2024年辽宁省大连市高新区九年级中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年辽宁省大连市高新区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数﹣的倒数（）A． B．﹣ C．3 D．﹣32．（3分）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．3．（3分）北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，则7062万用科学记数法表示为（）A．7.062×103 B．70.62×106 C．0.7062×108 D．7.062×1074．（3分）下列运算正确的是（）A．a•a5＝a5 B．（﹣a3）2＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．a3+a3＝a65．（3分）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知∠2＝35°（）A．35° B．45° C．55° D．65°6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数册数01234人数31316171那么这50名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，2 B．3，3 C．2，3 D．3，18．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥19．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，分别交AB，BC于点F，G，G为圆心，大于，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，若AB＝5，BC＝8，则BE的长为（）A． B． C． D．10．（3分）小明和小强两个人开车从甲地出发匀速行驶至乙地，小明先出发．在整个行驶过程中，小明和小强两人的车离开甲地的距离y（千米）（小时）之间的函数关系如图所示，有下列结论：①甲、乙两地相距300千米，却早到1个小时；③小强的车出发后1.5小时追上小明的车．其中正确的结论有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算（2+）（2﹣）＝．12．（3分）在一个不透明的袋子里，装有2个红球和5个白球，这些球除颜色外没有任何区别，“摸出红球”的概率是．13．（3分）点A（3，2）先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的坐标为．14．（3分）《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，以点A为圆心，交AC于点D，则阴影部分的面积是．（结果保留根号和π）16．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝AB+a（a＞0），使AB落在AD上，AE为折痕，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，若DE＝EF，则CD＝（用含a的代数式表示）．三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）17．（9分）计算：．18．（10分）为了宣传垃圾分类，普及垃圾分类知识，让学生知道更多的垃圾分类知识，抽取部分学生成绩作为样本，并将结果分为A、B、C、D四类，61～80分为C类，81～99分为B类，绘制了如下的条形统计图和扇形统计图，请结合此图回答下列问题．（1）此次抽样调查的样本容量为，竞赛成绩为B类的有人，扇形统计图中竞赛成绩为C类所对应的圆心角为°；（2）若这次竞赛成绩为A类或B类的学生可获奖，全校共1200名学生，请估计全校获奖学生人数．19．（10分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠E＝∠ABC．求证：AC＝DF．20．（10分）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m2，求矩形垂直于墙的一边，即AB的长．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，电流I为24安培．（1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；（2）若2≤R≤200，求电流I的变化范围．22．（10分）如图，一艘渔船在黄海海域由西向东航行到达A处时，测得小岛C位于渔船的北偏东70°方向，此时测得小岛C位于距离渔船30海里的北偏东30°方向．（1）填空：∠ACB＝°；（2）求渔船的速度（结果取整数）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，）23．（10分）AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CF⊥AB于E交⊙O于点F，点D在AB延长线上，∠BOF＝2∠BCD．（1）如图1，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，过B作BM⊥CD于M，EC＝2OE，五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，动点D从点A出发，当点D不与点A、B重合时，过D作DE⊥AC于E（s），平行四边形ADFE与△ABC重叠部分的面积为S（cm2）．（1）当点F在BC上时，求t的值；（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．25．（11分）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题，如图1，AB＝AC，D是BC延长线上一点，∠ADB＝60°，点E在线段AD上，连接CE．求证∠ACE＝∠BAD．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究；（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，连接BE，以B为圆心，交AE于点F，连接BF，之间的数量关系，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组对上述问题进行特殊化研究之后，提出下面的问题，在（2）条件下，过E作EK⊥AC于K，BC＝3EF，求EK的长．”26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于点A，点B（﹣4，0），与y轴交于点C（﹣3，4）在抛物线上，点P是抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接OD，若OP平分∠COD；（3）如图2，连接BC，抛物线的对称轴交BC于点E，点P在y轴右侧的抛物线上，若∠POE＝45°参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数﹣的倒数（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3【解答】解：有理数﹣的倒数是﹣8．故选：D．2．（3分）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，5，并且上面一行的正方形靠左．