内蒙古兴安市2022年中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角”条形码粘贴处

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.将抛物线丁=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）

A.y=3(x+2”+3B.y=3(X-2)2+3C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3

2.若J(3—b”=3—匕，则()

A.b>3B.b<3C.b>3D.bW3

3.从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）

A.3B.4

5.如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（1,2）,有下面四个结论：①ab>0；

;④不等式kxgax2+bx的解集是OSxWl.其中正确的是（)

A.①②B.②③C.①④D.③④

6.OO是一个正“边形的外接圆，若。。的半径与这个正〃边形的边长相等，则〃的值为（）

A.3B.4C.6D.8

7.如图，正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,

13

下列结论：®AQ±DP；®OA2=OE.OP；③SA，\OD=S④当BP=1时，tan/OAE=—,其中正确结论的个

八八，，u四切形ur.urIh

数是（）

A.1B.2C.3D.4

8.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“爱”字一面相对面上的字是（）

A.美B.丽C.泗D.阳

9.若a是一元二次方程X2-x-1=0的一个根，则求代数式a3-2a+l的值时需用到的数学方法是（）

A.待定系数法B.配方C.降次D.消元

10.下面计算中，正确的是（）

A.（a+b）2=a2+b2B.3a+4a=7a2

C.（ab）3=ab3D.a2・as=a7

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置）,

继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要个小立方块.

12.若a+b=2,ab=-3,则代数式a3/7+2a2/?2+a加的值为.

13.若实数m、n在数轴上的位置如图所示，则（m+n）（m-n）0,（填“>”、"<”或“=”）

mn

14.计算（-a）3・a2的结果等于.

15.如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃则其中

一个小长方形花圃的周长是m.

16.在△ABC中，点D在边BC上，且BD：DC=1：2,如果设入月=Z,AC=b,那么亦等于_（结果用2、b

的线性组合表示）.

三、解答题（共8题，共72分）

f,31x+1

6（8分）化简：卜0

18.（8分）如图，在RSA5C中，ZC=90°,以5c为直径的。。交A5于点。，Z）E交AC于点E,S.ZA=ZADE.

（1）求证：OE是。。的切线;

(2)若40=16,Z)E=10,求的长.

19.（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m^O）与x轴交于A（3,0）,B两点.

（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；

（2）当-2VxV3时的函数图象记为G,求此时函数y的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若

经过点C（4.2）的直线y=kx+b（k#））与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围.

20.（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决

定降价促销.若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；经调查，若该商品

每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元?

x+24x1

2L（8分）先化简，再求值会+,其中x=]

X2-4X+4)^x-2

22.（10分）已知：如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B（点A在点B左侧），根

据对称性AAMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称4AMB为该抛物线的“完美三角形”.

（1）①如图2,求出抛物线>=心的“完美三角形”斜边AB的长;

②抛物线y=心+1与y=X2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是_；

（2）若抛物线y=OT2+4的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值;

（3）若抛物线丫=MU2+2x+"-5的“完美三角形”斜边长为n,且y=mx2+2x+”-5的最大值为-1,求m,n的值.

23.（12分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标

有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内，每消费满200元,就可以在箱子里先后

摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费,

某顾客刚好消费200元.

（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券;

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率.

24.如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分NABC交AE于点M,经过B、M两点的。。交BC

于点G,交AB于点F,FB恰为。O的直径.

（1）判断AE与。O的位置关系，并说明理由;

（2）若BC=6,AC=4CE时，，求0O的半径.

CGB

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】

将抛物线y=3X2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为

y=3（x+2”+3,故答案选A.

2、D

【解析】

等式左边为非负数，说明右边3-b»O,由此可得b的取值范围.

【详解】

解：V7（3-b）2=3-b,

.,.3-b>0,解得b«3.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质：^-°（a-0）,H=a屋。）

3、C

【解析】

根据正方形的判定定理即可得到结论.

【详解】

与左边图形拼成一个正方形，

正确的选择为③，

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的判定，是一道几何结论开放题，认真观察，熟练掌握和应用正方形的判定方法是解题的关键.

