2022-2023学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（下列每则的四个选项中，只有一个正确的选项）

1.我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见.下面几幅图片是校

园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（）

A.（4,-2）B.（-4,2）C.（-4,-2）D.（2,4）

3.若一个三角形的两边长分别是3和4,则第三边的长可能是（）

A.8B.7C.2D.1

4.下列命题是假命题的是（）

A.三角形具有稳定性

B.周长相等的两个三角形全等

C.全等三角形的对应边相等

D.等腰三角形的两个底角相等

5.如图是一个平分角的简单仪器，其中BC=DC.将4放在角的顶点，4B和4。

沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是ND4B的平分线.在这个过程中△

AOC四△ABC的根据是（）

分

E

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

6.如图，/XABC是等边三角形，AO平分NBAC,若80=3,则AB的长为（）

7.如图，已知△ABC,OA=OB=OC,则点。是4ABCl)

A.三条边垂直平分线的交点

B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

8.如图，四边形A8CD中，AD=CD,AB=CB,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫

做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（）

A.“筝形”是轴对称图形B.AC垂直BD

C.BO平分一组对角D.AC平分一组对角

9.如图，小明从A点出发，沿直线前进1米后左转30°,再沿直线前进1米，又向左转

30°,照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了()

10.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),B(a,0),C(m,n)(n>0).若△ABC是

等腰直角三角形，且AB=BC,当0<a<2时，点C的横坐标的取值范围是()

A.0</n<3B.2<n<3C.3<m<5D.n>3

二、填空题

11.四边形的内角和是.

12.如图，已知/ACO为AABC的外角，NAC£)=60°,/A=20°,那N8的度数

是__________

13.等腰三角形的两边长分别为3和4,则周长为.

14.如图，ACLBC,ADLBD,垂足分别为C、D,请你添加一个条件

使得△ABO丝△BAC.

15.如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°,在8处测得

灯塔C位于北偏东25°,则NACB=________°.

AR

16.如图，△ABC中，80平分NABGC。平分NACB,过点0且与BC平行的直线MN

与AB、AC两边分别交于M、N,若AB=3,AC=4,则△AMN的周长为

17.如图，在△A8C中，AD为BC边上的中线，BE平分N48C交AQ于点E,EF_LAB于

点尸，连接CE,若EF=1,BD=2,则△CDE的面积是.

18.如图，已知点P是射线ON上一动点(即尸可在射线ON上运动)，/。=30°,当NA

时，△AOP为等腰三角形.

19.已知：如图，点8,F,C,E在同一条直线上，AB〃DE、AB=DE,/A=/D求证:

/\ABC^/\DEF.

21.平面直角坐标系中，点A(-4,1)、8(-1,2)、C(-2,4).

(1)画出△A8C关于y轴对称的并写出点4的坐标;

(2)在x轴上画出点P,使得以+PB的值最小.

22.如图，已知线段8C.

（1）请用直尺和圆规作出它的垂直平分线在上取点A,连接AB,AC（保留

作图痕迹）

（2）求作：直线AO,使得AO〃BC,依据下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；

①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交B4的延长线于点E,交线段4c于点八

②分别以点E，尸为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在NE4C的内部相交于点£>；

③画直线AD；

（3）完成下面的证明.

证明：由作法可知：AO平分NE4C,

：.ZEAD=ZDAC

〈MN垂直平分5C,点A在"N上，

：.AB=AC,

：.ZB=ZC（）.（填推理的依据）

*：ZEAC=Z+ZC.

：.ZEAC=2ZC.

VZEAC=2Z£>AC.

：.ZDAC=Z.

：.AD//BC.

BC

23.已知：如图，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AC边的垂直平分线。E与3C边

交于点D,垂足为£若DE=I,求BC的长.

24.已知：如图，等边△ABC和等边△AOE,连接BD、CE交于点0.

(1)求证：BD=CE；

(2)连接AO,猜想线段40、BO、C。的数量关系，并证明.

如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分

割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角

形的“黄金分割线”.

【理解】

(1)①如图1,在△ABC中，乙4=36°,NC=72°,请你在这个三角形中画出它的“分

割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数；

②如图2,已知AABC是等腰直角三角形，NC=90°,请你在这个三角形中画出它的'‘黄

金分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数.

(2)填空：等边三角形(填“存在”或“不存在”)“分割线”；顶角为钝角

的等腰三角形(填“存在”或“不存在”)“黄金分割线”.

