2023-2024学年天津市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知数列｛%｝满足4=1，%=1+二一(“∙∙2且〃eN"),则这个数列的第5项是()

an-∖

358

A.2B.-C.-D.—

235

【正确答案】D

【分析】根据递推公式计算可得答案.

【详解】因为4=Iq=1+-1-("∙∙2且neTV,),

7

¾-l

1IC1131158

所以〃2=1+-=2,¾=1÷-=-,a4=∖+-=-fa5=l+-=-f

a｝a22ai3a45

故选：D.

a万

2.已知直线/的倾斜角为子，直线4经过点A(3,2)和8(a,-1),且直线/与4垂直，”的值

为()

A.1B.6C.0或6D.0

【正确答案】D

【分析】求出直线/与4的斜率，利用两个斜率乘积等于-1即可求解.

【详解】因为直线/的倾斜角为毛，所以直线/的斜率为tan手=T,且/与4垂直，

所以直线《斜率存在，

由经过点A(3,2)和8(“,-1),所以直线4斜率为二I],

Cl-J

所以二==1,解得：a=O,

a-3

故选：D

3.圆心在X轴上，半径为2,且过点(1,2)的圆的方程为()

A.X2+y2=4B.(x-l)2+γ2=4C.(x-2)2+y2=4D.(Λ-3)2+√=4

【正确答案】B

【分析】根据圆心位置，可设出圆的标准方程，再将点(1,2)代入，即可求得结果.

【详解】根据题意，设圆的标准方程为(χ-a∕+y2=4,

将(1,2)代入，求得α=l,

则圆的标准方程为(X-I)2+丁=4,

故选：B.

4.如图.空间四边形OABC中，O4=α,OB=Z?,OC=C,点〃在。4上，且满足OM=2M4,

点N为BC的中点，则MN=()

A.—a——b+-cB,乙+乙」C

232332

11,1

C.—a+—b——cD,二/+L

222322

【正确答案】D

【分析】由H，N在线段。4,BC上的位置，用°,b，C表示OM，ON，进而表示出MN∙

2

【详解】因为OM=2MA，所以OM=

又因为点N为BC的中点，所以ON=T仅+c),

211

所以MN=ON-OM=——a+-b+-c.

322

故选：D.

5.在等比数列他｝中，T“表示前”项和，若4=2T2+l,⅛=2T3+1,则公比q等于

A.-3B.-1C.ID.3

【正确答案】D

【详解】试题分析：因为々=2匚+1,仇=2厂+1两式相减得4-&=-24，从而求得

)=3.故应选D.

1、等比数列的定义；2、公式q=S“一S,."〃之2)的应用.

6.抛物线d=!y上的一点用到焦点的距离为1,则点M到X轴的距离是（）

4

17n15C一7

A.—B.—C.1D.一

16168

【正确答案】B

【分析】根据抛物线的定义列式求解即可.

【详解】抛物线/=｝的焦点F（O,J）,准线y=-上，

4k16J16

设点."（々,九），

根据抛物线的性质得，%+∙⅛=ι,解得%=整，

IoIo

则点”到X轴的距离是与，

16

故选：B

7.双曲线K=I的两个焦点分别是片,乙，点尸是双曲线上一点且满足4PA=60,则

169

△F\PF°的面积为（）

A.25√3B.\6下＞C.9√3D.3√3

【正确答案】C

【分析】设IP用=m,∣P片|=〃，可得帆-〃I=2α=2,△耳PK中再利用余弦定理可得〃如=36,

由面积公式即可求得答案.

【详解】⅛-⅛=∣,所以α=4,b=3,¢=5,

169

P在双曲线上，^∖PFi∖=m,∣P7⅛∣=n,

∣∕zz-∕2∣=24=8①，

由N"P名=60,在心中由余弦定理可得：

L=IM2+|崎_2附||叫COS60,

故IoO=+"-"Ul=（Jmy+〃7/2②，

由①②可得加=36,

.∙.直角△/=；P6的面积S=J尸耳HP周SinN可尸玛=g机〃∙sin60=96.

