2023届山西省（大同）重点名校中考数学模拟试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.一次函数弘=履+人与％=x+〃的图象如图所示，给出下列结论：①k<0；②a>0；③当x<3时，％<%•

其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.一次函数yi=kx+l-2k（kRO）的图象记作Gi,一次函数yz=2x+3（-l<x<2）的图象记作G2,对于这两个图

象，有以下几种说法：

①当Gi与G2有公共点时，yi随x增大而减小；

②当G,与G2没有公共点时，y,随x增大而增大；

③当k=2时，Gi与G2平行，且平行线之间的距离为.

:•二

下列选项中，描述准确的是（）

A.①②正确，③错误B.①③正确，②错误

C.②③正确，①错误D.①②③都正确

3.在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）

［确"—M杷反4t卜-Tx21~d3,-干才出

4.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量）（单位：加3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0<x490）近

似满足函数关系y=ax2+bx+c（a邦）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量》的三组数据，根

据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

5.下列代数运算正确的是（）

A.（x+1）2=x2+lB.（x3）2=xsC.（2x）2=2x2D.x3*x2==x5

6.如图，AABC中，DE垂直平分AC交AB于E,/A=30。，NACB=80。，则/BCE等于（）

c

济EB

A.40°B.70°C.60°D.50°

7.如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2,设弦AP的长为x,△APO的面积为y,则下列

图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

A.B.C.D.

8.函数二二的自变量x的取值范围是（）

A.x>lB,x<lC,x<1D.x>l

9.如图，点E在ADBC的边DB上，点A在ADBC内部，ZDAE=ZBAC=90。，AD=AE,AB=AC.给出下列结论:

®BD=CE；®ZABD+ZECB=45°；®BD±CE；④BE1=1（AD^AB1）-CI其中正确的是（）

D

A

C

A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④

10.如图1,点尸从AABC的顶点A出发，沿A-5-C匀速运动，到点C停止运动.点尸运动时，线段AP的长度y

与运动时间x的函数关系如图2所示，其中。为曲线部分的最低点，则AA3c的面积是（）

A.10B.12C.20D.24

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.因式分解：rr^n—An=♦

12.如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=K（x<0）的图象上，顶点B,C在x轴上，对角线AC的延

x

长线交y轴于点E,连接BE,△BCE的面积是6,则1<=

13.如果2（a+x）=/?+x,那么=（用向量”，匕表示向量x）.

14.已知关于x的二次函数y=x2-2x-2,当aWxWa+2时，函数有最大值1,则a的值为.

15.如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在黑色区域的概

16.如图，）。的半径为3,点A,B,C,。都在。上，ZAOB=30°,将扇形AO3绕点。顺时针旋转120。后

恰好与扇形COO重合，则AO的长为.（结果保留万）

17.因式分解：9a2-12a+4=.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，点—是线段—的中点，—।—9———・求证：—_—.

AE

BCD

19.（5分）关于x的一元二次方程mx2+（3m-2）x-6=1.

（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根;

（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数.

14x2

20.（8分）解方程:-------1-^-------------=1

x+2x~—4x—2

21.（10分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为4）、白鹿原（记为8）、兴庆公园（记为C）、秦

岭国家植物园（记为中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同.

（1）求小明选择去白鹿原游玩的概率；

（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率.

22.（10分）如图，半圆。的直径AB=4,线段。4=7,。为原点，点3在数轴的正半轴上运动，点8在数轴上所表

示的数为如当半圆。与数轴相切时，m=.半圆。与数轴有两个公共点，设另一个公共点是C.

①直接写出m的取值范围是.

②当5c=2时，求△A05与半圆O的公共部分的面积.当AA05的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求

tanZAOB的值.

23.（12分）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45。，在楼顶C

测得塔顶A的仰角36。52，.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.（参考数据:

sin36052M).60,tan36°52r-0.75)

24.（14分）主题班会上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：

A.放下自我，彼此尊重；B.放下利益，彼此平衡；

C.放下性格，彼此成就；D.合理竞争，合作双赢.

要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟.根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图

表中提供的信息，解答下列问题：

观点频数频率

Aa0.2

B12」0.24

C8b

D200.4

（1）参加本次讨论的学生共有人；表中,b=，—；

（2）在扇形统计图中，求。所在扇形的圆心角的度数；

（3）现准备从A,B,C,。四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点。（合理竞

争，合作双赢）的概率.

9L

L4ftt___«.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【解析】

仔细观察图象，①k的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a,b看yz=x+a,y尸kx+b与y轴的交点坐标；③看

两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大.

【详解】

①•.、户kx+b的图象从左向右呈下降趋势，

k<0正确；

②：y2=x+a,与y轴的交点在负半轴上，

.,.a<0,故②错误；

③当x<3时，yi>y2错误；

故正确的判断是①.

