2023-2024学年湖北省部分市州高二年级上册元月联考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省部分市州高二上册元月联考数学

模拟试题

一、单选题

1.直线®-y=o的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正确答案】B

【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.

【详解】由题得直线的斜率左=百，设直线的倾斜角为夕，贝Utana=石，

V0°<a<180°,所以a=60。.

故选：B.

2.已知向量£=(-1,2,1),，=(3,x,y),且那么x+y=()

A.-9B.-8C.9D.18

【正确答案】A

【分析】由空间向量平行得到方程组，求出'J的值，得到答案.

【详解】依题意，由力/，可知，2AGR,使得二4，

于是j2=4%,解得产=-6,于是x+y=-9.

1=Ayy=-3

故选：A

3.若等差数列｛a.｝满足%+4+%=24,则％=()

A.3B.6C.8D.12

【正确答案】C

【分析】根据等差中项即可求解.

【详解】解：根据等差中项，可知％+%=2%，

因为%+4+%=3怎=24,所以4=8.

故选：C.

22

4.已知双曲线5-5=1a>06>0的离心率为0,则此双曲线的渐近线方程为（）

ab

A.y-土拒xB.y=±y[lx

C.y=+2xD.y=±x

【正确答案】D

【分析】利用双曲线的离心率结合双曲线dAc的关系和渐近线方程求解即可.

22

【详解】因为双曲线吞-马=1〃>06>0的离心率为亚，

ab

£=尤b

所以。，解得士=i,

c2=a2+b2a

所以双曲线的渐近线方程为y=±x,

故选：D

5.直线x+y-4=0分另1J与x轴，轴交于A,B两点，点P在圆丫2+必+以+2=0上，则PAB

面积的最大值是（）

A.472B.3石C.16D.8

【正确答案】C

【分析】先求得|力用，然后利用点到直线距离公式，求得圆上的点到直线的最大距离，

由此求得P48面积的最大值.

【详解】在x+y-4=0中，令>=0,得x=4,令x=0,得y=4,

所以4（4,0）,8（0,4）,所以|/8|=4&,

由/+/+4*+2=0化为（x+2y+/=2,

所以圆心为C（-2,0）,半径/=血,

|-2+0-4|

所以圆心C到直线x+y-4=0的距离d=

Vi+T

所以点P到直线x+y+2=0的距离人41+,.=3亚+收=4后,

所以P/8面积的最大值为:x40x40=16.

故选：C.

6.已知数列｛/｝满足％+&++4,=q〃+3),neN',则。“=()

A.2nB.2n+2

C.n+3D.3〃+l

【正确答案】B

【分析】根据见的关系求解.

【详解】Va]+a2++4=以〃+3),当〃=1时，％=4,

当〃22时，。〃=〃(〃+3)-(〃-1)(〃+2)=2〃+2,

〃=1时，卬=4也适合此式，

・，・%=2〃+2,/?GN*,

故选:B.

7.设点/是抛物线/=2px(p>0)的焦点，/是该抛物线的准线，过抛物线上一点力作准

线的垂线垂足为8,射线/尸交准线/于点C,若|/a=2,忸C|=2万，则抛物线的方

程为()

A.y2=xB.y2=2x

21

C.y7=4xD.y=-x

【正确答案】B

【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解.

【详解】解：由题意得：

\AB\=2,|5C|=2^3,AB1BC,所以tanNC/8=^=百

可得NC/8=60。，由抛物线的定义得M日

所以△四尸是等边三角形，所以p=g忸尸卜=所以抛物线的方程是/=2x.

故选：B

8.在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起

向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线'’的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边

分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这

一过程.若第1个图中的三角形的周长为1,记第“个图形的周长为S,为数列｛〃(｝的

前〃项和，则S,=()

【正确答案】A

【分析】根据题意求出每个图形的边长及边数，即可求解.

【详解】解：由题意，当〃=1时，第1个图中的三角形的边长为:，三角形的周长为

氏=3rx_1=।]；

3

当〃=2时，第2个图中“雪花曲线”的边长为1x1=2丫，共有3x4条边，

33

其“雪花曲线”周长为%=3x4x[J=：；

当〃=3时，第3个图中“雪花曲线”的边长为其x>]),

共有3x42条边,其“雪花曲线”周长为%=3x4?

，所以〃q=〃x

图+3呜)+.•.+*)①

于是，=lxl+2x

夫=以沁停)+3、@+...+陪)②

由①一②，得一;工=1+'+(：[+…+£[

JIT-nx4

则S“=(3"-9)(g)+9.