4、C

【解析】

如图所示：

过点0作ODLAB于点D,

11

二.BD=—AB——x4=2，

22

在RtABOD中，0D=《OBT-BD^=J3r-五=^5.

故选C.

5、B

【解析】

根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kxWax2+bx的解集

可以转化为函数图象的高低关系.

【详解】

解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a>0,b<0,则①错误

将A(1,2)代入y=ax2+bx,则2=9a+lb

2

.・.b=w-o3。,

222

/.a-b=a-(耳一3。)=4a-9>・不，故②正确；

222J13

由正弦定义sina=T--------=7于二，则③正确；

732+22813

不等式kx<ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象

则满足条件x范围为x>l或x<0,则④错误.

故答案为：B.

【点睛】

二次函数的图像，sina公式，不等式的解集.

6、C

【解析】

根据题意可以求出这个正«边形的中心角是60。，即可求出边数.

【详解】

QO是一个正n边形的外接圆，若。O的半径与这个正〃边形的边长相等,

则这个正〃边形的中心角是60°,

360+60°=6

n的值为6,

故选：C

【点睛】

考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.

7、C

【解析】

•••四边形ABCD是正方形，

；.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,

VBP=CQ,

.•.AP=BQ,

AD=AB

在4DAP与^ABQ中，'^DAP=ZABQ,

AP=BQ

..△DAP丝ZSABQ,

.".ZP=ZQ,

•.♦NQ+NQAB=90°,

.".ZP+ZQAB=90°,

ZAOP=90°,

..AQ_LDP；

故①正确；

ZDOA=ZAOP=90°,ZADO+ZP=ZADO+ZDAO=90°,

..NDAO=NP,

..△DAOs△APO,

.AO_OP

"'~OD~~OA'

.*.AO2=OD«OP,

VAE>AB,

..AE>AD,

AOD^OE,

/.OA#OE»OP：故②错误；

Z.FCQ=/EBP

在^CQF与小BPE中"NQ=NP

[CQ=BP

/.△CQF^ABPE,

/.CF=BE,

；.DF=CE,

AD=CD

在4ADF与ADCE中，«NADC=ZDCE,

DF=CE

..△ADF^ADCE,

・S-SQ-s

•ADF乙DFO=-kJADCEDOF'

即AOD=S四边形OECF；故③正确；

VBP=LAB=3,

AAP=4,

VAAOP^ADAP,

•PB_PA_4

"-DA-3'

313

.,.BE=-,AQE=—,

44

VAQOE^APAD,

13

.•.2=竺=丝二,

~PA~~AD~~PD~~5

1339

•**QO=5，OE=—,

12

AO=5-QO=—,

OE13

••tonNOAE=—=—故④正确,

OA16

故选c.

点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握

全等三角形的判定和性质是解题的关键.

8、D

【解析】

正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【详解】

解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”字一面相对面上的字是“阳”；

故本题答案为：D.

【点睛】

本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键.

9、C

【解析】

根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.

【详解】

由题意可知：32-3-1=0,

••a2・a=l,

或a2-l=a

a3-2a+l

=a3-a-a+l

=a(32-1)-(a-1)

=a2-a+l

=1+1

=2

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义.

10、D

【解析】

直接利用完全平方公式以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.

【详解】

A.(a+b)2=a2+b2+2ab,故此选项错误；

B.3a+4a=7a,故此选项错误；

C.(ab)3=a3b3,故此选项错误：

D.a2as=a7,正确。

故选：D.

【点睛】

本题考查了累的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幕的乘法，完全平方公式，解题的关键是掌握它们的概念进行

求解.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、54

【解析】

试题解析：由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行；

第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，

共有10个正方体，

•••搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，

二搭成的大正方体的共有4x4x4=64个小正方体，

至少还需要64-10=54个小正方体.

【点睛】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有4x4x4=64

个小正方体，即可得出答案.本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面

的考查，关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体.

12、-12

【解析】

分析：对所求代数式进行因式分解，把。+b=2,ab=-3,代入即可求解.

详解：a+b=2,ab=—3,

43b+2。2b2+。加="G+2。。+。2)=abka+by1=-3x22=-12.,

故答案为：-12.

点晴：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.

