2023届山东省烟台市芝罘区烟台一中高三数学试题试卷

2023届山东省烟台市芝景区烟台一中高三第三次（5月）（三模）数学试题试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1,已知双曲线C：5—q=1（〃＞（）/＞（））的左、右焦点分别为耳，工，过6的直线/与双曲线C的左支交于A、

a'b~

3两点.若|AB|=|AM|,N」BA《=120,则双曲线c的渐近线方程为（）

A.y=±日xB.y=±*xC.y=±（\/5一血卜D.丁=±（6一1卜

2.若（l+仆）（l+x）5的展开式中丁,丁的系数之和为一10,则实数”的值为（）

A.-3B.-2C.-1D.1

3.已知变量间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为$=2.1x+0.85,则表中数据，”的值为（）

变量X0123

变量ym35.57

A.0.9B.0.85C.0.75D.0.5

4.设向量”，.满足同=2,W=l,[a,b)=60,则a+活的取值范围是

A.[6+8)B.[G,+8)

C.[V2,6]D.[V3,6]

5.已知集合4={幻/—2x—3<0},集合B={x|x-1NO},则一(AcB)=().

A.(7,1)[3,+oo)B.(-^0,1][3,4-00)

C.(-8,DU(3,+S)D.(1,3)

004

6.设。=logo.080。4,b=logo30.2,c=O.3»则。、b、c的大小关系为()

A.c>h>aB.a>b>cC.b>c>aD.h>a>c

7.已知等差数列{%}的前〃项和为Sn，且4=-3,$=24,若«,.+%=()(/,jeN\且1«i<J),则i的取

值集合是（）

A.{1,2,3}B.{6,7,8)C.{1,2,3,4,5}{6,7,8,9,10}

7t

---a

4

77

T89

9.已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且7s2=404,则公比夕的值为（

v2V23

10.已知双曲线C：二-与=1伍＞0,。＞0）的渐近线方程为y=?-x,且其右焦点为（5,0）,则双曲线C的方程为（）

ab~4

A.二-£=1B.兰-2=1C.£-£=1D.兰-2=1

9161693443

11.在边长为26的菱形ABC。中，ZBAD=60°,沿对角线80折成二面角A-3。一。为120。的四面体ABC。（如

图），则此四面体的外接球表面积为（）

A.28〃B.7万

C.14乃D.217r

12.已知命题VxeR,x2-x+1＜0;命题Q：HXGR,X2＞2X,则下列命题中为真命题的是（）

A.PMB.-PMC.〃八FD.-PAf

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在数列｛凡｝中，6=1,。“彳0,曲线＞=/在点处的切线经过点（4用,0）,下列四个结论：①生=|；

1465

②4=7；③工勾=『7；④数列｛4｝是等比数列；其中所有正确结论的编号是______•

3/=i27

14.函数f（x）=ln（l-尤）+J4+3X-X2的定义域是.（写成区间的形式）

15.已知两个单位向量满足卜+"=|《，则向量q与b的夹角为.

16.在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则该农作物的年

平均产量是吨.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数=+曲线在点(1J。))处的切线方程为x+2y-3=O.

(I)求“，》的值；

(II)若kWO,求证：对于任意xe(l,48),/(x)>^+-.

18.(12分)记抛物线。：^=2内(°>0)的焦点为F，点。,E在抛物线C上，且直线的斜率为1,当直线OE

过点F时，|OE|=4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若G(2,2),直线DO与EG交于点H,。/+以=0,求直线小的斜率.

19.(12分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以。为圆心的半圆及直径AB

围成.在此区域内原有一个以。4为直径、。为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形

的展示区COPQ,其中P、。分别在半圆。与半圆。的圆弧上，且与半圆。相切于点Q.已知A3长为40米，设

ZBOP为28.(上述图形均视作在同一平面内)

(1)记四边形COPQ的周长为/(。),求/(。)的表达式；

(2)要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin。的值.

20.(12分)椭圆W：1+/=1(。>方〉°)的左、右焦点分别是K，K，离心率为白，左、右顶点分别为A，

3.过月且垂直于x轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.

(1)求椭圆W的标准方程；

(2)经过点P(l,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D(不与点A、3重合)，直线C8与直线x=4相交于

点M,求证：A、。、M三点共线.

21.(12分)已知抛物线=2〃y(p>0)和圆。2：(%+1)2+丁=2,倾斜角为45。的直线4过抛物线&的焦点,

且4与圆G相切•

(1)求〃的值；

(2)动点/在抛物线G的准线上，动点A在G上，若G在A点处的切线4交y轴于点8,设MN=MA+MB.求

证点N在定直线上，并求该定直线的方程.

cjnY

22.(10分)已知函数/(x)=——，0<x<7r.

x

(1)求函数/(x)在x=g处的切线方程；

2

7T

(2)当Ovmv4时，证明：/(x)vmlnx+—对任意X£(0,乃)恒成立.

x

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,D

【解析】

设|伍|=〃7,利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.

