2023-2024学年江苏省南京市高一年级上册期中数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南京市高一上册期中数学试题

一、单选题

1.设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则图中阴影部分表示的集合为

A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}

【正确答案】B

【详解】试题分析：由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为©B）cA且G/={1,5,6}

,A={1,2}

所以（QB）cA={l}故选B.

1、集合的交集、并集、补集运算：2、韦恩图表示集合.

【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易

题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言（QB）CA,再进行集合的补集，交集

运算.本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案.

2.下列函数中，在区间（0,2）是增函数的是（）

A.y=-x+lB.y=x2-4x+5C.y=4xD.>=-

【正确答案】C

【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、基函数在区间（0,2）上的单调性即可

得到结果.

【详解】y=-x+l、y=xJ4x+5、y=g在区间（o,2）是减函数，

y=&在区间（0,2）是增函数.

故选C.

一次函数的单调性判断：y=kx+b（k^0）,当k>0时在R上递增，当々<0时在R上递减；

二次函数的单调性判断：y=cvc+bx+c{a^（S）,当a>0时在18,一5）上递减，在

（一品+8）上递增；当a<0时在卜8,-5）上递增，在（一/+刃）上递减.

3.已知集合厶={。+1,/+4a—9,2021},若-4eA,则实数。的值为（）.

A.-5B.1C.5或TD.-5或1

【正确答案】B

【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出”的值.

【详解】A=|«+l,a2+4«-9,20211,且TwA,.,.Y=a+1或7=巒+44-9

⑴、当-4=/+4a-9即。=一5或a=l,

①、当°=一5时，a+l=-4,巒+4“_9=-4,此时A={T,T,2021},不满足集合元素的互

异性，故舍去；

②、当。=1时，a+1=2,a2+46/-9=-4,此时A={2,-4,2021},符合题意；

⑵、当a+i=_4即。=-5时，此时A={-4,-4,2021},不满足集合元素的互异性，故舍去；

综上所述：实数〃的值为1.

故选：B

4.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问

题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无

字证明现有如下图形：AB是半圆。的直径，点O在半圆周上，CD丄居于点C,设AT>=a,

BD=b,直接通过比较线段。。与线段8的长度可以完成的“无字证明”为（）

〉a+b

A.cr+b2>2abB.

2ab

C.-a-<>[aba>0b>0D.>4ciba>0Z?>0

a+b2

【正确答案】A

【分析】易得828,再分别用AO,89的表达式表达28再化简即可

【详解】易得ODNCD,又。。=丝=鱼土忙，又1心3。=丄4"8,故

2222

ADBDab故年"帰'化简得巒+八2"

CD=

AB\la2+b2

故选：A

本题主要考查了几何法证明基本不等式，属于基础题

5.已知函数f(x)=x，-2x+2,xe(-2,2),函数/(x)的值域为()

A.(2,10)B.[1,2)

C.[2,10]D.[1,10)

【正确答案】D

【分析】利用二次函数的基本性质可求得函数/(X)的值域.

【详解】当xe(-2,2)时，-3<x-l<l,贝IJ/(x)=x2-2x+2=(x-l)2+le[l/0).

故选：D.

6.设集合"={R04xM2},N={Y04yM3}.下列四个图象中能表示从集合M到集合N

的函数关系的有()

A.3个B.2个C.1个D.0个

【正确答案】B

【分析】根据函数的定义判断.

【详解】A中2中的x没有对应的象，不符合；B符合函数定义，C也符合函数定

义，D中对于0<xW2的x有两个象与之对应，不符合.所以有2个满足.

故选：B.

7.已知命题p：Vxe/?,x'+x+awO,若命题p是假命题，则实数“的取值范围是()

A.卜B.上依

C.或a>0}D.或”2:0}

【正确答案】A

【分析】根据题意，分析可得若命题p：VxeR,f+x+”0为假，则方程Y+x+a4有

解，结合二次方程的性质可得力为真命题时。的取值范围，可得答案.

【详解】根据题意，若命题p：VxeR,f+x+"0为假，则力为真命题

方程/+x+a=0有解，

，A=l-4«>0,

解得：

4

故选：A.

8.设函数则满足/。+1)<〃2尤)的x的取值范围是()

A.(—00>—~]B,(-(x>,—)

C.(—,0)D.(—>+00)

22

【正确答案】B

【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式f(x+l)<〃2x)求其解.

