2024年高考数学复习：18 基本不等式归类（解析版）

18基本不等式归类

目录

一、热点题型归纳...............................................................................1

【题型一】基础型.........................................................................1

【题型二】“1”的代换型.................................................................2

【题型三】“和”与“积”互消型..........................................................3

【题型四】以分母为主元构造型............................................................5

【题型五】构造分母：待定稀释型..........................................................6

【题型六】分离分子型....................................................................8

【题型七】反解代入型消元法..............................................................9

【题型八】因式分解.....................................................................10

【题型九】均值用两次...................................................................11

【题型十】换元型题.....................................................................13

【题型十一】“和”与索取和系数不一致型....................................................14

【题型十二】“均值裂项”凑配型............................................................15

【题型十三】整体化同乘方程型.............................................................17

【题型十四】三元最值型...................................................................18

【题型十五】恒成立求参数型...............................................................19

【题型十六】超难压轴小题.................................................................20

二、最新模考题组练............................................................................22

【题型一】基础型

【典例分析】

在下列函数中，最小值是2的是

冗2%+2「兀)

A.y=—+—B.y=,----(x>0)c.y=siiu+cosx,xe|0,—|D._y=7*+7T

2xvx+1v2)

【答案】D

Y2

【解析】A.y=—+—,当x<o时yV-2,不符合题意；

2x

x+2x+1+1nG+上“'当x=°时取等号,不符合题意;

B.y二一i=­/

Vx+lyjx+l

D.y=r+7r>2,当且仅当x=0时取等号，符合题意.故选D.

【提分秘籍】

基本规律

1.基本公式(1)a2+Z?2>2ab；(2)a+b>2y[ab；(3)a"<("；"

2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。

【变式演练】

2

1.已知关于X的不等式x-5ax+2a2<0（a>0）的解集为（玉,x2）,则玉+/+2的最小值是

【答案】710

【详解】由于。>0,故一元二次方程犬_5依+2a2=0的判别式：4=25/—4.2/=17/>0,

兀+5=5〃x+xH----—5a~i---——5aH---N2J5ax—=J10，

由韦达定理有:c2，则:y9

=2〃2a2aV2a

i./Tna.-

当且仅当5〃二工，。=Y”时等号成立.综上可得：石+%+——的最小值是而•

2a10玉％2

2.若小8都是正数，贝+的最小值为（）.

A.5B.7C.9D.13

【答案】C

♦bV4〃11Z74a厂Jb4a八…门…一八

【详解】因为。、b都是正数，所以Id■一Id---=5+—H---->5+2./-----=9,(当且仅当〃=2。>0

〃八b)abNab

时取等号），故本题选C.

3.在区间［-2,4］上随机地取一个数x,使/+—国恒成立的概率是（）

a+111

A.-B.1C.-D.-

3234

【答案】A

【详解】上岗恒成立，即+，设y=L+〃，则>=方二+（片+1）-止2-1=1,

a+111\a+1J.a+1a+1v7

当且仅当±=/+1,即a=0时，等号成立，所以问题转化为忖<1,即-1W1,所以在区间卜2,4］上

11-（-1）1

随机地取一个数X时，使区恒成立的概率是尸=故选择A.

a+1114-（-2）3

【题型二】“1”的代换型

【典例分析】

已知X,y均为正实数，且生土2=（+n，则x+3y的最小值为__________

xy2

2x+y217

【详解】x,y均为正实数,------=—+一=彳+.6,

xyyx2

c1(cJ2n1「3y2x、

-v+3j=-----(x+3y)-+-=------(7+=+—)27+&，+2斯）=2当6^二年时等

L+瓜㈠率7+瓜xy

22

号成立.故答案为：2.

【提分秘籍】

基本规律

“1”代换是基本型，要注意

1.一正二定三相等

2.见分子想分母，见分子想分子。

【变式演练】

32

1.已知Q>0,b>0,-+—=1,贝！］2Q+3Z?的最小值为()

ba

A.20B.24C.25D.28

【答案】C

【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值.______

【详解】由题意2a+3b=(2a+3b)(2+3)=13+强+丝213+2、悭x竺=25,当且仅当半=的，即a=>=5

abba\baba

时等号成立.故选：C.

