2022-2023学年河北省唐山市高一年级下册6月月考数学试题【含答案】

一、单选题

1.已知复数z=(l-3i)(a-i)为纯虚数，则实数。=()

A.3B.-C.—D.一3

33

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算与纯虚数的概念求解即可.

【详解】因为z=(l—3i)(a—i)=(“一3)-(3a+l)i为纯虚数，

。一3=0

所以解得。=3,

3<?+1*0

所以。=3.

故选：A.

2.下列条件一定能确定一个平面的是()

A.空间三个点B.空间一条直线和一个点

C.两条相互垂直的直线D.两条相互平行的直线

【答案】D

【分析】由空间中点线面的位置关系直接判断即可..

【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；

由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；

两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；

由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确.

故选:D.

3.已知集合4二卜|9尤2<1},B=\yy=x2-2x^^\,则()

B.*

D.

【答案】B

【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合AC&

【详解】因为

yy=x2-2x+^1=|j|y=(x-l)2+^=g+e)

B=

因此，ACB=1II-

1_43；

故选：B.

4.已知向量a,Z?满足,+囚=3,,一,=2,则°.5=（)

6

D.

5

【答案】C

【分析】将两式平方作差，化简即可求出答案.

【详解】由卜=9,,『一2〃/+1『=4,两式作差可得分"='|.

故选：C.

27

5.己知。=bg316,/?=—,c=2怆而，则（）

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【分析】由a=&og;8,可得”"而b=则可得6>",再由「>非婀_£，易得片-〃>（）,

33103一乙

贝IJ可知c〉b,由此即可选出答案.

448

【详解】=4log32=-log38<-log39=-,

由24=J_>。，有阻〃可得&>a.

10330103

Wc2-b1>8-f—1=^>>0,有c>b,

又由c〉2律后丽=2=，

UOj100

可彳导c>/?>a.

故选：D.

6.某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物

的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘

米.假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据兀。3.14）（）

A.17.02立方米B.17.23立方米C.17.80立方米D.18.22立方米

【答案】C

【分析】利用圆台的体积公式运算即可，最后要注意单位的换算.

【详解】依题意，设圆台的高为〃厘米,

则=6厘米，

所以圆台的体积为仁）+白9+9?x6=*=¥x3.14=890.19立方厘米，

故需要营养土约为sgo.igxzoooox^=17.80立方米.

1000000

故选：C.

21,

7.已知。>0,b>0,—+-=1,则0?+4〃的最小值为（）

ab

A.8B.16C.24D.32

【答案】D

【分析】由题意利用的妙用，可先求出。+2b的最小值，再由/+4从23（〃+2））2求出答案.

【详解】由6z4-2Z?=（«+2Z?）f—+—>1=—+—+4>2J—X—+4=8

\ab）ab\ab

（当且仅当。=4/=2时取等号），

i

又由/+4〃25（4+26）9-（当且仅当。=4,0=2时取等号），有〃+4从±32,

可得片+4片的最小值为32.

故选：D.

8.如图，在三棱柱ABC—A4G中，”为AQ的中点N为侧面8CG4上的一点，且MM/平面"G,

若点N的轨迹长度为2,则（）

1;

G

A.AC1=4B.BC1=4C.ABI=6D.B1C=6

【答案】B

【分析】根据面面平行的判定定理证明平面MDE〃平面48G,再由MN〃平面ABQ可得点N的轨

迹为线段OE,据此即可得解.

【详解】如图,

G

取qG的中点。，8瓦的中点E,连接MO,DE,ME,

由DE//BQ,

又平面ABG，ABu平面ABC一所以〃平面ABG，

同理可得£>E〃平面ABC-又MDDE=D,M£),£)Eu平面“DE

所以平面MDE//平面ABC1，又平面ABC一

故点N的轨迹为线段。E,又由OE=g8G=2,可得BG=4.

故选：B.

二、多选题

9.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超

市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4,顾客小张中奖

的概率为0.2,则()

A.小王和小张都中奖的概率为0.08

B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46

C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44

D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92

【答案】ACD

【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率公式即可求解.