故选：B．3．（3分）北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，则7062万用科学记数法表示为（）A．7.062×103 B．70.62×106 C．0.7062×108 D．7.062×107【解答】解：7062万＝70620000＝7.062×107．故选：D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a•a5＝a5 B．（﹣a3）2＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．a3+a3＝a6【解答】解：A．a•a5＝a6，故本选项不符合题意；B．（﹣a8）2＝a6，故本选项符合题意；C．a4÷a2＝a6，故本选项不符合题意；D．a3+a3＝2a4，故本选项不符合题意；故选：B．5．（3分）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知∠2＝35°（）A．35° B．45° C．55° D．65°【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠2＝35°，∴∠8＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝55°．故选：C．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：，解得，故选：C．7．（3分）在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数册数01234人数31316171那么这50名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，2 B．3，3 C．2，3 D．3，1【解答】解：∵这组样本数据中，3出现了17次，∴这组数据的众数是3．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是4，∴这组数据的中位数为2；故选：A．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣6m＜0，解得m＞1．故选：B．9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，分别交AB，BC于点F，G，G为圆心，大于，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，若AB＝5，BC＝8，则BE的长为（）A． B． C． D．【解答】解：由作法得BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝5，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，∴BC＝AD＝AE+DE＝5，∴AE＝3，在△CDE中，DE＝3，CD＝3，∴DE2+CE2＝CD2，∴△CDE为直角三角形，∴∠CED＝90°，∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠CED＝90°，在Rt△BCE中，，故选：D．10．（3分）小明和小强两个人开车从甲地出发匀速行驶至乙地，小明先出发．在整个行驶过程中，小明和小强两人的车离开甲地的距离y（千米）（小时）之间的函数关系如图所示，有下列结论：①甲、乙两地相距300千米，却早到1个小时；③小强的车出发后1.5小时追上小明的车．其中正确的结论有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：由图象可知，甲、乙两地相距300千米，小强从甲到乙共用3小时，早到1小时，∴①②正确，故符合要求；∴小明的速度为60千米/小时，小强的速度为100千米/小时，设小强的车出发后x小时追上小明的车，则100x＝60+60x，解得x＝7.5，∴小强的车出发后1.3小时追上小明的车，∴③正确，故符合要求；∴正确的结论有①②③，故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算（2+）（2﹣）＝1．【解答】解：（2+）（8﹣）＝27﹣（）2＝7﹣3＝1．故答案为：3．12．（3分）在一个不透明的袋子里，装有2个红球和5个白球，这些球除颜色外没有任何区别，“摸出红球”的概率是．【解答】解：由题意知，摸出一个球共有7种等可能的结果，∴摸到红球的概率为：．故答案为：．13．（3分）点A（3，2）先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的坐标为（5，1）．【解答】解：点A（3，2）先向右平移2个单位，2﹣1），3），故答案为：（5，1）．14．（3分）《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，以点A为圆心，交AC于点D，则阴影部分的面积是．（结果保留根号和π）【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴，∠A＝60°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形BAD＝＝．故答案为：．16．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝AB+a（a＞0），使AB落在AD上，AE为折痕，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，若DE＝EF，则CD＝（用含a的代数式表示）．【解答】解：由翻折的性质可知，EB＝EB'，在Rt△EBF和Rt△EB'D中，，∴Rt△EBF≌Rt△EB'D（HL），∴BF＝DB'，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDB'＝∠EB'D＝90°，AB＝CD，∴四边形ECDB'是矩形，∴DB'＝EC，∵AD＝AB+a（a＞0），∴AD＝AB'+B'D＝AB+BF，∴BF＝B'D＝EC＝a，由翻折的性质可得：FG＝BF＝a，∠FAG＝45°，∴AG＝FG＝a，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）17．（9分）计算：．【解答】解：＝＝＝．18．（10分）为了宣传垃圾分类，普及垃圾分类知识，让学生知道更多的垃圾分类知识，抽取部分学生成绩作为样本，并将结果分为A、B、C、D四类，61～80分为C类，81～99分为B类，绘制了如下的条形统计图和扇形统计图，请结合此图回答下列问题．（1）此次抽样调查的样本容量为200，竞赛成绩为B类的有60人，扇形统计图中竞赛成绩为C类所对应的圆心角为162°；（2）若这次竞赛成绩为A类或B类的学生可获奖，全校共1200名学生，请估计全校获奖学生人数．【解答】解：（1）样本容量＝，竞赛成绩为B类的人数为200﹣30﹣90﹣20＝60，成绩为C类所对应的圆心角为，故答案为200；60．（2）（人）．∴估计全校获奖学生大约为540人．19．（10分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠E＝∠ABC．求证：AC＝DF．【解答】证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC＝DF．20．（10分）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m2，求矩形垂直于墙的一边，即AB的长．【解答】解：设矩形垂直于墙的一边AB的长为xm．