故选：A.

二、多选题

9.若圆(x-2)2+(y+l)2=4上有且仅有三个点到直线3x+4y-m=0的距离为1,则“的取

值可能是()

A.7B.2C.-3D.-8

【正确答案】AC

【分析】求出圆的圆心坐标与半径，写出圆心到直线的距离，利用已知条件列出方程即可求

解.

【详解】解：由题意得：

圆"2)2+(y+l)2=4的圆心为(2,-1),半径为2,

又由题意：圆上有且仅有三个点到直线3x+4y-〃?=0的距离为1,

则圆心到直线3x+4y-/n=0的距离为1,即%削=1,

解得：加=7或〃7=-3.

故选：AC

10.已知椭圆。:二+匕=1内一点A/仔力

上、下焦点分别为耳，6,直线/与椭圆C交

48U3；

于A,8两点，且M为线段Z8的中点，则下列结论正确的是（）

A.椭圆的焦点坐标为（2,0）,（-2,0）B.椭圆C的长轴长为4夜

C.直线/的方程为x+y-2=oD.Q/8的周长为8啦

【正确答案】BCD

【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误；设“看,必），8（々,外），代入椭圆方程,

作差，即可求出MB，进而求得直线/的方程，即可判断C选项；又直线/经过片，结合椭圆

的定义即可求得瑞的周长，进而判断D选项.

【详解】由椭圆方程知：焦点在V轴上，且a?=8，/=4,‘2=/-/=4,

即。=2，6=2，c=2，

所以椭圆的焦点坐标为（0,2）,（0,-2）,故A错误;

椭圆C的长轴长为2a=40，故B正确:

恒+d-1

48

由题意，可设乂），（，），贝卜

4«,8x2%22

三+三=1

148

两式作差得（%+%）（王一工）+（必+”）（必一为）

=0，

48

8（一+々）8、|

8（西+%）2

即39==4,

4（乂+%）-4（%+力）-4*4

23

4工_§],即x+y_2=0,故C正确;

所以直线/的方程为=

由C知，直线/过椭圆的上焦点月,

根据椭圆的定义，所以用“8的周长为4a=8/，故D正确.

故选：BCD.

11.已知数列｛〃“｝满足+”,+|=2x（-1）",且%=1，贝！I（）

A.q=-7B.数列他,1｝是等比数列

C.数列Ml｝是等差数列D.数列［三一1的前"项和为许二

【正确答案】AD

【分析】利用递推公式求《,外，%，%判断ABC,按〃为奇数和偶数讨论得到的通项公

式，利用裂项相消法求数列」一的前〃项和判断D.

【详解】对A,因为4+%=2x(-1)",%"

所以4=2-〃5=1，%=-2-。4=一3,。2=2-%=5,%=-2-〃2=-7,故A正确；

对B,因为%2=9入回，所以数列不是等比数列，B错误;

对C,因为2同住同+同，所以数列｛㈤｝不是等差数列，C错误;

对D,当〃=24-l(%eN*)时，an+a„+l=-2,all+i+an+2=2,两式相减得，an+2-an=4,

所以｛勺｝的奇数项是以-7为首项，4为公差的等差数列，。“=-7+4、(等-1)=2〃-9,

当”=2上(％eN*)时，an+a„+l=2,a„+l+a„+2=-2,两式相减得，a„,2-a„=-4,

所以｛《,｝的偶数项是以5为首项，-4为公差的等差数列，”,,=5-4x(g-l)=9-2〃；

所以%=(-1)"*'(2〃-9),6%=(-1)"*'(2"-9).(-l)z(2〃-7)=-(2〃-9)(2"-7),

设b“=-----,贝！］〃=一

a,4+i(2n-9)(2«-7)

所以4+打+b3H---\-b•••+

111

272w-7

故选：AD

12.如图，正三棱柱Z8C-中，AA,=AB=2t点P在线段8。上(不含端点)，则()

A.不存在点P,使得8P

B."BP面积的最小值为军

7

C.尸/+尸8的最小值为25+6

D.三棱锥B.-PAB与三棱锥C,-PAC的体积之和为定值

【正确答案】BD

【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断AB；把

ABC88c放置于同一平面内，计算两点间距离判断C；利用等体积法计算判断D.