【详解】由题意知：小王和小张都中奖的概率为0.2x0.4=0.08,故A正确；

小王和小张都没有中奖的概率为(l-0.2)x(l-04)=0.48,故B错误；

小王和小张中只有一个人中奖的概率为04x(1-0.2)+(1-04)x0.2=0.44,故C正确；

小王和小张中至多有一个人中奖的概率为1-0.08=0.92,故D正确.

故选：ACD.

10.如图，在平行四边形ABC。中，E为A3的中点，尸为AO的中点，&Z与CE相交于点O,AB=a.

AD=%，则（）

C.FO=-a--b

36

D.若ZA=60。，U=2,忖=1,则EQEC=-j

【答案】BCD

【分析】利用三角形法则的应用，线性运算的应用，数量积运算和平行线分线段成比例即可逐个选

项判断.

【详解】对于A选项，EF=^BD=^（AD-AB）=^（b-a]=^b-^a,故A错误;

对于B选项，EC=BC-BE=b--BA=b+-a=-a+b,故B正确：

222

对于C选项，利用..CODEOB,可得00=203,

则尸0=。0-。尸=*。8+—40=*（"一山+—6=*4-上方，故C正确；

323、'236

对于D选项，由“/=孙,卜＜«60。=1,

有EF.EC=g仅-a）（ga+"=：（b-a）.（a+26）

=；卜〃"-M+2忖）=3（_1_4+2）=一（，故D正确.

故选：BCD.

11.在A8C中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是（）

A.若4>8,则sinA>sin5

B.若A=60。，c=2,a=1.74,则一ABC只有一解

C.若tanA=3贝|J_ABC为直角三角形

b

D.cosA+cosB+cosC>0

【答案】AD

【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正

弦定理，由tanA=1,得到有门人=出门小强人判断；对于D选项，分-ABC为锐角三角形，直角三角

b

形，4BC为钝角三角形判断.

【详解】对于A选项，由力>6,有a>b，由正弦定理可得sinA>sin8,故A选项正确；

对于B选项，由&<1.74<2,可知ABC有两解，可知B选项错误；

对于C选项，由tanA=f,得sinA=sin8tan4,有cosA=sin8,可得A+8='或B=&+A,可知

b22

C选项错误；

对于D选项，若.A8c为锐角三角形或直角三角形，有cosA+cos8+cosC>0；若-A8C为钝角三

角形，不妨设C为钝角，有8sC<0,8sA>0,cosB>0,有

cosA+cosB+cosC>cosA+cosC

=cosA-cos(/l+5)=cosA-cosAcosB+sinAsinB>cosA(1-cosfl)>0,可知D选项正确.

故选：AD.

12.如图，正三棱锥尸-45c和正三棱锥Q-ABC的侧棱长分别为2,近，直线PQ与底面A2C相

交于点。，OP=2OQ,则()

Q

A.PQ=y/5

B.AQ,BQ,CQ两两垂直

C.AP与CQ的夹角为45°

D.点P,A,B,C,Q不可能同时在某个球的表面上

【答案】BC

【分析】本题考查正三棱锥的特征，利用顶点在底面的投影是底面的中心可解决A与B,利用割补

法可解决C与D.

【详解】对于A选项，由正三棱锥的性质知尸平面ABC,

如图，连接0A,可得PQ_LOA,WOA=y)AP2-OP1=y/AQ2-OQ2,

有,4-4OQ2=,2-OQ?，解得OQ=当，

可得|PQ|="，故A选项错误；

对于B选项，由AO=

3、〈26

4

可得8c=J。=——小=2,又由AQ=BQ=CQ=&,

2呜2x3

32

TT

可得NAQB=NBQC=NAQC=-,

易知A。，BQ,CQ两两垂直，故B选项正确；

对于C选项，由AQ,BQ,C。两两垂直，AB=BC=AC=AP=BP=CP=2,

把正三棱锥P-ABC和正三棱锥。-48C拼成的几何体放入如图所示正方体中,

可知AP与C。的夹角为45。，故C选项正确；

对于D选项，由C选项知，点P,A,B,C,。可以同时在以PQ为直径的球上，故D选项错误.