【应用】

(3)在AABC中，ZA=30°,N8为钝角，若这个三角形存在''分割线"，直接写出/

B的所有可能.

A

C

26.已知如图，NAOB=45°，点尸在0A边上，点”在0B边上，N0MP为钝角，NMPN

(1)猜想N0MP与N0PN的数量关系，并证明；

(2)若PM=PN,连接ON,过点P作PEVOB于点E,点H是0B边上位于点E右侧

的动点，且H为线段MQ的中点，连接尸。；

①补全图形；

②猜想当线段OP、E“满足怎样的数量关系时，能使ON=PQ,并证明.

2022-2023学年北京市海淀区八一学校八年级(上)期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题(下列每则的四个选项中，只有一个正确的选项)

1.我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见.下面几幅图片是校

园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是()

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而得出答案.

【解答】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.是轴对称图形，故此选项符合题意；

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键.

2.点M(4,2)关于x轴对称的点的坐标是()

A.(4,-2)B.(-4,2)C.(-4,-2)D.(2,4)

【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答.

【解答】解：点M(4,2)关于x轴对称的坐标是(4,-2).

故选：A.

【点评】本题考查了关于x轴、)，轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的

坐标规律：

（1）关于X轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

3.若一个三角形的两边长分别是3和4,则第三边的长可能是（）

A.8B.7C.2D.1

【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可.

【解答】解：设第三边长X.

根据三角形的三边关系，得l<x<7.

故选：C.

【点评】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关

系.

4.下列命题是假命题的是（）

A.三角形具有稳定性

B.周长相等的两个三角形全等

C.全等三角形的对应边相等

D.等腰三角形的两个底角相等

【分析】利用三角形的稳定性、全等三角形的判定方法及性质、等腰三角形的性质等知

识分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、三角形具有稳定性，正确，是真命题，不符合题意；

8、周长相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；

C、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；

。、等腰三角形的两个底角相等，正确，是真命题，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的稳定性、全等三角

形的判定方法及性质、等腰三角形的性质等知识，难度不大.

5.如图是一个平分角的简单仪器，其中8c=OC.将A放在角的顶点，48和AD

沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是NZM8的平分线.在这个过程中△

ADC彩△ABC的根据是（）

分

E

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADCg/XABC,进而得到ND4C=N

BAC.

'AD=AB

【解答】解：•.•在△AQC和△48(7中＜DC=BC-

AC=AC

二△AOdABC(SSS),；.ZDAC=ZBAC,

；.AC就是ND48的平分线.

故选：B.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理:

SSS、SAS.ASA.AAS.HL.

6.如图，ZVIBC是等边三角形，A。平分NBAC,若BQ=3,则AB的长为()

【分析】根据等边三角形的性质可得AOJ_BC,/区40=30°,再根据含30°角的直角

三角形的性质可得AB的长.

【解答】解：在等边△4BC中，AB=AC,NB4C=60°,

平分NBAC,

J.ADLBC,NBAD=30°,

：.AB^2BD,

'：BD=3,

：.AB=6,

故选：C.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题

的关键.

7.如图，已知△ABC,OA^OB=OC,则点。是△ABC()

A.三条边垂直平分线的交点

B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

【分析】根据线段的垂直平分线的性质判断即可.

【解答】解：'：OA=OB,

点0在线段AB的垂直平分线上，

•：OA=OC,

.•.点0在线段AC的垂直平分线上，

点。是aABC三条边垂直平分线的交点,

故选：A.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等.

8.如图，四边形ABCQ中，AD^CD,AB=CB,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫

做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项()

A.“筝形”是轴对称图形B.AC垂直8。

C.平分一组对角D.AC平分一组对角

【分析】由线段垂直平分线的判定与性质进而分别判断得出答案.

【解答】解：••,A£)=CQ,

点D在线段AC的垂直平分线上，

：.点B在线段AC的垂直平分线上，

.•.BQ是AC的垂直平分线，故B选项不合题意；

在△AQB和△CCB中，

'AD=CD

<AB=CB，

BD=BD

:.△ADBmACDB(SSS),

：.NADB=NCDB,NABD=NCBD,

即对角线80平分/ABC,ZADC,故C选项不合题意;

直线8。是筝形的对称轴，故A选项不合题意；

无法得到，AC平分一组对角，故。选项符合题意.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，对称性，解本

题的关键是判断出△408丝△CDB.