【详解】在正三棱柱Z8C-48G中，取8C的中点。，连接04

则。418C,又底面N8C,则

又B、BcBC=B,818,8Cu平面CBS©,

所以40_L平面CBBG,在平面CBBG内作Oz8C,

以。为原点，直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为44=48=2,所以力（0,宕,0）,S（-l,0,0）,C（l,0,0）,B,（-1,0,2）,

设P（x/,z）,则C方:（x-l,y,z）,CB：:（-2,0,2）,

设贝iJ（x-l,y,z）=7（-2,0,2）,

x—1=-2丸x=l-22

所以,y=0,y=0,则尸(1一22,0,22).

z=2Zz=24

对于A,AB,=(-1,-^3,2),5/:(2-2九0,2/1),

要使则/屋8方:一以(2-2彳)+4/1=0,解得2=；,

所以当CP=§C用时，存在点P,使得故A不正确;

对于B,筋;卜1,-6,0),方:(1-2/1,-6,2/1),

设NPAB=0,则cos。=cosAB,AP=微箫=馈，

回『-(1+球_J772-66+3

所以sin。=[H=朋

则S，.=；»8H/P|-sinN8/P=；x2x|/P|>'7，：：：2

NZI力门

因为0<2<1,所以当4=5时，$△加>取得最小值点=2尹，故B正确;

对于C,将△850和V/8C沿AC展开在同一平面内，如图,

连接48交AC于点T,可知2(+PB2ZB,当点P与点T重合时取得最小值48,

依题意，AC=BC=BB、=2,AB、=B、C=2近,

mi,cnt8+8-43

则cosZCB.A=———=-,smZCB,A=—,

2x8414

/z7A(//PC71)3V2V741_3/2->/u

所以cos//8B]B8=cos|/ABCT—=-x—----x—=---------

'I14J42428

在48月中，由余弦定理，得

AB1=AB；+BB；-2x“4xBB】xco山B、B=(2级-2x2志2x些;6+2，,

则AB=V6+2V7，即P4+PB的最小值为向3万，故C不正确；

对于D,'B、-P4B+，C,-P*C='a-PBB]+'a-PCC1=3°4(SPBB\+S尸cc,)=5X5X2X,故

D正确.

故选：BD.

关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在

同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.

三、填空题

13.直线/过(3,1)且与圆，+/一2》一2了-2=0相切，则直线/的方程为.

【正确答案】x=3

【分析】求出圆心和半径，判断点(3,1)与圆的位置关系即可求解作答.

【详解】由圆的方程f+丁—2x-2y-2=0,得一lf=4,此圆的圆心为(1,1),

半径为2,

显然点(3,1)在圆(x-l)2+("l)2=4上，因此直线/垂直于经过点(1,1)、点(3,1)的直线y=l,

所以直线/的方程为x=3.

故x=3

14.已知向量维(2,0,2),6=(0,2,-1),<H=(3,4,m),若向量九b,5共面，则实数加的

值为

【正确答案】1

【分析】依题意可得存在实数X,y使得从得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为向量上b，Z共面，所以存在实数x,V使得2x2痴;

3

x=—

2x=32

即(3,4，M=(2x,2y,2x7),所以2y=4,解得，y=2.

m=2x—ym=1

故1

15.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有

一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了

6天后到达目的地则此人第三天走的路程为里.

【正确答案】32

【分析】先根据题意转化为等比数列问题，利用等比数列的通项公式和前〃项和公式求解即

可.

【详解】由题意得此人每天走的路程依次可构成公比为9的等比数列且前6项和为

252.

设首项为4,则有1解得q=128,

1--

2

所以。§=/42=128x(g)=32.

故32

16.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,

2

其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线£：4_y_ia>0b>0的左、

a

右焦点分别为耳，F”从巴发出的光线经过图2中的48两点反射后，分别经过点C和

【分析】设忸闻=5加(加>0),由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出2a=3机，从

而利用勾股定理求出c=画〃1,从而得到离心率.

2

【详解】如图，由8。,tanZ.CAB=—＞可得tanN6力8=五，

在Rt48耳中,由tanN耳43=卷,不妨设忸耳|=5加（掰＞0）,则|/8|=12相,

由勾股定理得|工用=13加，

又由双曲线的定义可得以用=13加-2a,\BF^5m-2a,

根据|/用+忸闾=|/却可得（13利-2a）+（55-2a）=12m,解得2a=3"?,

所以忸/初=5〃?-3加=2加,忸6|=忸用+24=2〃7+3加=5）？,

故在Rt《8心中，忸用2+忸剧2=恒/「，即4c2=4优2+25/=29m2,

斯加

nxc=---m，

2

故双曲线E的离心率为e=£=l"x2-=叵.

a23m3

故答案为.叵

3

四、解答题

17.在等差数列｛6J中，已知％="，⑤=124.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）数列他J满足”=。产（〃€N*）,求数列出｝的通项公式与前n项和T„.