故选：BC.

三、填空题

13.若复数z在复平面内所对应的点在直线），=-%上.请写出一个满足上述条件的复数z=

【答案】l-i（答案不唯一）

【分析】®z-a+&i（«eR,Z>eR）,根据题意列出/»=-*即可得出答案.

【详解】i§：z=a+bi(aeR,beR),

则在复平面内所对应的点为(。力)，

所以〃=-a,

满足上式的有无数个，

如±(T),±(2-2i),士(3—3i)等.

故答案为：l-i(答案不唯一)

14.已知圆锥的母线长为1,底面半径为〃若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的g,

则,=.

r

【答案】3

12兀

【分析】根据圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的得到扇形的圆心角为则可列

出等式求解.

【详解】解：由题意可知扇形的圆心角为甘，

则予W，

所以,=3.

r

故答案为：3

15.从分别写有56.7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上

的数字大于第二卡片上的数字的概率为.

【答案】|

【分析】根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后

代入古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】记"抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件A,

事件A包括以下21种情况：(7,1),(7,2),(7,3),(7,4),(7,5),(7,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),

(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(4,1),(4,2),(4,3),(3,1),(3,2),(2,1),

而有放回地连续抽取2张卡片共有7x7=49(种)不同情况，

213

则P(A)=^=亍

3

故答案为：—■

16.在锐角中，内角ARC所对的边分别为a,"c,点G为的重心，AG=8C,则cosB

的取值范围为.

【答案】

【分析】设BC的中点为Q,由AG=BC,得到=3结合4O=；1(AB+AC),化简得到

5a2=b2+c2,根据题意得到利用余弦定理求得COS8=£-2,令£=L利用函数

aaca

&)=，、2为单调递增，即可求解.

3

【详解】设BC的中点为。，由AG=8C,根据重心的性质，可得=

又由AO=g(4B+AC),可得„=^(|AB|"+\A(^+2AB-AC),

B|J—=-(Z?2+C2+2Z?CCOSA),即9a2=b2+c2+(b2+c2-a2),

44

整理得5/=k+/,

b2+c2>a2

_\a2+c2>5a2-c2__cp

因为为锐角三角形，可得即rl/+5八41可z得r必片5

2i2,>

a~+b~>c~

,0a2+c2-b2a2+c2-(5a2-c2)2c2-4a2c2a

EcosB=---------=----------------=--------=------,

2ac2ac2acac

令、=/,(®<，<G),函数/a”，-：在上单调递增,

所以友)=0,〃。</(@=6-¥=日，

所以0<cosB<,即cos8的取值范围是

3

四、解答题

17.在平面直角坐标系xOy中，A(l,2),B(-2,3),C(8,-5).

(1)若0c=xOA+)，O8,求实数x,y的值;

(2)若AB//(〃?0A+0C),求实数巾的值.

【答案】(l)x=2,y=-3

(2)m=l

【分析】Q)利用向量坐标化的线性运算即可得到关于x，y的方程组，解出即可:

(2)首先计算得“。4+。。=(%+8,2加-5),再利用向量共线得到关于“，的方程，解出即可.

【详解】Q)由OC=xCM+yOB,有(8,-5)=x(l,2)+y(-2,3),

2y=8,x=2,

解得

2x+3y=-5,y=-3,

故x=2,y=-3；

(2)由AB=(-3,1),ma4+OC=〃z(l,2)+(8,-5)=(，〃+8,2m-5),

又由AB〃(〃?OA+OC),有(H7+8)xl-(—3)x(2〃?-5)=(),

解得加=1,故加=1.

18.已知函数/(x)=-^sinox-^cosox-m,其中0>0.

(1)若函数f(x)的最大值是最小值的5倍，求机的值；

⑵当租=等时，函数“X)的正零点由小到大的顺序依次为.，4，X”…，若与一2%=京，求0

的值.

3

【答案】(1)"=一］

(2)CD=3

【分析】(1)利用两角差的正弦公式化简，在结合正弦函数的性质求出,“X)的最值，即可得到方程,

解得即可；

(2)依题意可得/(x)=sin(ox-t)-等，令〃x)=0,求出x,即可求出为，々，从而得解.