41

2.已知Q>0,b>0,3a+—=l,则—H3b的最小值为()

ba

A.13B.19C.21D.27

【答案】D

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.

-+3ft=[-+3/?j|3«+4|=3+12+—+9^..15+2A/4^9=27,当且仅当汽=9a6,即。=工，b=6

ayaJvb)abab9

时，等号成立，故工+36的最小值为27。故选：D

a

3.已知正实数。，6满足。+6=1,则空士1+”上的最小值为

ab

【详解】因为且9都是正实数.所以知+力3+小。了

ababyab

12

当且仅当。=—一时,等号成立.所以2/+I2”+4的最小值为

_f14、3c(14Y)b4arc仍4r,,,b=11

=2七+]卜=2+(九J()=7-->7J--=11---+----

a+fc+++233ab

【题型三】“和”与“积”互消型

【典例分析】

已知小y都是正数，且满足x+2y+盯=30,则孙的最大值为.

【答案】18.

【分析】

根据基本不等式x+2y22历，得到关于而的不等式，解得向的范围，从而得到孙的范围，求出答案.

【详解】因为无，>>。，且x+2y+孙=3。，所以30-孙=x+2y227^,(当且仅当x=2y时，取等号)

即(而『+2"而-30V0,解得-504而<3应，所以得—V18，

所以孙的最大值是18.此时x=6,"3.故答案为：18.

【提分秘籍】

基本规律

1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1

2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析

3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2

授课时，注意这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以用反解代入消参等方法

【变式演练】

1.已知尤>0,y>0,且4x+2y-个=。，则2尤+y的最小值为()

A.16B.8+4应C.12D.6+472

【答案】A

24

【分析】由题意得，-+—=1,再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.

【详解】由题可知2+±=1,乘"1”得2x+y=(2x+y)(Z+3]=皂+苴+822,旺&+8=16,当且仅当

2y

---时，取等号，则2%+y的最小值为16.故选：A

yx

2.已知犬>。,丁>。，且2x+9y+6孙=9,则2x+9y的最小值为.

【答案】6

【分析】利用基本不等式有6个=；x2xx9yV；x(二空：，再利用一元二次不等式的解法，由

9-(2x+9y)W、(2x+9y)2求解.【详解】

由2x+9y+6取=9,得6孙=9-(2x+9y),又x>0,y>0,6xy=1x2%x9y<|x^2x^9y^,

9-(2x+9>)<(2x+9>)2,BP(2x+9y)2+12(2%+9y)-108>0,解得：2x+9y26或2x+9yV-18,

31

又2x+9y>0,，2x+9y»6,当且仅当2x=9y,即时取等号.故答案为：6.

3.已知》,y>0,x+2y+xy-6=0,贝！)(多选题)

A.孙的最大值为2B.》+2y的最小值为4

C.x+V的最小值为3D.无+V的最小值为4五-3

【答案】ABD

【详解】对于A选项：由均值不等式得x+2y22小2孙,贝Ux+2y=6-孙22&,

令而=(/>0),产+2万一6V0=>卜+忘/一840,解得O<fV0，即而《血，移<2,

当且仅当x=2,y=l时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得

x+2y22也孙n芯[2)72J’2孙n2孙’又孙=6—(x+2y),

二(x+j)26—(x+2y)n(x+2»+8(尤+2y)—4820,解得x+2”4,x+2y<-12(舍),

当且仅当x=2,y=l时，等号成立，故B正确；

对于C,D选项：令x+y=m,fn>0,贝l|y=m—x,

贝|J%+2丁+呼—6=0可化为1+2(加一%)+1(加一—6=0,整理f+(l-m)x+6-2m=0,

••.此方程一定有解，•••△20,即(1一根)2-4义(6-2根)20,解得根240-3，m<-4>/2-3(舍)，故C错

误，D正确.