【正确答案】⑴%=3〃+2

=+2〃

(2)〃=3"+2,7；,=

2

【分析】（1）求得等差数列｛《,｝的首项和公差，由此求得《,•

（2）结合（1）以及分组求和法求得〃以及4.

%+21=11

【详解】（1）设｛/｝的公差为d,依题意可得。8x7「

8a+---d=124

'2

解得q=5,d=3,

所以%=a}4-(/?-1)^=3/7+2；

(2)依题意=3X3"T+2=3"+2,

3+=j

所以7；=h]+b2+---+bn+2〃•

2

18.已知双曲线c：1上=1a>0b>0的实轴长为2,直线2x+y=0为双曲线C的一条渐

a

近线.

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）直线^=丘-2与双曲线。相交于不同两点，求左的取值范围.

2

【正确答案】⑴/-匕=1

4

（2）（-2让,-2）5-2,2）o（2,2/2）

【分析】（1）依题意可得a=l,再由双曲线的渐近线求出6,即可得解；

4一公工°

（2）联立直线与双曲线方程，消去y得到关于％的方程，依题意可得LA，解得即可.

A>0

22r

【详解】（1）由双曲线C:二-与=1可得渐近线方程为y=±g,

a-ba

•实轴长为2,：.2a=2,即a=l,

♦.•直线2x+y=0为双曲线C的一条渐近线，

故双曲线C的标准方程为f=1；

4

（2）解：双曲线Y上=1与直线y=Ax-2联立得产？=

4y=kx—2

消去夕整理得(4-&2)/+4h一8=0,

因为直线？=履-2与双曲线C相交于不同两点，

4-二工0

所以有A12,2\(6八，解得小＜8且％2r4,

A=16公-4aI^a4-kz)-(-8)＞0

即一2后＜女＜一2或一24＜2或2＜左＜20，

所以力的取值范围为：(-2a,-2)5-2,2)u(2,2/2).

19.已知圆产经过/(6,0),8(-4,0)两点，与f+/=i6圆相切.

(1)求圆P的标准方程；

(2)若直线〃?x-y+5=0与圆尸相交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线在两坐标

轴上截距之和为12〃?，求实数加的值.

【正确答案】(l)(x-4+'=25

(2)加=一；

【分析】(1)由题意，设出圆的标准方程，利用待定系数法，建立方程组，可得答案；

(2)利用分类讨论，根据两直线位置关系，设出直线方程，由题意，建立方程，结合直线

与圆的位置关系，进行检验，可得答案.

【详解】(1)设圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=/,

因为点8在圆一+必=16上，圆尸经过/(6,0),8(-4,0)两点，与/+/=16圆相切，

(6-a)2+(0-fe)2=r2/=i

所以，(-4-a)2+(0-b)2=〃，解得卜=0,

＞Ja2+b2=r-4［厂=5

所以圆尸的标准方程为.(X-1)2+/=25

(2)若加=0,直线MMsx-y+5=0为y=5,与圆P相切，只有一个交点，不合题意，

故〃?WO.又弦A/N的垂直平分线必过圆心P(l,0),且MN的斜率为w,

所以线段MN的垂直平分线方程为y=-'(x-l),

m

当x=o时，y=—^当＞=。时，x=l,所以，+1=12加，即12〃/一加一1二o,

mm

解得：7或一，

因为圆P的方程为：（x-iy+/=25,所以P（l,o）,半径尸=5,

1〃7+5|

又直线A/N与圆尸相交，所以圆心。到直线MN的距离d,即/,二＜5,得团＜0或

6+1

符合题意，即一?

20.如图，在四棱锥尸一/8CD中，底面N88是直角梯形，AD1AB,ABDC,尸/_L底

®ABCD,点E为棱PC的中点，AD=DC=AP=2AB=2

（1）证明：8后//平面以。；

（2）在棱PC上是否存在点尸，使得二面角尸-43-C的余弦值为典，若存在，求出名的

10PC

值，若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

PF1

（2）存在，—

【分析】（1）作出辅助线，得到四边形N8EG为平行四边形，从而证明ZG〃BE,线面平

行；

（2）建立空间直角坐标系，设即.R二（22,2九-2/1）,04X41,利用二面角大小列出方

程，求出4=0,得到答案.