【详解】：/(x)

[1,X>1

(2-x,x<\

/(x)=,|,

[1,X>1

当x+141且2x41时，不等式F(x+l)</(2x)可化为2-x—l<2-2x,

二x<0,

当x+141且2x>l时，不等式f(x+l)<〃2x)可化为2-x-1<1,

满足条件的x不存在，

当x+1>1且2x>1时，不等式/(x+1)</(2x)可化为|<1,

，满足条件的x不存在，

当x+l>l且2xVl时，不等式f(x+l)</(2x)可化为l<2-2x,

...满足/（X+D</（2x）的X的取值范围是（F,g）,

故选：B.

二、多选题

9.已知a>6,c>d,则下列不等关系正确的是（）

A.ac2>be2B.a'〉//

C.—<7-D.a-d>b-c

ab

【正确答案】BD

【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.

【详解】A：当c=0时，显然不成立，所以本选项不正确；

B：因为a>b,所以。*—/=（a+a。+）=（。一b）[（a4—by+—b~]>0,

24

即/>庁，所以本选项正确；

C：若。=0,显然丄没有意义，所以本选项不正确；

a

D：因为c>d,所以而“>〃，所以-c,因此本选项正确，

故选：BD

10.下面命题为真命题的是（）

A.设a,6e/?,则“a片0”是“必二0”的既不充分也不必要条件

B."ac<0"是"二次方程渡+/?x+c=o有一正根一负根”的充要条件

C.“加=2”是“屈=｛乂32+（加+2卜+2=0｝为单元素集”的充分而不必要条件

D.“a>1”是“丄<1”的充分不必要条件

a

【正确答案】BCD

【分析】A由必70,则0,6都不为0则可判断命题；B结合韦达定理即可判断命题；C根

据方程根的个数求出参数即可判断；D结合不等式的性质以及解分式不等式即可判断.

【详解】A若awO,b=0,则"=0；若洋中0,则。泊都不为0,则“。/0”是“而*0”的

必要不充分条件；故A为假命题；

B若二次方程以2+法+c=o有一正根一负根，则两根之积为负，即一＜0,从而及＜0,故

a

“的＜0”是“二次方程如2+瓜+0=0有一正根一负根”的必要条件，

若ac＜0,则♦=〃-4ac＞0,£＜0,即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程

a

or?+fer+c=0有一正根一负根，故"or＜0"是"二次方程以2+fer+c=0有一正根一负根”的

充分条件，综上“収＜0”是“二次方程62+"+c=0有一正根一负根”的充要条件，故B为真

命题；

C因为M={x|*+（利+2）x+2=0}为单元素集，若m=0,则”={-1}符合题意；若相片0,

则△=（机+2/-8/＞J=0，则〃?=2,则M={-1}符合题意；综上：M=|x|/7ir2+（〃?+2）x+2=0}

为单元素集，则加=0或2,因此“加=2”是“知={力加+（加+2）N+2=0}为单元素集”的充

分而不必要条件，故C是真命题；

D因为。＞1,所以丄-1=匕纟＜0,但是若丄＜1,贝或。＜0,则“a＞l”是“丄＜1”的充

aaaa

分不必要条件，故D是真命题，

故选：BCD.

11.下列函数〃x）中，满足对任意不，/«1,田），有＜0的是（）

"百X]）一：%"2々）

13

A../（X）=-2（X-1）2-2B./（%）=--

1-X

c./（x）=l+1D./（x）=|x-4|

【正确答案】AC

由题意可得只需满足函数在区间（1，转）上单调递减即可.

【详解】对任意王，々€（1，m），有一’⑷＜0,

x\~xi

则函数在区间（1，”）上为减函数，

对于A,/（X）=-2（X-1）2-2,由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A可选；

,3

对于B,f{x}=—,根据幕函数的性质，函数在区间。,m）上为增函数，故B不可选；

I-X

对于c,〃x）=l+J,函数在区间（l,y）上为减函数，故C可选；

x—4x24

'一，显然函数在区间（1,位）上不是单调函数，故D不可

{■-I,人•

选;

故选：AC.

关键点睛：熟记二次函数的图像与性质、幕函数的单调性、分段函数的单调性是解题的关键.

12.已知a>0,b>0,且a+2b=1,则下列说法正确的是（）

A.标+戸的最小值为:B.M的最大值为:

58

1A11—

C.j"的最大值为7D.—7的最小值为4V5

a+b3ab

【正确答案】AB

【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.