9.如图，小明从A点出发，沿直线前进1米后左转30°,再沿直线前进1米，又向左转

30。，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了()

【分析】由多边形的外角和是360。，即可计算.

【解答】解：小明从A点出发，第一次回到出发地A点时，所走的路线是正多边形,

•.•正多边形的每个外角是30°,

正多边形的边数是360+30=12,

他第一次回到出发地A点时，一共走了1X12=12(米)，

故选：B.

【点评】本题考查正多边形的概念，关键是搞清楚小明走的路线是正多边形.

10.在平面直角坐标系，中，点A(0,3),B(a,0),CCm,«)(n>0).若△ABC是

等腰直角三角形，且当0Va<2时，点C的横坐标〃?的取值范围是()

A.0<m<3B.2<n<3C.3<m<5D.n>3

【分析】过点C作CH^x轴于点H,根据等腰直角三角形的性质易证aAOB之△B”C

(A4S),根据全等三角形的性质可得84=OA=3,进一步可得相的取值范围.

【解答】解：过点C作CH_Lx轴于点H,如图所示，

「△ABC是等腰直角三角形，且4B=BC,

ZABC=90°,

：.ZOBA+ZCBH=90°,

；NOB4+/Q4B=90°,

:.NOAB=NCBH,

在△O4B和△”BC中，

fZA0B=ZBHC

<Z0AB=ZCBH-

AB=BC

:.AAOB”ABHC(A4S),

：.BH=OA,

:点A坐标为(0,3),

."0=3,

:.BH=3,

：.m=0H=0B+BH=3+a,

：.0<a<2,

：.3<m<5,

故选：C.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造全等三角

形是解题的关键.

二、填空题

11.四边形的内角和是360°.

【分析】根据〃边形的内角和是(〃-2)780°,代入公式就可以求出内角和.

【解答】解：(4-2)X1800=360°.

故四边形的内角和为360°.

故答案为：360°.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单.

12.如图，已知NACD为△ABC的外角，ZACD=60a,乙4=20°,那NB的度数是

40°.

【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，所以

根据已知求出NB即可.

【解答】解：•.,/AC£>=/8+/4，

：.ZB=ZACD-NA,

VZACD=60°,ZA=20°,

.•.NB=60°-20°=40°.

故答案为：40°.

【点评】本题考查了三角形的外角的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键.三角形

的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何

一个内角.

13.等腰三角形的两边长分别为3和4,则周长为10或11.

【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和4,但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两

种情况，需要分类讨论

【解答】解：当3为底时，其它两边都为4,3、4、4可以构成三角形，周长为11；

当3为腰时，其它两边为3和4,3、3、4可以构成三角形，周长为10.

故填10或11.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角

形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨

论.

14.如图，ACJ_BC,ADLBD,垂足分别为C、D,请你添加一个条件BC=AD(答案不

唯一)，使得△48。丝△BAC.

【分析】先根据垂直的定义得到NO=NC=90°,加上AB为公共边，根据全等三角形

的判定方法，当添加8c=4。或80=47时，根据“HL”可判断RtzMB。/RlZ\84C；

当添加/ABC=NBA£>或时，根据“AAS”可判断之△8AC.

【解答】解：ADLBD,

.,.ND=NC=90°,

而AB=BA,

：.当添加BC=AD或BD=AC时，RtAABD^RtABAC(Hl)；

当添加/ABC=NBA。或N8AC=/ABQ时，△A8。名/XBAC(A4S).

故答案为：BC^AD(答案不唯一).

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问

题的关键.选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.

15.如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°,在B处测得

灯塔C位于北偏东25°,则NAC8=35°.

r(

,1B

【分析】根据方向角的定义，求出NCA8、ZABC,再根据三角形的内角和定理求出结

果即可.

【解答】解：由方向角的定义可知，

ZCAB=90°-60°=30°,ZABC=900+25°=115°,

A180°-NABC-NCAB

=180°-30°-115°

=35°，

故答案为：35.

【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键.

16.如图，XABC中，8。平分NABC,CO平分NAC8,过点O且与BC平行的直线MN

与AB、AC两边分别交于M、N,若48=3,AC=4,则△4MN的周长为7.