故选：ABD.

【题型四】以分母为主元构造型

【典例分析】

已知非负数x，》满足x+y=l,则---;+一二的最小值是（）

x+1y+2

A.3B.4C.10D.16

【答案】B

【分析】根据基本不等式，结合"1"的妙用即可得解.

19119，一、

—7+=T(z—7++1+y+2)

x+1y+24x+1y+2

【详解】由x+V=l,可得x+l+y+2=4,

」(l+9+9+3410+2心3=4

4x+1y+24\x+1y+2

当且仅当>+2=3（x+l）取等号，故选：B

【提分秘籍】

基本规律

构造分母型：

L以分母为主元构造，对于普通学生，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析

2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式2

3.变式3是三项构造，且无条件等式。

【变式演练】

一12.

1.已知且—?+—=1,贝!|%+2，一1的最小值为（）

x-1y

A.9B.10C.11D.7+2遥

【答案】A

12

【详解】Qx>l,.-.x-l>0,又>>0,且---—=1,

x-1y

♦”+2，T=［（f+2,信+；卜+茨二^5+2信

当且仅当乌一4山，解得x=4,y=3时等号成立，故x+2y-l的最小值为9.故选：A.

x-1y

〃

2.已知正数。、6满足4+b=l,则4=+h二的最小值是（）

1-a1-b

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

〃〃

【分析】得出4产+匕h=41-5,将代数式上1+：4与a+力相乘，展开后利用基本不等式可求得，4+二h

1—a1—bbaab1—a1—b

的最小值.

【详解】已知正数“、6满足“+6=1,则也+上=11^+"=&+，-5

1—a1—bbaba

4/7h

当且仅当b=2a时，等号成立，因此，产+二的最小值是4.故选：C.

1-a1-b

41

3.设…>。，则x+斗+不的最小值为（）

A.3亚B.2A/3C.4D.平

【答案】A

4ii4ii

【分析】原式可变形为x+——+——=彳（x+y）+——+4（x-y）+——，然后根据基本不等式即可求

%+yx-y\_2%+）」［2x-y

解

411411

【详解】%>y>。，:.x-y>0,:.x+-------+-------=-(x+y)+-------+-(x-y)+-------

x+yx-y|_2工+)_|[2x-y

>2H(x+)；)x-^—+2P(x-y)x-^—=2A/2+V2=3A/2,当且仅当〈(％+y)==

\2V7x+y、2'7x-y2%+y2%-y

即.逑,y=也时取等号故选：A

22

【题型五】构造分母：待定系数

【典例分析】

已知正实数X,》满足4x+3y=4,则4+的最小值为（）

2x+l3y+2

.3V21V2_1V2_1V2

A.—H-----BD.——|-----C.——|-----D.——|-----

84232322

【答案】A

【分析】

将4x+3y=4变形为含2x+l和3y+2的等式，即2（2x+l）+（3y+2）=8,再将式子换元，由基本不等式换"1"法求解即可

【详解】

由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8.令a=2x+l,b=3y+2,可得2a+b=8.

11112a+b(c2abi

所求-----------1-----------=一+—=14X

2x+l3y+2abab8\ba

+2展+）|+日当且仅寸J时取等号，所以答案冷亨.故选A

【提分秘籍】

基本规律

特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”

方法：直观凑配或者分母换元

【变式演练】

1.知正实数x、y满足」+=则尤+y的最小值为（）

x+5y2x+y

.3+2&D3+3应r2+20c2+30

5555

【答案】A

【分析】

利用待定系数法可得出x+y=U（x+3y）+2（2x+y）］,与二^+不^相乘，展开后利用基本不等式可求

5L」x+3y2%+y

得x+y的最小值.