【详解】解：对于A：由。>0,b>0,a+2Z?=l,则。=1一2人，

[1-2/?>01

所以厶A，解得0<人<彳，

仍>02

所以=(1_%)2+/=5从_46+]=5(6-|)+1,

2]

所以当〃=：时，片+从有最小值点，故A正确.

对于B：由。>0,Z?>0,\=a+2h>lyjlab,即。人工：，当且仅当。=2&,即。=彳，/?=—

824

时等号成立，

所以油的最大值是：，故B正确；

fl-2/?>01

对于C：由。>0,Z?>0,a+2b=\,贝lja=l—26,所以八，解得0<厶<一,

\h>02

11-1,11

所以---＞因为0＜b＜「，所以一1＜力一1＜一；,

a+b1一2"。b-\22

1-11

所以一2＜丁匚＜—1,所以1〈丁二＜2,ER1＜--＜2,故C错误；

h-\b-\a+b

NT、11a+2ba+2b,2b*a._12ba.、a

ababab\ab

当且仅当弓=£,即方=三巨，〃=应_1时取等号，故D错误；

故选：AB

三、填空题

Jx—3

13.函数=的定义域为__________

|x+l|-5

【正确答案】［3,4）U（4,M）

利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.

fx-3>0

【详解】要使函数有意义，贝U解得x±3且xw4.

故［3,4）（4,+oo）

本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.

14.若函数〃2X+1）=X2-2X,则〃3）=.

【正确答案】-1

【分析】利用换元法求出/（x）的解析式，代入数字即可求解.

【详解】f（2x+1）=x2-2x,

..•令/=2x+1,则x=-----»

2

-2X3J-&+5

x-6x+5

即/(x)=

32-6X3+5

故答案为.-1

15.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了

当务之急，数学家约翰・纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了

对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a〃=N=6=log.N,现已知。=1唯36,

2〃=36贝丄+x3工=.

【正确答案】2后

i?-

由题b=log236=21og26,分别化简丄+的值代入即可.

ab

【详解】因为2'=36,所以〃=log236=21og26,

1212

+

所以一+工=1~~7Vi~~-=log63+log62=l,

ahlog3621og26

In6

a嗎62h^In2J^iL

21og61^2i^32°g3x32

3b=32=3=3=3=353呪=6x2=26

所以+^]x3^=1x26=2后.

故答案为.2有

本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.

21

16.已知：X>},y>0,--+-=1,且恒成立，则。的取值范围是_________.

x-1y

【正确答案】“<4+2竝

【分析】由x+y=(x-i+y)+i,结合已知等式及基本不等式“1”的代换求x+y的最小值，

注意等号成立条件是否满足，进而由不等式恒成立确定。的取值范围.

【详解】由题设，x-l>o,y>0,

x+y=(x-l+y)+l=(x-l++—)+1=(3+~-)+1>4+2,±1

x-1yx-1y^x-1y

=4+2及，当且仅当0y=x-l时等号成立，

二要使x+y>”恒成立，只需a<4+2&.

故答案为.“<4+2&

四、解答题

17.计算：

丄1

⑴J；)+(L5厂

⑵lgg+1g20-/2+log.9Jog,8

47

【正确答案】(1)-2

(2)1

【分析】（1）利用分数指数‘僵化简求值即可；（2）利用对数运算性质及换底公式进行化简即

可.

丄1

阊--(-9.6)。-国3+(1.5尸

【详解】（1）

3,94

=—1-----1—

249

_47

--36-

ln2

(2)lg^+lg20-e+log89-log,8

ln2

=lg2-'+lg(2xl0)-e+^|i|.log38

=-1g2+lg2+1-2+log39

=I—2+2=1.

18.解下列不等式：

(1)4X2-4X+1>0;

(2)X2-6X+9<0;

(3)—%2+2x—3>0;

(4)(x+2)(x-3)<6.

【正确答案】(i){xix*m

⑵{x|x=3}

⑶0

(4){X|-3<X<4)

【分析】（1）配方法求解即可；

（2）配方法求解即可；

（3）先看判别式正负，确定有没有解;

（4）因式分解即可求解.

【详解】(1)4/一4x+l>0,

(21『>0,

解得

所以解集为：｛x|xw；｝

(2)x2-6x+9<0,

(X-3)2<0,

解得.x=3

所以解集为：｛x|x=3｝

(3)—x2+2x-3>0,

A=22-4X(-1)X(-3)=-8<0,

所以方程无解，解集为0.