故选：C.

8.己知椭圆C：§■+方=l(a>6>°)的左、右焦点分别为再，工，下顶点为A,直线AB与

椭圆C的另一个交点为B,若BKA为等腰三角形，则椭圆C的离心率为()

A.-B.3C.ɪD,—

3322

【正确答案】B

【分析】由椭圆定义可得各边长，利用三角形相似，可得点5坐标，再根据点在椭圆上，可

得离心率.

【详解】如图所示：

因为BKA为等腰三角形，且IA国=|AR="，

又同+忸£|+|M=4",所以MBl4，

所以IA图=2优回，

过点8作_LX轴，垂足为例，

则AOF2BMF2,

由A(OT),6(G0),得《手3，

Q2A2

因为点区在椭圆C上，所以9c+二∙=1,

4a4b

所以冷，

即离心率e=£=且，

a3

故选：B.

二、填空题

9.双曲线片-£=1的渐近线方程是.

916

4

【正确答案】y=±-χ

【分析】直接由双曲线的方程求解即可

【详解】因为双曲线方程为E-X∙=1,

所以双曲线的渐近线方程为三-耳=0,即y=±gχ,

9163

4

故y=±§x

10.已知圆。:(》-3)2+丫2=/&>0)和圆3：丁+/2一8/+7=0外切，则r=

【正确答案】2

【分析】根据两圆外切列方程，化简求得L

【详解】圆C的圆心为(3,0),半径为r.

圆。的圆心为(0,4),半径为〃4；28=3.

圆心距为=5,

由于两个圆外切，所以r+3=5nr=2.

故2

11.在空间直角坐标系中，A(l,l,l)∖B(2,3,4),平面BCO的一个法向量是(τ,2,l),则点A

到平面BCD的距离为.

【正确答案】√6

∖n-AB∖

利用点到平面的距离公式d=M("为平面BCO的一个法向量)可求得点A到平面BCD

的距离.

【详解】由已知条件可得AB=(1,2,3),平面88的一个法向量为〃=(-1,2,1),

∖n-AB∖∣-l×l+22+3×l∣

j

所以，点A到平面BCO的距离为d=Jrr=瓜.

H√(-l)2+22÷l2

因此，点A到平面BCo的距离为遥.

故答案为.ʌ/ð

方法点睛：求点A到平面88的距离，方法如下：

（1）等体积法：先计算出四面体AfiC。的体积，然后计算出48Cr）的面积，利用锥体的体

积公式可计算出点A到平面BCO的距离；

（2）空间向量法：先计算出平面BCO的一个法向量”的坐标，进而可得出点A到平面BCO

k

的距离为d=τ√∙

H

12.已知数列｛%｝的前,项和S,,=则

a∣

∖-a2+a3-a4++α209-a2020+a202l=.

【正确答案】2021

【分析】根据数列的前"项和公式，可求出。“，判断数列为等差数列，据此将所求式子化

筒即可求出答案.

【详解】根据数列｛%｝的前«项和S,=n2,n∈N*,

当〃=1时，q=S∣=1,

22

当“≥2时，all=S11-S„_|=n-（；2-1）=2n-1,

n=∖时也适合上式，

故凡=2〃-1,则｛a,,｝是等差数列，公差为d=2,

a

故4―出+“3~i++“2019-“2020+°2021=4+1°1°"=2021,

故2021.

三、解答题

13.已知圆¢:/+/=4

（1）求过点P（2,l）且与圆C相切的直线方程；

（2）已知直线x-y-m=O被圆C截得的弦长为20,求实数m的值.

【正确答案】（l）3x+4y-10=0或χ=2

(2)∕n=±2

【分析】(I)分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案；

(2)圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案..

【详解】(1)当直线斜率存在时，设直线y-ι=%(χ-2),

即⅛x-γ-2⅛+l=0,

I-2,k÷11.