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△M3。和△NC。是等腰三角形，从而

可得M8=M。，NO=NC,进而可得△AMN的周长=A8+AC,然后进行计算即可解答.

【解答】解：〈BO、C。分别是NA8C、NAC5的平分线，

AZABO=ZOBC,ZACO=ZOCB,

*：MN//BC,

：.ZMOB=NOBC,NNOC=/OCB,

：.ZABO=NMOB,ZNOC=NNCO,

；・MB=MO,NO=NC,

*：AB=3,AC=4,

・・・4AMN的周长=AM+MN+AN

=AM+MO+ON+AN

=AM+MB+NC+AN

=AB^AC

=7,

故答案为：7.

【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线

的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键.

17.如图，在△ABC中，为BC边上的中线，BE平分NABC交AQ于点E,EF_LAB于

点、F,连接CE,若EF=1,BD=2,则的面积是1.

【分析】过点E作EG_LBC于点G,由角平分线的性质可得EG=EF=1,再由A。是中

线，则有CD=BO=2,利用三角形的面积公式可求得△COE的面积.

【解答】解：过点E作EGLBC于点G,如图，

平分NABC,EF±AB,EF=1,

:.EG=EF=1,

•：BD=2,AO为BC边上的中线，

：.CD=BD=2,

/.SACD£=.EG-1x2x1=L

故答案为：1.

【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟记角的平分线上的点到角的两边

的距离相等并灵活运用.

18.如图，已知点P是射线ON上一动点（即尸可在射线ON上运动），ZO=30°,当/A

=75°,120°,30°时，△AOP为等腰三角形.

【分析】分三种情况：①04=0P时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得/A=

/。布=75°；②40=4P时，由等腰三角形的性质得NAPO=NO=30°,则NA=180°

-ZO-ZAPO=120°；③P0=以时，NA=NO=30°.

【解答】解：分三种情况：

①0A=0尸时，

则/4=/0勿=2(180°-NO)=A(180°-30°)=75°；

22

②4。="时，

则NAPO=NO=30°,

AZA=1800-ZO-ZAPO=120°；

@PO=PA时，

则NA=N0=30°；

综上所述，当NA为75°或120°或30°时，△4OP为等腰三角形，

故答案为：75°或120°或30°.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三

角形的判定与性质是解题的关键.

三、解答题

19.已知：如图，点B,F,C,E在同一条直线上，AB//DE,AB=DE,ZA=ZD.求证:

【分析】先根据平行线的性质得到NB=NE,然后根据“ASA”判断AABC之△£＞田.

【解答】证明：

:.NB=NE,

在AABC和△OEF中,

，ZA=ZD

,AB=DE，

ZB=ZE

：./\ABC^^DEF(ASA).

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问

题的关键.选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.

20.如图，已知：点。，E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE.请说明8Q=CE的理

由.

【分析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据三角形外角的性质可推出/

BAD^ZCAE,根据SAS可判定△A8£)之ZSACE,由全等三角形的性质即可证得结论.

【解答】证明：；AB=4C,AD=AE,

：.ZB=ZC,ZADE=ZAED,

；.NBAD=NCAE,

'：AB=AC,AD=AE,

：.^ABD^/\ACE,

：.BD=CE.

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及全等三角形的判定与性

质的综合运用.

21.平面直角坐标系中，点4(-4,1)、5(-1,2)、C(-2,4).

(1)画出aABC关于y轴对称的△AIBICI,并写出点Ai的坐标;

(2)在x轴上画出点P,使得讯+P8的值最小.

【分析】（1）作出aABC各点关于），轴的对称点，顺次连接各点即可；

（2）作点A关于x轴的对称点A',连接54'交x轴于点尸，连接B4,则B4+PB的值

最小.

【解答】解：（1）如图所示；

y<

4

n6

—

__

r-

—I—I_I-I_I_

一6三二W二

•।•I।।•*

n

I

J

—

n

I

（2）如图所示:

【点评】本题考查的是作图-轴对称变换，此题涉及到最短路线问题，熟知“两点之间,

线段最短”是解答此题的关键.

22.如图，已知线段BC.

(1)请用直尺和圆规作出它的垂直平分线MN,在上取点A,连接A8,AC(保留

作图痕迹)

(2)求作：直线AD,使得AZ)〃BC,依据下面的作法补全图形(保留作图痕迹)；

①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交BA的延长线于点E,交线段AC于点F；

②分别以点E,尸为圆心、大于^EF的长为半径画弧，两弧在NE4C的内部相交于点5

③画直线AD；

(3)完成下面的证明.