【详解】

1

m=—

m+2n=l5

设x+y=m(x+3y)+w(2x+y)=(m+2ri)+(3m+H)y,可得

筋+e,解得2

n=一

5

(

(1113।22A-+V)

所以，％+y=|[(x+3y)+22x+y)]«-------------1-------------

x+3y2x+y~5x+3y

2(2x+y三!走.当且仅当x+3y=^（2x+y）时，等号成立,

3+2,

-Ix+3yy

因此，尤+y的最小值为三|也.故选：A.

2.已知。>0,b>Q,a+2b=l,则一—+取到最小值为

3。+46a+3b

—3+2返

【答案］—

幽+〃=1；=5

[解析】试题分析：令〃+26=4(3〃+4Z?)++3b)=(32++(42+3,

42+3//=2_2

11,11.l.,2.__31.2(。+3仞3〃+4久

------1---=--(/+/犷宁r加+枷7+二(。+3与7X层+《七育+力pl

3〃+4/?a+3b

a+2b=1

、32l2(a+3b)3a+4b—3+黄2及一，当且仅当<

2(〃+3。)3a+4b时,等号成立,

55V3a+4ba+3b

、3〃+4ba+3b

113+2y

即------1-----的最小值是——-——•

3。+4ba+3b

【题型六】分子含参型：分离分子型

【典例分析】

若4x>y>0,则+土的最小值为___________.

4x-yy

【答案】I

4

【详解］因为4x>y>0,则4x_y>0,__________

y,尤y,4-ry（4x-y+yy4x-y,1~4x-y1>,1,15

4x-yy4x-y4y4x-y4y4x-y4y4\4x-y4y4244

当且仅当4尤-y=2y,即当3y=4光时，等号成立，

因此，7匚+2的最小值为J故答案为：7-

4x-yy44

【提分秘籍】

基本规律

1.分离分子原理题，如典例分析

2.分子二次型换元分离，如变式2

3.分子二次型凑配构造分离，如变式3

【变式演练】

1.已知正实数方满足。+26=2,则口+9的最小值是（）

ab+\

971713

A.-B.-C.—D.-

4343

【答案】A

【分析】根据已知等式把代数式=+型进行变形为工+五J；,再结合已知等式，利用基本不等式进

ab+1a2（6+1）

行求解即可.

-、a2+l2bz126(6+1)-2(b+l)+21,2^

【详解】----+——=«+-+—-——-~-——--=a+-+2b+--------2,因为a+2Z?=2,

ab+1ab+1ab+1

,,a2+l2b-1214

所er以----+----=—+----=—+------，因为a+2b=2,所以a+2S+l)=4,

ab+1ab+1a2(b+1)

因此;x4d+57^]=%[a+2S+l)]/+:^;]=J[5+^±^+57^],

4a2s+1)4a2(b+1)4a2s+1)

因为.是正实数’所以5+券2+肃^%5+2.14。

2(5+1)

41

时取等号，即时取等号，即。=；*=；时取等号），故选：A

Y22V2

2.若…且x+2y=l,则3+W的最小值为

【答案】|

0

丫2y21o

【分析】令加=x+L〃=y+2,可得m+2〃=6,化简可得三+左丁上+2-4,再结合基本不等式可求解.

x+1y+2mn

【详解】令机=%+l，〃=y+2,则％=加一1,丁=〃-2,贝ijx+2y=m-1+2(〃-2)=1,即根+2〃=6,

则£+-=(^+2("以=机+2〃+4曰_10=_1+“4=：化+§](加+2〃)一4

x+1y+2mnmnmn6\mnJ

2n8m1f/2n8m1rl1、“n『2〃8m612._

-7-----h—+17-4>—2j-----------H17-4zt=—,当且仅当一二—,即nrlm==,〃=-^-时等号a成乂，

m〃/6(Vmn)6mn55

故*7+^^的最小值为:•故答案为：:.

x+1y+266

3.若正实数x,y满足2x+y=2,则4,y2的最小值是.