【详解】(1)因为/(x)=^^sin<yx-gcosiyx-,7z,

所以f(x)=sin(sqj-m,

当5山(5-已)=1时，/(x)nm=\-m,

当sin(ox司=T时,f(x)n，n=-l-m,

由1一机=5(-1-〃?)，解得机=q,故〃1=一1

(2)当时，/(x)=sin(s一看］一日,

令〃力=0,有5—已=2E+：或GX-聿=2E+g(ZeZ),

-,za2®+'12也+坦

可得户一鱼或.——「（林Z）'

COCD

5IT

取八°,可得寸石,x1IK

2一历'

-_7C,_1lit10兀7T/r_।._

又由/a、，有三-后=公，解得g=3,故3=3.

19.居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”.某物业公司为了调查小区业主

对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物

业服务的满意程度给出评分,分成［50,60）,［60,70）,|70,80）,［80,90）,［90,100］五组，得到

如图所示的频率分布直方图.

t频率/组距

0.040F--------------1-।

0.030----------I_

0.016-—1-

0.010---------------------------

0回卜十一十一十一卜1,

（T5060708090100评分/分

（1）在这100名业主中，求评分在区间［70,80）的人数与评分在区间［50,60）的人数之差；

⑵估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数：

⑶若小区物业服务满意度（满意度=满意彳;均分）低于。8,则物业公司需要对物业服务人员进

行再培训.请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再

培训，并说明理由.（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

【答案】（1）24人；

⑵众数:75分,90%分位数:84分；

(3)物业公司需要对物业服务人员进行再培训，理由见解析.

【分析】(1)本题考查频率分布直方图每个矩形的意义，即频率，则每个区间人数即可求解；

(2)本问考查频率分布直方图的众数与百分位数的求法，即最高矩形的组中值为众数，左右两边频

率之和为0.9与0.1的为90%分位数；

(3)本问考查频率分布直方图平均数的求法，即组中值与频率乘积之和，最后套入公式即可.

【详解】(1)评分在区间［70,80)的人数为100x0.04x10=40(人)，

评分在区间［50,60)的人数为100x0.016x10=16(人)，

故评分在区间［70,80)的人数与评分在区间［50,60)的人数之差为40—16=24(人)；

(2)业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分，

由l()x(().016+().()3+().04)=().86<().9,10x(0.016+().03+0.()4+0.01)=0.96>0.9,

设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x,

有(x-80)x0.01=0.9-0.86,解得x=84,

故业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数分别为75分和84分；

(3)业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分为

55x0.016x10+65x0.03x10+75x0.04x10+85x0.01x10+95x0.004x10=70.6,

,70.6,、…,、。

由-----0.706<0.8,

100

故物业公司需要对物业服务人员进行再培训.

20.在AABC中，内角4,B,C所对的边分别为。，江c,且+A=4”+/工)

c2^/?sinC

⑴求C；

(2)若AABC的三条角平分线相交于点。，AB=7,04B的面积为史叵，求OC.

4

【答案】(1)C=1

(2)OC=i^

7

【分析】(1)由正余弦定理及两角和的正弦公式化简可得tanC=G，据此求解;

(2)由三角形面积公式及余弦定理求出40,80,再由定理及正弦定理求解即可.