13、＞

【解析】

根据数轴可以确定m、n的大小关系，根据加法以及减法的法则确定m+n以及m-n的符号，可得结果.

【详解】

解：根据题意得：且lml>lnl,

m-n<l,

(m+n)(m-n)>1.

故答案为〉.

【点睛】

本题考查了整式的加减和数轴，熟练掌握运算法则是解题的关键.

14、-as

【解析】

根据幕的乘方和积的乘方运算法则计算即可.

【详解】

解：(-a)3・a2=-a3-a2=-as+2=-a5.

故答案为：-as.

【点睛】

本题考查了幕的乘方和积的乘方运算.

15、12

【解析】

由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10m,小矩形的2个宽+一个长=8m,设出长和宽，列出方程组解之即可求得

答案.

【详解】

x+2y=8(x-4

解：设小长方形花圃的长为xm,宽为ym,由题意得〈°'，解得<),所以其中一个小长方形花圃的周长

2x+y=i1n0[y=2

是2(x+y)=2x(4+2)=12(m).

【点睛】

此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：数形结合，弄懂题意，找出等量关系，列出方程组.本题也

可以让列出的两个方程相加，得3(x+y)=18,于是x+y=6,所以周长即为2(x+y)=12,问题得解.这种思路用了整

体的数学思想，显得较为简捷.

l1-

16、br-a

33

【解析】

根据三角形法则求出BC即可解决问题;

【详解】

'•*AB=。，AC=b,

，BC=BA+AC=b-a,

1

：BD=3BC,

1r1

:•前=qb-3a.

11

故答案为r—.

【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

三、解答题（共8题，共72分）

17、x+2

【解析】

先把括号里的分式通分，化简，再计算除法.

【详解】

X+1x+2(x-2)

解：原式=-----x-----------------=x+2

x-2X+1

【点睛】

此题重点考察学生对分式的化简的应用，掌握通分和约分是解题的关键.

18、（1）证明见解析；（2）15.

【解析】

（1）先连接OD,根据圆周角定理求出/ADB=90。,根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE,推出/EDB=NEBD,

ZODB=ZOBD,即可求出NODE=90。，根据切线的判定推出即可.

(2)首先证明AC=2DE=20,在RtAADC中，DC=12,设BD=x,在RtABDC中，BC2=x2+122,在RSABC中,

BC2=(X+16)2-202,可得X2+122=(x+16)2-202,解方程即可解决问题.

【详解】

(1)证明：连结OD,VZACB=90°,

/.ZA+ZB=90o,

又.OD=OB,

ZB=ZBDO,

VZADE=ZA,

.\ZADE+ZBDO=90o,

ZODE=90°.

；.DE是。。的切线；

(2)连结CD,VZADE=ZA,

AAE=DE.

：BC是的直径，ZACB=90°.

AEC是。O的切线.

/.DE=EC.

；.AE=EC,

又：DE=10,

；.AC=2DE=20,

在RtAADC中，DC=J202二1壮=12

设BD=x,在RtABDC中，BC2=X2+122,

在RtAABC中，BC2=(X+16)2-202,

：.X2+122=(X+16)2-202,解得x=9,

•••BC="22+92=15.

【点睛】

考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.

19、(1)抛物线的表达式为y=x2-2x-2,B点的坐标(-1,0)；

(2)y的取值范围是-3q<1.

82

(2)b的取值范围是--<b<-.

35

【解析】

(1)、将点A坐标代入求出m的值，然后根据二次函数的性质求出点B的坐标；(2)、将二次函数配成顶点式，然后根

据二次函数的增减性得出y的取值范围；(2)、根据函数经过(-1,0)、(3,2)和(0,-2)、(3,2)分别求出两个一次函数的解析

式，从而得出b的取值范围.

【详解】

(1)二•将A(2,0)代入，得m=l,二抛物线的表达式为y=X2-2x2

令尤2-2x-2=0,解得：x=2或x=-l,；.B点的坐标(-L0).

(2)y=-2x-2=(x—1)2-3.

•.,当-2Vx〈l时，y随x增大而减小，当lSx<2时，y随x增大而增大，

.,.当x=Ly最小=-3.又,当x=-2,y=l,，y的取值范围是-3WyVl.