由题意得，x（18﹣2x）＝36，整理得，x2﹣2x+18＝0，解得，x1＝8，x2＝6，当x＝8时，18﹣2x＝18﹣2×3＝12＞10，舍去；当x＝6时，18﹣2x＝18﹣2×6＝6＜10．答：矩形垂直于墙的一边AB的长为7m．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，电流I为24安培．（1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；（2）若2≤R≤200，求电流I的变化范围．【解答】解：（1）设函数解析式为，∵当R＝6时，I＝24，∴，解得：k＝144，∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为．（2）∵中，144＞0，∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，∵2≤R≤200，∴把电阻最小值R＝6代入，得到电流的最大值，，把电阻最大值R＝200代入，得到电流的最小值，，∴电流I的变化范围是4.72≤I≤72．22．（10分）如图，一艘渔船在黄海海域由西向东航行到达A处时，测得小岛C位于渔船的北偏东70°方向，此时测得小岛C位于距离渔船30海里的北偏东30°方向．（1）填空：∠ACB＝40°；（2）求渔船的速度（结果取整数）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，）【解答】解：（1）根据题意，∠BAC＝20°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝40°，故答案为：40；（2）过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D．由题意可知，∠ACD＝70°，BC＝30海里，在Rt△BCD中，∠D＝90°，BC＝30，，∴（海里）＝15，在Rt△ACD中，∠D＝90°，，，∴AD＝CD•tan∠ACD＝15×tan70°≈15（海里），∴渔船的速度为（海里/时）．答：渔船的速度约为28海里/时．23．（10分）AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CF⊥AB于E交⊙O于点F，点D在AB延长线上，∠BOF＝2∠BCD．（1）如图1，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，过B作BM⊥CD于M，EC＝2OE，【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB⊥CF，∴BC＝BF，∴∠COB＝∠BOF，∵∠BOF＝2∠BCD，∴∠COB＝6∠BCD，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴，∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝90°﹣∠BCD+∠BCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：方法一：∵CE⊥AB，∴∠CEO＝90°，∵CE＝2OE，∴设OE＝a，则CE＝2a，∵，∴．在Rt△COE中，根据勾股定理，，∴a＝3，∴OE＝1．∵，∴．∵OC＝OF，OE⊥CF，∴∠BOF＝∠BOC．∵∠BOF＝2∠BCD，∴∠BOC＝7∠BCD．设∠BCD＝α，则∠BOC＝2α．∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC．∴，在Rt△OCE中，∠OCE＝90°﹣∠COB＝90°﹣2α，∴∠BCE＝∠OCB﹣∠OCE＝90°﹣α﹣（90°﹣2a）＝α，∴∠BCE＝∠BCD．∵BM⊥CD，BE⊥CF，∴；方法二：如图2，∵CE⊥AB，∴∠CEO＝90°，∵CE＝3OE，∴设OE＝a，则CE＝2a，∵，∴，在Rt△COE中，根据勾股定理2+CE6＝5a，∴a＝1，∴OE＝4．∵∠OCD＝∠CEO＝90°，∴∠COE+∠OCE＝∠COE+∠D＝90°，∴∠OCE＝∠D，∵∠OCD＝∠CEO＝90°，∴△OCE∽△ODC，∴，∴，∴OD＝5，∵BM⊥CD，∴∠BMD＝∠OCD＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DBM∽△DOC，∴，∵，∴，∴．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，动点D从点A出发，当点D不与点A、B重合时，过D作DE⊥AC于E（s），平行四边形ADFE与△ABC重叠部分的面积为S（cm2）．（1）当点F在BC上时，求t的值；（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，根据勾股定理，，当点F在BC上时，如图1，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴AE＝3t，∵四边形ADFE是平行四边形，∴DF∥AE，DF＝AE＝2t，又∵∠AED＝∠C＝90°，∴DE∥BC，∴四边形DECF为平行四边形，∴DF＝EC＝3t，∵AE+EC＝AC＝6，∴3t+3t＝6，∴t＝8；（2）当0＜t≤1时，如图4，∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴DE＝8t．∵AE＝3t，∴S＝；当1＜t＜2时，如图3．∵四边形ADFE是平行四边形，∴∠A＝∠F，DF∥AE，∵AE＝3t，∴DF＝7t，∵EC＝AC﹣AE＝6﹣3t，四边形DECG为平行四边形，∴DG＝EC＝4﹣3t，∴GF＝DF﹣DG＝3t﹣（6﹣3t）＝6t﹣5，∵DF∥AE，∴∠FGH＝∠C＝90°，又∴∠F＝∠A，∴△FHG∽△ABC，∴，即，∴GH＝8t﹣3，∴，综上所述，．25．（11分）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题，如图1，AB＝AC，D是BC延长线上一点，∠ADB＝60°，点E在线段AD上，连接CE．求证∠ACE＝∠BAD．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究；（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，连接BE，以B为圆心，交AE于点F，连接BF，之间的数量关系，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组对上述问题进行特殊化研究之后，提出下面的问题，在（2）条件下，过E作EK⊥AC于K，BC＝3EF，求EK的长．”【解答】（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DE＝DC，∠D＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠ECD＝60°，∵∠B+∠D+∠BAD＝180°，∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°，∴∠ACE＝∠BAD；（2）解：结论：AF＝2DE．理由：如图3中，延长DB到J，在AD上取一点Q．∵DA＝DJ，DQ＝DB，∴△ADJ，△BDQ都是等边三角形，∴∠J＝∠D＝60°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABJ＝∠ACD，∴△ABJ≌△ACD（AAS），∴BJ＝CD，∵DC＝DE，∴BJ＝DE，∵BE＝BF，同法可证FQ＝DE，∴BJ＝FQ，∵DJ＝DA，D