-----+——

y+121+2

4

【答案】y

声2x+v-2m..4x2,y2(2_»(2_2x『

【蟀桁】根据题意，西XX+〉一/,UILI------+-------=------------1--............-

V4-12x4-21y+12(x4-1)

[―了[(x+l)-2了2J6V16八

----------------------F工+--------------9;又由

y+1x+1-v+12(x+l)v+12(x+D

,、,、22、(

Axv,9162x+2)+(:v+l)

2x+y=2,5UJ有2(x+l)+(、+D=5，贝!J——+—^~-=(-----+—-----T-)-----------：~~----------9

y+12x+2v+12(x+l)5

.(]6+9+^^+^b-9$25+27；当且仅当

5y+1x+15\y+1x+15

y+l=2(x+l)=4时,等等成立；即土J+J、的最小值是:，故答妄为之.

2v+12x4-255

【题型七】反解代入型:消元法

【典例分析】

113

已知正数明〃满足上+；=2,则1・一。的最大值为______.

abb+l

［答案］三回

3

［3=3=3(2G-1)

［详角军］由上+［=2,得6=4，由。＞0,6＞0,得a＞9所以商一"a

ab2(2-12------+1

2a—1

=1」+(”94-2昌•(曰=^1^，当且仅当占=。一(，即”=告叵时等号成立，、

33a-133\3a-l333a-133

所以工-。的最大值为三怨.故答案为：乏2叵.

6+133

【提分秘籍】

基本规律

条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。

【变式演练】

2m

1.已知相>1,心0,且“+2〃=3加，贝!)7+h的最小值为()

m—14n

993

A.—B.—C.-D.2

422

【答案】A

2m21

【分析】由已知得2〃=3机一机2>o,所以;+-=7+/v记々=加-1/=3一根，可得

m—i4〃m—Y2p—mJ

9m9bti

f+F=J+2+三，然后利用基本不等式可得答案.

m—14〃4a4。

【详解】因为苏+2〃=36，所以2〃=3机—机2,因为nX),加＞1,所以2〃=3机—机？＞。，得1＜相＜3,

2m2TTI21

所以病+而=石+2(3〃一//)=启+^^5,记。=，"1,6=3-根，所以a+八加一1+3-切=2,

2m__2___।-----1---=_2_।--1-=.,a+ba+b9ba

所以与=1,且。＞。…,所以吁1+小+=—+—+——

m-12(3-m)a2ba4b4a4b

当且仅当詈=2即6=W等号成立，此时〃二，_7,

4\4ba44ba333〃----~~

31

2.若正数。，6满足a+Z?+2=a〃，则-+--；的最小值是_____,此时〃=_______.

a-1b-1

【答案】22

【分析】先由。+%+2="求出。=雪，再根据基本不等式求解即可.

b-1

A2A_|_2

解：a+b+2=ab,:.b+2=ab—a,a=,因为a>0、b>0,所以■;>0,HP&>1

Z?-lb-1

313131〃1、1c1八八I-

+=++=-

•••^rn^23^i=7^2RO^r，

b—lb—\

即告3+占.I.2,当且仅当6-1==I，即卜=2时取等号，故答案为：2；2.

a-1b-\b-l

3.若正实数x，y满足一+―+—=4,贝!|x+—+一的最小值为__________.

xyyxy

【答案】2^-1

【详解】由'+'+±=4且x,y>。知：>=军士?，

Xyy4.X-1

%+-+-=%+-+4%-1=x~+x+5=x+l+—--122/。+1).工-1=2式-1当且仅当工+1=工时等

xyxx(x+l)x+1x+1Vx+1x+1

号成立，即工=石-1时等号成立.故答案为：2后-1

【题型八】因式分解型

【典例分析】

非负实数无，》满足2孙+x+6y-6=0,贝！］x+2y的最小值为.

【答案】2

【分析】根据题意化简得1+3)(2y+1)=9，结合基本不等式求得(％+2卜+”>9,即可求得尤+2y的最小值.