证明：由作法可知：平分NE4C,

J.ZEAD^ZDAC

；MV垂直平分BC,点4在MN上，

：.AB=AC,

等腰三角形的两底角相等).(填推理的依据)

:NEAC=ZB+ZC.

：.ZEAC=2ZC.

'：ZEAC=2ZDAC.

：.ZDAC=ZC.

J.AD//BC.

BC

【分析】（1）（2）根据几何语言画出对应的几何图形；

（3）先利用角平分线的定义得再根据线段垂直平分线的性质得到AB

=AC,则利用等腰三角形的性质得到NB=/C,接着利用三角形外角性质得到NE4C=

NB+NC,于是可证明ND4C=NC,从而可判断AC〃BC.

【解答】（1）解：如图，

（2）解：如图，

（3）证明：由作法可知：AO平分NE4C,

：.ZEAD=ZDAC,

垂直平分BC,点A在MN上，

：.AB=AC,

（等腰三角形的两底角相等），

VZEAC=ZB+ZC.

：.ZEAC=2ZC,

ZEAC=2ZDAC,

：.ZDAC=ZC.

：.AD//BC.

故答案为：等腰三角形的两底角相等；B；C；

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平

分线的性质.

23.已知：如图，ZvlBC中，AB=AC,ZBAC=120°,AC边的垂直平分线QE与BC边

交于点D,垂足为£若DE=I,求BC的长.

【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得CD的长度，再根据线段垂直平分线的

性质可得的长，再根据含30°角的直角三角形的性质可得8。的长，从而可得BC的

长.

AZB=ZC=30",

边的垂直平分线。E与BC边交于点。，DE=\,

：.CD=2DE=2,AD=CD=2,

：.ZDAC=ZC=30°,

：.ZBAD=90°,

；.BO=2AD=4,

：.BC=4+2=6.

【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角

形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键.

24.已知：如图，等边△A8C和等边△△£)£：,连接8。、CE交于点O.

(1)求证：BD=CE：

(2)连接A。，猜想线段A。、BO、C。的数量关系，并证明.

E

【分析】(1)证明△AB。名AACE(SAS),由全等三角形的性质得出结论；

(2)在0B上截取OF=OC,AC与8。交于M,证明△BCFg/XAC。(SAS),由全等三

角形的性质得出BF=OA,则可得出结论.

【解答】(1)证明：’.•△ABC和△ADE为等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,NBAC=N£>AE=60°,

：.ZBAD=ZCAE,

在△ABO和△ACE中，

，AB=AC

,NBAD=NCAE，

AD=AE

A/\ABD^/\ACE(SAS),

；.BD=CE；

(2)解：08=0A+0C.

证明：在OB上截取。尸=OC,4c与8D交于M,

ZABD^ZACE,

又,:NAMB=/CMO,

：.ZBAC=ZBOC=60），,

'：OC=OF,

：./\COF为等边三角形，

AZFCO=60°,CF=OC,

又：/AC8=60°,

；./BCF=NACO,

：./\BCF^/\ACO（SAS）,

：.BF=OA,

OB=BF+OF=OA+OC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，证明△48。

g△ACE是解题的关键.

25.【定义】

如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分

割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角

形的“黄金分割线”.

【理解】

（1）①如图1,在△ABC中，ZA=36°,ZC=72°,请你在这个三角形中画出它的“分

割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数：

②如图2,已知△ABC是等腰直角三角形，NC=90°,请你在这个三角形中画出它的'‘黄

金分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数.

（2）填空：等边三角形不存在（填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角

的等腰三角形存在（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”.

【应用】

（3）在△4BC中，NA=30°,NB为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出N

B的所有可能112.5°或135°或140°.

【分析】（1）①画/A8C的角平分线2。即可;

②画高线CE和EF即可；

（2）根据“分割线”和“黄金分割线”可得结论；

（3）分三种情况分别画图可得NB的度数.

【解答】解：（1）①如图1,当BZ）是NABC的角的平分线时，8。是aABC的“分割线”;

图1

②如图2,CE和EF是AABC的“黄金分割线”,

（2）等边三角形不存在“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，如图

3所示，

图3

故答案为：不存在，存在;