4

【详解】（1）在PQ上找中点G,连接ZG,EG,如图:

：G和E分别为PD和PC的中点，

/.EG//CD,且EG」CD,

2

又•.•底面是直角梯形，CD=2AB,ABI/CD,

：.AB//GE且AB=GE.即四边形ABEG为平行四边形，

AGIRE,

：/Gu平面BE2平面4D,

:.BE〃平面PAD,

(2)因为尸N_L平面/BCD,48,2。u平面“BCD,

所以尸4_148,尸/_14),又ABLAD,

以工为原点，以所在直线为x轴，NO所在直线为y轴，N尸所在直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，

可得8(1,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),尸(0,0,2),PC=(2,2-2),

由F为棱PC上一点，设":/LPd:(2九2九一2/1),04/141,

AF=AP+PF=(24,2/1,2-22),4D=(0,2,0)

设平面处。的法向量为A(d“c),

3“+2助+(2-2力c=0…

由XT可得》八，解得：6=0，

n-AD=Q[26=0

令c=X,则。=4—1,则〃=(2一1,。,丸),

取平面ADC的法向量为.=(0,0,1),

则二面角尸-4。-C的平面角a满足：|cosa|=W4=/囚_:=坐，

H-H川T)+力10

解得：8g+24-1=0，解得：义=1或4=-万(舍去)，

故存在满足条件的点F，此时箓=；.

21.已知抛物线C：V=2px(p>0)上第一象限的一点尸(1/)到其焦点的距离为2.

(1)求抛物线C的方程和P点坐标；

(2)过点M(2,-g)的直线/交抛物线C于/,B两点，若N4PB的角平分线过抛物线的焦点,

求弦的长.

【正确答案】⑴y=4x,尸点坐标为(1,2)

⑵4

【分析】(1)根据题意结合抛物线的定义可求出P,则可得抛物线方程，然后代入点P横坐

标即可求得.

(2)由题意可知直线斜率存在，设出直线方程以及交点坐标，将直线方程带入抛物线方程

化简利用根与系数的关系，然后利用N/P5的角平分线与x轴垂直，可得%+%=0,化简

后求出所设直线斜率，然后带入弦长公式即可求得.

【详解】(1)解：由题意得:

由1+5=2可得：p=2,

故抛物线方程为：y2=4x,

2

当x=l时，y=4,又因为y>0,所以y=2,

所以P点坐标为(1,2)；

(2)由题意可设直线方程为x=/(y+|卜2,A(x„y,),B(x2,y2)

x==/yH—+2

由JI2),得/-4”-10-8=0

y2=4x

所以A=16产+4(10/+8)>0,M+%=4f,y,-y2=-10/-8

因为N/PB的角平分线过焦点厂(1,0),

PF_Lx轴

所以%+%=0

cc必—2%一2人

所以3+%内=胃+西=°,即5F；西

x-1-1--1-1

~44

即必+%+4=0,所以£=一1

%+为=-4,必・%=2

4

所以以卸=Vl+r\yt-y2\=Jl+r)(必+%)2-4%力=-

22.已知椭圆C：—+亲■=l(a>/?>0)的离心率为半，左、右焦点分别为耳，A，M,N

是椭圆上关于原点对称的两点，|"划+闺N|=2&.

(2)如图，A,8为椭圆上不同的两点，。为原点，直线0408的斜率之积为尸为射

线04上的点，10Pl=2|。4],线段尸8与椭圆交于点0,

①求\品PQ\的值;

②求四边形OAQB的面积.

2

【正确答案】（1）5r+/=1

（2）©|；②陪

【分析】（1）根据离心率得到/=2万,根据对称关系得到a?=2,得到椭圆方程.

（2）设，（演,必）,B（x2,y2）,P（2X1,2凹）,得至lj项9+2乂乂=0,PQ=A.QB,计算得到。点

7

坐标，代入椭圆化简得到答案；根据线段比例关系得到氧边山022=15,.,考虑4Bx轴

时和AB与x轴不平行两种情况，根据根与系数的关系计算得到答案.

【详解】（1）e="，故化简得/=2^=2（。2-〃），则/=2〃，

根据对称性得阳M=l玛M，故EM+恒M=2&，即2a=2也,

所以/=2,b=l,故椭圆C的方程为土+/=1.

2

（2）①设/（七,必），以和力），则尸（242%），51,争只=1，

,i凹外一1

又vk0%=一刀,—一^，王々+2必必=0,

A2.G人2

2x,+2x

x=—?!-----

1+2

设尸。=2。8，0（xj）,即（x-2演/一2必）=丸（工2一工，必一切，＜

2必+3%

1+2