圆心go)到直线的距离为，口；=2,

3

解得％=-；，

4

此时直线方程为3%+4y-10=0,

当直线斜率不存在时，直线方程为x=2,此时直线与圆相切，

综上，所求直线方程为3x+4y-10=0或χ=2.

(2)记圆心(0,0)到直线相=0的距离为"，则d=贵，

又弦长为2&，圆的半径为2,则1+(Ti)?=??,

解得〃z=±2,所以∕n=±2.

14.如图，C3J_平面3C跖，四边形43CQ是矩形，四边形BeEF为直角梯形，BFCE9

BCLCE,DC=CE=4,BC=BF=2.

(1)求证：AF//平面CQE；

(2)求平面ADE与平面BCEF夹角的大小.

【正确答案】(1)证明见解析

吒

【分析】(1)结合已知条件，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理，求出λ＞与平

面COE的一个法向量垂直即可证明；(2)结合已知条件，分别求出平面4%与平面BCE尸的

法向量，然后利用面面角的空间向量公式即可求解.

【详解】（1）证明：以C为坐标原点，CB'（⅛和Cb分别为X轴、＞轴和Z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系：

由已知可得A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),£(0,4,0),尸(2,2,0),

AF=(0,2,-4)>CB=(2,0,0)-

依题意&为平面8E的一个法向量，

又AF-CB=0,所以AF±CB，又""e平面CDE.

所以A/7/平面CDE

(2)设平面ADE的一个法向量为；;=(χ,y,z),

又ΛB=(-2,0,0)，Z⅛=(0,4,-4),

ADn=OΓ-2x=0,

则即//n

DEn=O[4y-4z=0.

令y=ι,可得I=(0,1,1)，

依题意(⅛=(0,0,4)为平面BeEF的一个法向量

设平面ADE与平面BCEF的夹角为。，

,∕^*4ι∖ι∖n-CD∖√2

cosUa=|COS〈〃,zCD)I=——=——,

l∏l∣cb∣2

77'JiJjT

又6e[0,J],所以。=:，即平面ADE与平面BCEF的夹角为

244

15.已知数列｛%｝中q=1,a,川=2α,,+3,zjeN∖

⑴证明：数列｛4,,+3｝是等比数列;

⑵若数歹U圾｝的通项公式为d=("+l)∙(%+3),neN∖求数歹∣J｛〃,｝的前〃项和S,；

(3)若cn=log,(α,,+3),求数列JJ的前”项和Tn.

[c“c“+J

【正确答案】(1)证明见解析

⑵S“=〃”

(3)T=----------

''t"j2"+2

【分析】(1)结合已知条件利用等比数列定义证明即可；(2)结合(1)中条件，求出也,｝的通项

公式，然后利用错位相减法求和即可；(3)结合(1)中条件，求出｛%｝的通项公式，然后利用

裂项相消法求和即可.

ci.I÷32Λ+3+3

【详解】(1)证明：因为⅛=-⅛-=2,∕∈N*

4+3«„+33

又q+3=4,所以｛q+3｝为首项是4,公比为2的等比数列.

(2)由⑴可知,α,,+3=2叫"∈N*,所以d=("+l)2"T,zj∈N*∙

则S,,=2∙22+3"+4∙2"++M∙2π+(n+l)∙2π+,,

2S,,=2∙23+3∙24+4∙25++n∙2,,+l+(n+l)∙2π+2,

234

以上两式相减可得，-Sn=2∙2+2+2++2向-5+1)∙2"2=T7∙2"2,

所以S,,="∙2"2

(3)由(1)可知，“"+3=2"","∈N*,所以C"="+l,n∈N"

[_]_J_____1_

从而“向("+1)("+2)n+∖n+2'

Tli111111

故44(=-----1------------FH----------------------=----------------.

w2334/1+1n+22〃+2

16.己知椭圆的焦点在X轴上，一个顶点为(0,1),离心率