4

【详解】由题意，非负实数羽,满足2孙+x+6y-6=0,可得(x+3)(2y+l)=9,

又由5+3)(2了+1)4仁+3；2丫+1)2=5+2：+4)2,当且仅当》+3=2y+l,即x=0,y=1时等号成立，

所以(x+2y+4/29,ap(x+2y+4)2>36,所以x+2y+4N6或x+2y+44-6,所以x+2yN2,

4

即x=0,y=l时，％+2y的最小值为2.故答案为：2.

【提分秘籍】

基本规律

特征：条件式子复杂，一般有一次和二次(因式分解展开就是一次和二次)，可能就符合因式分解原理

【变式演练】

1.已知a,beR+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,则3a+4》的最小值等于.

【答案】66-1

[详解]eR+,且(Q+b)(Q+2/?)+Q+b=9,即有(“+力(〃+2b+D=9,

即(2a+2b)(〃+2b+l)=18,可得

3〃+4Z?+l=(2a+2Z?)+(〃+2b+l)>2,(2“+21)(〃+2Z?+1)=6/

当且仅当2a+®=a+2Z?+l时，上式取得等号，即有3a+46的最小值为6拒—1.故答案为：672-1

2.已知x>0,y>0,且2x+4y+孙=1,则x+2y的最小值是__.

【答案】6A/2-8

【解析】原式可变形为(x+4)(，+2)=9,两边同时乘以2,得(x+4)(2y+4)=18,所以

30=J(x+4)(2y+4)w2+7+8,即*+2丫、60—8,当且仅当，时等号成立。

2[(x+4)(2y+4)=18

填6夜-8。

3.已知a,beR+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,贝!]3a+4b的最小值等于.

【答案】6V2-1

【详解】a,bGR+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,即有(a+b)(a+2b+1)=9,

即C2CL+2b)(CL+2b+1)—18,可得3a+4b+1—12a+2b)+(CL+2b+1)>

2j(2a+2b)(a+2b+l)=6或，

当且仅当2a+2b=a+26+1时，上式取得等号，即有3a+46的最小值为6位—1.故答案为：6^2-1

【题型九】均值用两次

【典例分析】

〃也'是不同时为。的实数,则右上的最大值为（

)

1「V2

AB.-•--D.上

-I422

【答案】A

【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

ab+bca+ca+ca+c

----------=----------«——

【详解】因为a,6均为正实数，则"+2〃+c2式±《+26-2a2+c2212(/+02)

-x2Z?

b

a?+2ac+，1/Iac」11ac

+22+22

22(a2+c22\26/+C~2p24axc2

22

当且仅当巴士=2心，且a=c取等，即a=b=c取等号,

b

即则的最大值为;,故选：A.

a+2b+c2

【提分秘籍】

基本规律

两次均值，逐次消去，取等条件一致

【变式演练】

14x2V2

1.设正实数X,y满足x>5，y>l,不等式户+丁12加恒成立，则机的最大值为()A.8

B.16C.2&D.472

【详解】.A

设y—1="2工一1=a,则y=b+l仅>0),x=g(a+l)(a>0)

所以至+^L=(a+1>।伍+1『:2("1)e+1)=2加(。+>+1

y-12x-lba4ab4ab

=2心+二+*/2斯；+理］=2.(2+2)=8

ITab<ab)('<ab7ab,

4r2y2

当且仅当a=b=1即％=2,y=1时取等号所以--+-2―的最小值是8,则机的最大值为8.故选A

y-12x-l

2.已知。>0,b>0,则>+"二3的最小值为_________.

〃2b

【答案】2

【分析】由〃2+1224万+222后可得答案.

【详解】因为Q>0,b>0,所以a+122〃/+2N2J2Z?,-----『—=-----『——>-----『—=2,

a+y/2ba+-j2ba+72b

当且仅当“=1,6=加时等号成立，所以"一卡臂3最小值为2.故答案为:2.

a+72b

3.已知正实数〃，b,c满足。2+4廿=302,则£+白的最小值为____.

a2b

【答案】巫

3

4

1

【详解】因为3c2=〃+4〃之4a"BPc>-abf所以