故选B.

【点睛】

本题考查一次函数性质的应用.正确理解一次函数的解析式：y=kx+b(k#))y随x的变化趋势：当k>0时，y随x

的增大而增大；当kVO时，y随x的增大而减小.

2、D

【解析】

画图，找出G2的临界点，以及Gi的临界直线，分析出Gi过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数

图象逐个选项分析即可解答.

【详解】

解：一次函数yz=2x+3(-l<x<2)的函数值随x的增大而增大，如图所示，

N(-1,2),Q(2,7)为G2的两个临界点，

易知一次函数yi=kx+l-2k(k/))的图象过定点M(2,1),

直线MN与直线MQ为Gi与G2有公共点的两条临界直线，从而当Gi与G2有公共点时，力随x增大而减小：故①正

确；

当Gi与G2没有公共点时，分三种情况：

一是直线MN,但此时k=0,不符合要求；

二是直线MQ,但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；

三是当k>0时，此时yi随x增大而增大，符合题意，故②正确；

当k=2时，Gi与G2平行正确，过点M作MP_LNQ,则MN=3,由y2=2x+3,且MN〃x轴，可知，tanZPNM=2,

；.PM=2PN,

由勾股定理得：PN2+PM2=MN2

二(2PN)2+(PN)2=9,

•・PN!

J

；.PM=_

fT

T

故③正确.

综上，故选：D.

【点睛】

本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大.

3、D

【解析】

先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可.

【详解】

由题意知，函数关系为一次函数y=-lx+4,由k=-lVO可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4,

当y=0时,x=l.

故选D.

【点睛】

本题考查学生对计算程序及函数性质的理解.根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=-lx+4,

然后根据一次函数的图象的性质求解.

4、C

【解析】

根据已知三点和近似满足函数关系广〃/+次+以存0）可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选

择答案.

【详解】

解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，

...旋钮的旋转角度x在36。和54。之间，约为41C时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.

故选：C,

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.

综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点.

5、D

【解析】

分别根据同底数幕的乘法、累的乘方与积的乘方、完全平方公式进行逐一计算即可.

【详解】

解：A.(x+1)2=x2+2x+l,故A错误；

B.(x3)Y,故B错误；

C.(2x)2=4x2,故C错误.

D.x3»x2=x5,^D正确.

故本题选D.

【点睛】

本题考查的是同底数塞的乘法、幕的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握他们的定义是解题的关键.

6、D

【解析】

根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,推出NA=NACE=30。，代入/BCE=NACB-NACE求出即可.

【详解】

■:DE垂直平分AC交AB于E,

.,.AE=CE,

/.ZA=ZACE,

VZA=30°,

:.ZACE=30°,

VZACB=80°,

:.ZBCE=ZACB-ZACE=50°,

故选D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

等.

7、A»

【解析】如图，•••根据三角形面积公式，当一边OA固定时，它边上的高最大时，三角形面积最大，

...当PO_LAO,即PO为三角形OA边上的高时，AAPO的面积y最大。

此时，由AB=2,根据勾股定理，得弦AP=X=V5。

二当x=夜时，AAPO的面积y最大，最大面积为y=g。从而可排除B,D选项。

又•••当AP=x=l时，AAPO为等边三角形，它的面积丫=火>上,

44

,此时，点(1,组)应在y=上的一半上方，从而可排除C选项。

42

故选A。

8、C

【解析】

试题分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.

试题解析：根据题意得：1-xNO,

解得：x<l.

故选C.

考点：函数自变量的取值范围.

9、A

【解析】

分析：只要证明△DAB04EAC,利用全等三角形的性质即可一一判断；

详解：VZDAE=ZBAC=90°,

:.ZDAB=ZEAC

VAD=AE,AB=AC,

/.△DAB^AEAC,

.♦.BD=CE,NABD=NECA,故①正确，

:.ZABD+ZECB=ZECA+ZECB=ZACB=45°,故②正确，

,.,ZECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=450+45°=90°,

AZCEB=90°,即CEJLBD,故③正确，

.,.BE^BC'-EC^IAB1-(CD^DE1)=1AB1-CD'+1AD1=1(AD^AB1)-CD1.故④正确，

故选A.

点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三

角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

10、B

【解析】

过点A作AMLBC于点M,由题意可知当点P运动到点M时，AP最小，此时长为4,

观察图象可知AB=AC=5,

，BM=7AB2-AM2=3，BC=2BM=6,

SAABC=—BC么M=12,

2

故选B.

B；T厂(

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据已知和图象能确定出AB、AC的长，以及点P运动到与BC垂直时最

短是解题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、n(m+2)(m-2)

【解析】

先提取公因式n,再利用平方差公式分解即可.

【详解】

m2n-4n=n(m2-4)=n(m+2)(m-2)..