【详解】

设=|人q=加,忸周=JaW+_2|4用.ME|.COS12()=鬲，由双曲线的定义可知：|A£|=加一2a,

因此忸制=2a,再由双曲线的定义可知：\BF2\-\BFl\=2a^m=^a，在三角形A6巴中，由余弦定理可知：

|大且「=|A用2+14用2-21AE卜|AK|•cos120°nC?=(5—26)4=>/+〃=(5-26)片

n〃=g_26)a?n匕=(4—2道)=>"若一1,因此双曲线的渐近线方程为：

aa

y=±(6_1卜.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.

2、B

【解析】

555

由(1+6)(1+x)=(1+x)+ax(\+X),进而分别求出展开式中无2的系数及展开式中/的系数，令二者之和等于

-10,可求出实数。的值.

【详解】

由(1+0X)(1+X)5=(1+X)'+0X(1+X)',

22

则展开式中X的系数为Cl+aC；=10+5«,展开式中/的系数为C^+«C5=10+10«,

二者的系数之和为(10+5。)+(10。+10)=15。+20=-10,得。=一2.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

3、A

【解析】

计算京亍，代入回归方程可得.

【详解】

0+1+2+3〃?+3+5.5+7"2+15.5

由题意x==1.5,

4>=44

；77+155

...———=2.1x1.5+0.85,解得团=0.9.

4

故选：A.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点&J).

4、B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

卜+#卜yl(a+tb)2=7«2+2a-bt+rh2=j4+2r+(=J(f+1产+3>石，

当/=-1时取等号，所以本题答案为B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

5、A

【解析】

算出集合A、5及AB,再求补集即可.

【详解】

由f-2x—3<0,得-l<x<3,所以A={x|-1cx<3},又3={刘》21},

所以Ac3={x|lWx<3},故为（AcB）={x|x<l或xN3}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

6、D

【解析】

2

因为a=log。/0.04=210go（）8°?=log痂°->嚏底1=°，b=log030.2>log031=0,

所以一=log2V0.08,-=log,0.3且y=log2x在（0,+纥）上单调递减，且70.08<0.3

a0b00

所以所以h>a,

ab

又因为a=l°g囱丽。，2>log疝施Jo.08=1,c=0.30<M<0.3°=1»所以a>c,

所以b>a>c.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间

值“0,1”比较大小.

7、C

【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足4+%=。的i的取值集合.

【详解】

设公差为d,由题知%=-3nq+3d=-3,

Sl2=24=>12«]+-d-24,

解得4=-9,d=2,

所以数列为-9-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,

故{1,2,3,4,5}.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.

【解析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.

【详解】

sma=一,

3

(71\(71(71.71.Vn.71.

cos——\-acos---a-cos—cosa—sin—sinacos—cos+sin—sina

7

18

故选：A.

【点睛】

本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

9、C

【解析】

由7s2=4S&可得3（4+4）=4（/+%），故可求《的值.

【详解】

因为7s2=4S4，所以3（4+02）=4（54-52）=4（/+。4），

3A

故因｛%｝为正项等比数列，故q>0,所以g=拳，故选C.

【点睛】

一般地，如果｛可｝为等比数列，S“为其前〃项和，则有性质：

（1）若m,〃,p,qGN*,m+n=p+q,则

（2）公比9工1时，则有S“=A+及T，其中A,B为常数且A+B=0；

(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,.为等比数列(S“xO)且公比为q".

10、B

【解析】

A3丫2/

试题分析：由题意得一==,c2=a2+b2=25,所以a=4,b=3,所求双曲线方程为土一2_=1.

a4169

考点：双曲线方程.

11、A

【解析】

画图取8。的中点M,法一：四边形的外接圆直径为OM,即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据

Oq=G，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出ACBO的外接圆直径CE,求出AC和sin/AEC,即可

求半径从而求外接球表面积；

【详解】

如图，取的中点M,ACBO和八的外接圆半径为4=与=2,ACBZ）和AA6O的外心。|,。?到弦BD的

距离（弦心距）为4=4=L

法一：四边形0aM。2的外接圆直径=2,R=币,

S=28万；

法二：OO'=#>,R=#j,S=284；

法三：作出ACBZ）的外接圆直径CE,则40=CM=3,CE=4,ME=1,

r广7+16-271

AE=BAC=36COSZAEC=2币4=一?旧

__3&27?=—^—=^^=2币厂

sin/AEC=--j=9sinZ.AEC3\[3，R—v7，,S=28万.