22

(2)当直线y=kx+b经过B(-1,0)和点(3,2)时，解析式为y=5X+^.

5

当直线y=kx+b经过(0,-2)和点(3,2)时，解析式为y=/X-2.

2

由函数图象可知；b的取值范围是：-2<b<5.

【点睛】

本题主要考查的就是二次函数的性质、一次函数的性质以及函数的交点问题.在解决第二个问题的时候，我们首先必须

要明确给出x的取值范围是否是在对称轴的一边还是两边，然后根据函数图形进行求解；对于第三问我们必须能够根

据题意画出函数图象，然后根据函数图象求出取值范围.在解决二次函数的题目时，画图是非常关键的基本功.

20、(1)两次下降的百分率为10%；

(2)要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元.

【解析】

(1)设每次降价的百分率为X,(1-x)2为两次降价后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量条件，列出方

程求解即可；

(2)设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方

程求出其解即可

【详解】

解：(1)设每次降价的百分率为X.

40x(1-x)2=32.4

x=10%或190%（190%不符合题意，舍去）

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；

（2）设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，

由题意，得

（40-30-y）（4x2_+48）=510

解得：入=1.1,y,=2.i,

•.,有利于减少库存，，y=2.1.

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.1元.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前

后的平衡关系，列出方程，解答即可.

1

21、-3

【解析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可.

【详解】

x+24xX2-44xX2x-2x

i

121

当x=7时，原式=]=--.

21-23

2

【点睛】

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

[38

22、（1）AB=2；相等；（2）a=±-（3）加=一:，«=-.

2;43

【解析】

（1）①过点B作BNJ_x轴于N,由题意可知△AMB为等腰直角三角形，设出点B的坐标为（n,—n）,根据二次函

数得出n的值，然后得出AB的值,②因为抛物线y=x2+l与y=x2的形状相同，所以抛物线y=x2+l与y=x2的“完美三角

形''的斜边长的数量关系是相等；

（2）根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点B的坐标，得出a的值；根据最大值得出mn

-4m-1=0,根据抛物线的完美三角形的斜边长为n得出点B的坐标，然后代入抛物线求出m和n的值.

4/7?(/?-5)-4

⑶根据y=的2+2x+"-5的最大值为・1,得到=一1化简得mn-4m-l=0,抛物线y=tnx2+2x+n-5的

4m

“完美三角形"斜边长为n,所以抛物线丁=〃?工22的，，完美三角形"斜边长为n,得出B点坐标，代入可得mn关系式,

即可求出m、n的值.

【详解】

（1）①过点B作BN，x轴于N,由题意可知aAMB为等腰直角三角形，AB〃x轴,

易证MN二BN,设B点坐标为（n,・n）,代入抛物线了二九2,得〃二九2,

.♦•“=1,〃=0（舍去），，抛物线y=x2的，，完美三角形，，的斜边A8=2

②相等;

（2）:抛物线y=4X2与抛物线y=4X2+4的形状相同,

，抛物线y=ax2与抛物线y=0X2+4的“完美三角形”全等,

抛物线y="2+4的“完美三角形”斜边的长为4,.•.抛物线），=ax2的“完美三角形”斜边的长为4,

，B点坐标为（2,2）或（2,-2）,二。=土;.

（3）*.*y=〃优2+2x+〃-5的最大值为-1,

.4m\n-5）-4

...-----------------=—1,

4m

/.mn-4m-1=0,

•.•抛物线）,=rnxi.+2x+n-5的“完美三角形”斜边长为n,

抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为n,

，代入抛物线y=g2,

mn=-2（不合题意舍去），

3

m=__

4

8

；.”=一

3

23、解：（1）10,50

（2）解法一（树状图）:

第一次30

第二次01020

和304050

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果,

因此P（不低于3。元）4号；

解法二（列表法）：

欠

第二晓、0102030

0102030

10103040

20203050

30304050

（以下过程同“解法一”）

【解析】

试题分析：（1）由在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”元，“10”元，“20”元和“30”元的字样,

规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以再箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）.即可求得

答案；（2