锐角三角函数（第三课时）（导学案）-九年级数学下册同步备课系列（人教版）

学习目标1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应锐角度数；2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式；3.结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换.重点难点突破★知识点1：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：核心知识一、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：引入新课【提问】简述正弦、余弦、正切的概念？新知探究【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？典例分析例1如果α是锐角，sinαA．12 B．22 C．32【针对训练】1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣3＝0，则∠A的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．无法确定2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3.在实数0、−3、tan45°A．0 B．−3 C．tan44.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝22A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形5.已知△ABC的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－32例2求下列各式的值：(1)cos260°+sin260°(2)cos45°sin45°【针对训练】1.计算sin245°+cos30°·tan60°，其结果是()A．2 B．1 C．52 D．2.计算：（12）﹣1A．﹣12 B．1 C．12 3.计算：2−14.计算：4sin5.计算：1）4cos32）|﹣3|+3tan30°﹣8+2cos45°﹣（2018﹣π）06.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-3

感受中考1．（2023·天津·中考真题）sin45°+A．1 B．2 C．3 D．22．（2023·四川眉山·中考真题）计算：23．（2023·四川内江·中考真题）计算：(−1)4．（2023·内蒙古·中考真题）计算：8−2课堂小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2.简述30°、45°、60°角的三角函数值？【参考答案】新知探究【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？30°、60°、45°【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.假设30°角所对的边AC=a，则AB=2a，由勾股定理得BC=AB2−ACsin30°=ACAB=a2a=12cos30°=BCAB=3a

2a=3【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.假设30°角所对的边AC=a，则AB=2a，由勾股定理得BC=AB2−ACsin60°=BCAB=3a2a=32cos60°=ACAB=a2a=1【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.假设AC=BC=a，由勾股定理得AB=AC2+BCsin45°=ACAB=a2a=22cos45°=BCAB=a2a=由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？1）α为锐角，对于sinα与tanα，角度越大，函数值越大；对于cosα，角度越大，函数值越小.2）互余的两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，即一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.cosA=sinB，即一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.tanA·tanB=1，即一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数.典例分析例1如果α是锐角，sinαA．12 B．22 C．32【针对训练】1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣3＝0，则∠A的大小为（A）A．30° B．45° C．60° D．无法确定2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（C）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3.在实数0、−3、tan45°A．0 B．−3 C．tan44.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝22A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形5.已知△ABC的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－32解：∵(1－tanA)2＋|sinB－32∴tanA＝1，sinB＝32∴∠A＝45°，∠B＝60°则∠C＝180°－45°－60°＝75°∴△ABC是锐角三角形．例2求下列各式的值：(1)cos260°+sin260°(2)cos45°sin45°解：1）cos260°+sin260°=12

2）cos45°sin45°-tan45°=2【针对训练】1.计算sin245°+cos30°·tan60°，其结果是(A)A．2 B．1 C．52 D．2.计算：（12）﹣1A．﹣12 B．1 C．12 3.计算：2−14.计算：4sin30°−5.计算：1）4cos32）|﹣3|+3tan30°﹣8+2cos45°﹣（2018﹣π）0解：1)原式=4×32-3×3+2×22×222）原式＝3+3×33﹣22+2×22﹣16.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-3

解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3.∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.∴2sin2α+cos2α－3

=2sin245°+cos245°－tan60°=2（22

）2+（