2万2币

故选：A

【点睛】

此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.

12>B

【解析】

根据/<0,可知命题，的真假，然后对X取值，可得命题夕的真假，最后根据真值表，可得结果.

【详解】

对命题〃：

可知△=(T)2_4<0,

所以VXGR,x2-x+l>0

故命题P为假命题

命题q：

取x=3,可知32>23

所以HxeR,%2>2V

故命题q为真命题

所以-p人4为真命题

故选：B

【点睛】

本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、④

【解析】

先利用导数求得曲线y=V在点(4,，d)处的切线方程，由此求得与%的递推关系式，进而证得数列｛4｝是等比

数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.

【详解】

Vy=3F,.,.曲线丫=/在点处的切线方程为y一。；=3a；(x—4),

则-d=3q；(%-4)

八2

%w0,〃“+]=§〃“，

2

则｛qJ是首项为1,公比为]的等比数列，

4

-

9-

故所有正确结论的编号是①③④.

故答案为：①③④

【点睛】

本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前八项和公式,

属于基础题.

14.[-1,1)

【解析】

[1-x>0\x<1

要使函数小）有意义，需满足4+3一』，即'解得―故函数小）的定义域是TD.

【解析】

由|。+6=|。|得cos〈a,»=—g,即得解.

【详解】

由题意可知|a|=|b|=1,贝!l|a+。『=2+2«/=L

解得。力=—工,所以cos〈a,8〉=一,，

22

向量a与匕的夹角为2告7r.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16、10

【解析】

根据已知数据直接计算即得.

【详解】

口9.4+9.7+9.8+10.3+10.8"

由题得,

5

故答案为：10

【点睛】

本题考查求平均数，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17>（I）a=l,b=\（II）见解析

【解析】

（1）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲

线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出。，〃值；（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子

左移，得

(A:-l)(x2-l)5

X

（AT）“T）并判断其符号,这里应注意》的取值范围，从而证明不等式.

构造函数/?(x)=21nx+

x

【详解】

尢+11

-------\nx

解：⑴/")=_xb

卜+1广

由于直线x+2y-3=0的斜率为一；，且过点（1,1）,

/⑴=1,b=l,

故即《a1解得a=1,b=l.

尸(1)=4----b=----,

122

⑵由⑴知〃'）=詈+f

Inxk1〜（I乂炉一1）、

所以了（“一------+—--21nx+

x-\x-kX

7

考虑函数〃(x)=21nx+^----------»

(Z：-l)(x2+l)+2xM尤2

则“（X）=

22<0-

XA-

而〃(1)=0,故当xe(l,+oo)时，/?(x)<0,

所以一^x〃(x)>0,即〃x)>巫+£

1-xx-1X

【点睛】

本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了

分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.

18、(1)y2=2x(2)0

【解析】

(1)根据题意，设直线=x-日，与。：丁2=2a(〃>0)联立，得y2—2py-p2=。，再由弦长公式，

|。初=/^^一为1=4求解.

<v2\(2\MF=2

⑵设。空,%，E当,必，根据直线的斜率为L则£4%+，得到%+X=2,再由

、212)------

v7vJ22

2

。/+£7=0,所以线段DE中点/的纵坐标为匕=1,然后直线。。的方程》=丁》与直线EG的方程

2,〜、

>=-~yO-2)联立解得交点”的纵坐标M,=1，说明直线H///x轴，直线”/的斜率为0.

【详解】

(D依题意，尸(§，°1则直线0E：y=x—

y2=2px,

联立〈p得y1-2py-p1=0；

y=x--,

设z)a，x),E(孙%)，

贝力OE|=(%+当y-=痣-202=4,

解得。=1,故抛物线C的方程为y2=2x.

/2\(2\

(2)D*y,EJ，

乃―-一2一

因为直线。石的斜率为1,则货必+乂，所以％+乂=2,

~2~~2

因为。/+E/=()，所以线段DE中点/的纵坐标为x=1.

V_2J_r2

直线。。的方程为‘一代，即y=­X①

t必

Y-2=%-2（*_2）2

直线EG的方程为.一£，。即y=--U-2）②

号-2%+2

联立①②解得《2'即点”的纵坐标为y”=1,即直线“///x轴，

.y=l.

故直线印的斜率为0.

如果直线EG的斜率不存在，结论也显然成立，

综上所述，直线小的斜率为0.

【点睛】

本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.

V34-V2

19、(1)/(6>)=40+2072cos^,6>e0,1.(2)

8

【解析】

（1）由余弦定理的pc?,然后根据直线与圆相切的性质求出PQ,从而求出一（。）；

（2）求得S（。）的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值.

