG)p(t)=

口2021221

则前进方程为：

天…

国(0)口

(3)令：

Pt)DP{Oi)Qj}

j

品)D(fG),pC),p6)),10)口(1,0,0)

012

写出福克―普朗克方程：

□晶)Q

薪)口。,0,0)

即有:

□Ip(t)

rq_Q——□3%G)口(t)

=qdt01

4P(t)

BQ)。G)口(0口斗心QEb/t)

dt

L-CP2G)

dt

□)(0)口，P(0)口)，(0)□

t012

做Laplace变换，令:

□(s)DL(p«)),nD3』,2

则有:

国□©口口3m（s）G©

00

□（s）nm（s）DOUD（s）am（s）

1—^1D1(s)OT(.0s)am.(..s.)12

J212

由上解得:

]S2□CBDCDS।

□(s)口

0;

其中:

□□2□□

AnnDnrCDn

，(rm2'(nri2

因此求

Po（t）DLBq（s））

即可。

(4)P{T口,T口}DP{T口}P{TQ}QmemDean-

ABAB

P233/16.解：(1)令A）表示t时刻系统中正在用电的焊工数，则｛曰）,t口）｝是一马氏过

程，其状态空间为:SD{0i,2,D,ni}o

（2）Q矩阵为:

p3n口mD00□0一

='□=

(mQ)D0□0

Q匚一02D□2m(mQ)D(rnQ)D□0一

==

□□□□□□

=0000mD□nCh

(3)令:

P^DPG)Dj)

_j_

P^t)D(p(t),pC),pG)JZJ,p^)),p^o)DC,o,o,□,o)

012m

温Q

田o)aa,o,O,D,O)

上ID□

(4)画出状态转移率图，可得t□□时的平衡方程：

护。口由

=HfnQ)tt2OpDnQ)U口)

I—I102

□□

5fnDi)CDiQp□(mDiD-)Q)口伍口)口)

nnDnQ

□□

口On』

—pLJm

。Q

—n

由此可得：

(m01)03口6口)斗DinDi口)』D14ma

nnDnQn

mQ)CQ)□)

01

即有：

出口1)%口5口)40)

nn口

p□盘三9H,nn)J.,2,D,m

n口(JI口)七小

由此可以求得：

p口皿01口)小三口叱ttnfflp,nDU,口,m

nnnU-10mo

由回p口，即可确定p,最终得到所要的结果。

n0

nO

P233/17,解：(1)由于：□匚hHh,□DiD(QQa□))

nn

可以得到此过程的Q矩阵：

—

甲a000□

□□□cmram00□=

L口02口□emaa2二0□=

Q用

□□□

—nD□nOUQ]nEEl=

=□U□=

令:

P心口⑪口}

j