所以解集为：0

(4)(x+2)(x-3)<6,

(x+3)(x-4)<0,

解得.-3<x<4

所以解集为：｛x|-3<x<4｝

19.已知集合厶=｛吊^^<():,8=｛耳2_帆<》<，"+1｝

(1)当机=2时求AcB,(aA)u8;

(2)若AuB=A,求实数机的取值范围.

【正确答案】(1乂“。<2｝：｛小4—1或X>0｝

(2)/M£1

【分析】(1)把集合A8化简再求解.

(2)根据题意得到B=然后根据3=0和BH0两种情况讨论.

【详解】⑴=40=卜一2)小+1)40=_142

x+1x+lwO

A=1x|-1<x<2},当,〃=2时8={x[O<x<3},

所以ACB={M-1<X42}C{X[0<:X<3}={X[0<X42}

4厶={小4-1或x>2},

所以低A)u8={x|x4-1或x>2}u{x[0<x<3}

={小4-1或x>0}

(2)A<JB=A:.B^A

当5=0时满足2-2,〃+145满足B右A；

1f1

m>-m>—

221

当8x0时满足《2-加2-1=>4%43=x>—<z?i<l

2

m+\<2m<\

综上：，“£1

20.现有三个条件：①对任意的xeR都有/(x+D-/(x)=2x-2；②不等式/(x)<0的解集

为{x[l<x<2}；③函数y=/(x)的图象过点(3,2).请你在上述三个条件中任选两个补充到下

面的问题中，并求解(请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置)

已知二次函数，(x)=or2+/>x+c,且满足(填所选条件的序号).

⑴求函数〃x)的解析式；

(2)已知g(x)=x-l,若存在x使y=/(x)的图象在y=g(x)图象的上方，求满足条件的实数

x的取值范围.

【正确答案】(l)/(x)=d-3x+2

(2)(-00,1)1(3,+00)

【分析】(1)条件①：由/(》+1)-/(无)=2x—2可得“涉；条件②：由八幻<0的解集得aec

的关系：条件③：尸/⑶的图象过点(3,2)得9a+3b+c=2.

选择条件①②：由。为可得/(x);选择条件①③：由。,加c关系可得/(幻；选择条件②③：

由a,。,c关系可得/(x).

(2)由y=/(x)的图象在y=g(x)图象的上方得f-3x+2>x-l,解不等式可得答案.

【详解】(1)条件①；H^3/(X)=ax2+bx+c(a*0),

22

所以/(x+1)-/(x)=a(x+1)+b(x+1)+c-(or+for+c)=2ax+a+h=2x-29

2(〃-1)=0a=1

即2(a-l)x+a+8+2=0对任意的x恒成立，所以a=-2，解・得

+bb=-3

a>0

a>0

条件②：因为不等式〃幻<0的解集为&|l<x<2},所以■--=3,B|J-b=-3a.

a

c=2a

-=2

a

条件③：函数了=/*)的图象过点(3,2),所以9a+3b+c=2.

选择条件①②:a-l,Z?=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2；

a=1

选择条件①③：,〃=一3,贝lJ〃=l,Z?=-3,c=2,止匕时/(x)=f—3x+2；

9。+3。+。=2

。>0

x-xb=-3a.

选择条件②③：\。,则〃=1,〃=-3,c=2,此时/(x)=f-3x+2.

c=2a

9a+3b+c=2

(2)由题知因为存在x使y=fM的图象在y=g(x)图象的上方，

所以f_3x+2>x-l,

解得(3,叱).

21.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位

在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化

工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处

理量X(吨)之间的函数关系可近似的表示为y=:x2-200x+80000，且处理每吨二氧化碳

得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多

少元才能使单位不亏损？

【正确答案】(1)400吨；

(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.

【分析】(1)由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为上，应用基本不等式求其最小值，注

X

意等号成立条件.

(2)根据获利S=100x-y,结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴

额度.

【详解】(1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为

y180000…H~~80000……

—=-xH-----------200>2j—x-------------200=200；

x2xV2x

当且仅当!吧，即x=400时等号成立，

故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.

(2)不获利，设该单位每个月获利为S元，则

22

S=100x-y=100x-QY_200%+80000)=-1x+300x-80000=-1(%-300)-35000,

因为xe[400,600],贝I]Se[-80000,Y0000],

故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴4000()元才能不亏损.

22.对于