【详解】（1）由£il^l£i=cosC及a8s，+%osA=6S+"-c）,

2abc2cibsinC

acosB+bcosAV3cosC

有

sinC

又llliF弓玄定理有0亩AcosB+sinBcosA_6cosc

sinCsinC

有sin（4+B）=8cosC,有四£=GcosC,有tanC=6,

sinCsinCsinCsinC

又由Cw（o,7i）,可得c=g；

（2）由C=1,有N0AB+N0B4=；（A+B）=；（兀-C）=g兀71

兀一§

3

TT27r

可得/AO3=7t——=—,

33

在AOAB中，由△048的面积为竺且，W-AOxOBxsin—=

4234

可得40x08=15,

又由余弦定理及AB=7,WAO2+AOxBO+BO2=49,

有（40+80）2-40x80=49,

代入AOxQ3=15,有AO+8O=8,

AO+BO=8,AO=3（AO=5,

联立解得

AOxOB=15,BO=5,[80=3,

AO=3,

由对称性不妨设

BO=5,

222

3+7-5

在A。"中，WcosZOAB=-------—

2x3x7

又由OA为角A的角平分线，有sinNOAC=拽,

14

30c

。。0C

在△OAC中，由正弦定理有有•兀50,

sinZ.ACOsinZCAOrSin

614

可得。。=58

7

21.如图，在直棱柱他CO-EFG”中，底面A8C。是边长为2的正方形,N是CG上的一点，ECH

平面FHN.

⑴请确定点N的位置；

(2)若直线8G与平面EHN所成的角为3TT求AE.

【答案】(1)点N为CG的中点；

(2)AE=2或20.

【分析】(1)连接EG与相交于点。，连接ON,由线面平行的性质定理可知EC〃ON,再由。

为EG中点，则可得N为CG的中点；

(2)记FN和5G的交点为T,过点G作。N的垂线，垂足为尸，连接尸T,易证GP_L平面

即直线5G与平面EWV所成的角的平面角为NGTP,AE=2x(x>0),易得PG=*L,

VX2+2

0x

TG=±BG=^y!^7,在RtPGT中，sinNGTP=的=委五=正,解方程即可得出答案.

33GT2衍2

3

【详解】(1)如图，连接EG与，尸相交于点0,连接QV,

；EC//平面ECu平面CEG,平面CEGC1平面F”N=ON,

EC//ON,

V0为正方形EFGH的对角线的交点，...OF=OH,OE=OG,

'：OE=OG,EC//ON,

：.GN=NC,

.••点N为CG的中点;

(2)设AE=2x(x>0),如图，记FN和BG的交点为T,过点G作QV的垂线，垂足为P,连接尸T,

•••四边形)'GH为正方形，。为对角线的交点，_LOG,

'­*FN=\lFG2+GN2'HN=JHG，+GM，FG=HG，：.FN=HN，

:FN=HN,OH=OF,：.ONLFH,

,：FHLOG,ONLFH,OG,ONu平面OGN,OG()ON=O,

：.平面OGN,

:a/JL平面OGN,62<=平面00%,；.4/_16尸，

,：GPA.ON,GPLFH,F/7ON=O,FH,ONu平面FHN,

：.GP_L平面尸〃N,

•?6尸_1平面五月可，

，直线BG与平面所成的角的平面角为NGTP,

7T

：.NGTP=—,

3

在正方形EFG”中，由EG=2夜，可得OG=；EG=；X2®=6.

在RtAOGTV中，ON=>JOG2+GN2=也+/，有PG=，

ON6+2

在长方形BCG歹中，由8尸=26可，BF//GN,有5T=2GT,

可得TG=-BG=-j4+4x2=-Vl+x2,

333

yflx

在RtPGT中，sinNG7P=^="+2=3瓜，

GT|>/77T2正+1)(一+2)

-rr3&X\/3

又由有2#")(入2)=工解得I或i'

故AE=2或2啦.

22.己知函数/(x)=logj庐1+"">是定义在R上的奇函数.

⑴求实数。的值；

(2)证明：函数/(X)在R上单调递增;

(3)记g(x)=f(x)+2*-2T,对VxGR,不等式g，+3)+g(Tnk+l|”0恒成立,求实数机的取值

范围.

【答案】(1)。=0

(2)证明见解析

(3)(-°C,2]

【分析】(1)根据函数/(X)是定义在R上的奇函数，由/(0)=1。4(4+1)=。求得”，再验证即可;

(2)利用函数的单调性定义和复合函数的单调性证明；

(3)先证得函数g(x)在R上单调递增，将不等式g(f+3)+g(_mk+l|"0转化为

g(f+3))g(小+1]),进而得到x2+3>/n|x+l|求解.

【详解】(1)解：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，

有/(0)=log2(a+l)=0，可得”=0,

当a=0时，Efe/(x)=log2(V77T+x),〃=匾(7771—x)=晦