【详解】

解：⑴连PC.由条件得呵0,3

在三角形POC中,OC=10,OP=20,ZPOC=万—26,由余弦定理，得

PC2=OC2+。尸一20copcOS（兀一2。）=100（5+4cos26＞）,

因为PQ与半圆C相切于Q,所以CQ^PQ,

所以PQ2=pc2-CQ2=400(1+cos20)，所以PQ=2072cos0.

所以四边形COPQ的周长为

/(6»)=CO+OP+PQ+QC=40+20V2cos6»力

（2）设四边形COPQ的面积为s（e）,则

S(6)=S^0CP+S^QCP=lOO(V2cos^+2sin0cos^j,^G^O,yj.

所以S'(e)=100(—0sin8+2cos2。-2sin2e)=100(-4sin2e-&sine+2),ee(0，m

令S'(r)=0,得sin6=5；在

列表：

(『』)

sin。

o8O

S'⑻+0-

S⑻增最大值减

答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大,sine的值为底-6.

8

【点睛】

本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系，考查考生的逻辑思维能力，运算求解能力，以及函数

与方程的思想.

丫2

2

20、(1)—+y=l；(2)见解析

4

【解析】

(1)根据已知可得32b:=1,结合离心率和a/,c关系，即可求出椭圆W的标准方程；

a

(2)CD斜率不为零，设的方程为％=〃少+1,与椭圆方程联立，消去x,得到C,。纵坐标关系，求出8C方

程，令x=4求出M坐标，要证A、D、"三点共线，只需证心。-砥,“=0,将心"一心的分子用纵坐标表示,

即可证明结论.

【详解】

22

(1)由于02=/一凡将X=-C代入椭圆方程］+4=1,

a2b2

i2Q»2

得丁=±幺，由题意知丝=1,即〃=2/.

aa

又e=£=走，所以a=2,b=l.

a2

2

所以椭圆W的方程为三+y2=i.

4-

（2）解法一：

依题意直线CD斜率不为0,设8的方程为x孙+1,

x=my

联立方程X2，,消去x得(〃，+4)y2+2my-3=0，

一+y-=]

14'

由题意，得d>0恒成立，设。（七,乂），。。2，%），

.2m3

所以x+%=一一^7，y%=一一r

m~+4nr+4

直线CS的方程为y=」Z(x-2).令x=4,得M(4,0、).

冗1一2苍一2

又因为A(—2,0),£>(x2,y2),

则直线陋,AM的斜率分别为3=会,勉=可云’

%X_3)伞-2)-X氏+2)

所以“40—“AM

+23(百一2)3(X|—2)(x,+2)

上式中的分子3y2(*-2)-％(x2+2)=3%。孙一1)一X(加％+3)

=2吵出一3（必+必）=-^4=°,

。一七”=。.所以A,D,M三点共线.

解法二:

当直线CO的斜率攵不存在时，由题意，得CD的方程为x=l,

代入椭圆卬的方程，得CQ,与）,。（1,-等），

直线CB的方程为y=_且(X_2).

则M(4,-"，=(6,-V3),AD=

所以A〃=2A。，即A，D,M三点共线.

当直线的斜率Z存在时，

设。。的方程为y=以》一1)(左力0),C(x，y),D(x2,y2),

y=k(x-1),

联立方程〈f消去》，得(4公+1濡一8小+4r-4=0.

=1,

8G4k2-4

由题意，得/〉0恒成立，故再+々=叱+1'中2-止+]

直线CB的方程为广瓷。一2).令x=4,得小4,患).

又因为A(—2,0),

则直线短,,的斜率分别为心「六‘脑二会'

3y(XI-2)-y,(x+2)

所以^AD~原材%X22

工)+23(%1—2)3(4一2)(々+2)

上式中的分子3%(玉一2)-%(々+2)=3左式-1)(%-2)-左(％-1)(%+2)

4/2_48G2

=2依X2—5%(%+*2)+8%=2攵x------5kx—1—+8Z=0

4k+1+1

所以加―M=0・

所以A，D,M三点共线.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查

计算求解能力，属于中档题.

21、(1)2=6；(2)点N在定直线y=3上.

【解析】

(1)设出直线4的方程为y=x+5,由直线和圆相切的条件：d=r,解得P；

(2)设出MQ%-3),运用导数求得切线的斜率，求得A为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N在定直线

上；

【详解】

解：⑴依题意设直线《的方程为y=x+§

由已知得：圆6：意+1)2+12=2的圆心&(—1,0),半径万=0,

因为直线4与圆G相切，