故答案为n(m+2)(m-2).

【点睛】

本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键

12、-1

【解析】

先设D(a,b),得出CO=-a,CD=AB=b,k=ab,再根据△BCE的面积是6,得出BCxOE=L最后根据AB〃OE,

得出些=丝，即BC・EO=AB・CO,求得ab的值即可.

OCE0

【详解】

设D(a,b),则CO=-a,CD=AB=b,

k

•:矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=—(x<0)的图象上，

x

・・k=abf

VABCE的面积是6,

A-xBCxOE=6,即BCxOE=l,

VAB/7OE,

——=——，即BC»EO=AB«CO,

OCE0

l=bx(-a),即ab=-l,

/•k=-l,

故答案为-1.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核

学生分析问题，解决问题的能力.解题的关键是将小BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方

法.

13、h-2a

【解析】

+x)=b++2x=0+x,,x=〃-2。,

故答案为b—2a-

点睛:本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.

14、-1或1

【解析】

利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=l时x的值，结合当aSxSa+2时函数有最大值1,即可得出关于a的一元

一次方程，解之即可得出结论.

【详解】

解：当y=l时,x2-2x-2=l,

解得：xi=-LX2=3,

•••当aWxWa+2时，函数有最大值1,

/.a=-l或a+2=3,即a=l.

故答案为-1或1.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=l时x的

值是解题的关键.

1

15、-

2

【解析】

根据几何概率的求法：球落在黑色区域的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值.

【详解】

解：由图可知黑色区域与白色区域的面积相等，故球落在黑色区域的概率是「一=L.

1+12

【点睛】

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算

阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率.

5

16>—71.

2

【解析】

根据题意先利用旋转的性质得到NBOD=120。，则NAOD=150。，然后根据弧长公式计算即可.

【详解】

解：:•扇形AOB绕点O顺时针旋转120。后恰好与扇形COD重合，

.,.ZBOD=120°,

.,.ZAOD=ZAOB+ZBOD=30°+120°=150°,

,,..150•万-35

••AD的长=--------=一万.

八”1802

故答案为

2

【点睛】

n,兀♦R

本题考查了弧长的计算及旋转的性质，掌握弧长公式1=^^（弧长为L圆心角度数为n,圆的半径为R）是解题

180

的关键.

17、（3a-1）1

【解析】

直接利用完全平方公式分解因式得出答案.

【详解】

9a'-lla+4=（3a-l））.

故答案是：（3a-1）

【点睛】

考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、详见解析

【解析】

利用----证明-------二-------即可解决问题.

【详解】

证明：•.•二是线段二二的中点

•——I-

」匚I

*,•□0=none

在—和——中,

二二=二二

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型.

二2一

19、(1)m,l且;(2)m=-l或m=-2.

【解析】

(1)由方程有两个不相等的实数根，可得A>1,列出关于m的不等式解之可得答案；

2

解方程，得:,由为整数，且方程的两个根均为负整数可得的值.

(2)x,=—,X2=-3mm

m

【详解】

解:⑴△=b2-4ac=(3m-2)2+24m=(3m+2)2>1

2

•••当m#l且时,方程有两个不相等实数根.

2

⑵解方程，得

：X|=—,X2=-3,

m

m为整数，且方程的两个根均为负整数，

:.m=-l或m=-2.

m=-l或m=-2时,此方程的两个根都为负整数

【点睛】

本题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数.

20、x=l

【解析】

方程两边同乘(x+2)(x-2)转化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.

【详解】

解：方程两边同乘(％+2)(%-2)得：

X—2+4x—2(x+2)=X?—4,

整理，得好一31+2=0，

解这个方程得玉=1,々=2,

经检验，々=2是增根，舍去，

所以，原方程的根是x=l.

【点睛】

本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是方程两边同乘分母的最简公分母化为整式方程然后求解，注意要进行检

验.

21、(1)-；(2)—

416

【解析】

(1)利用概率公式直接计算即可；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况,

再利用概率公式即可求得答案.

【详解】

(1)•••小明准备到西安的大雁塔(记为A)、白鹿原(记为B)、兴庆公园(记为C)、秦岭国家植物园(记为D)中

的一个景点去游玩，

••・小明选择去白鹿原游玩的概率=1；

(2)画树状图分析如下:

开始

ABCDABCDABCDABCD

两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种,

所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率=~.

16

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结

果数目m,求出概率.

22、(1)V33；(2)①庖<m<11；②△A03与半圆D的公共部分的面积为苦+G；(3)tanNAOB的值为萼

41

【解析】

(1)根据题意由勾股定理即可解答

(2)①根据题意可知半圆。与数轴相切时，只有一个公共点，和当0、A、B三点在数轴上时，求出两种情况m的值

即可

②如图，连接OC,得出A8CO为等边三角形，可求出扇形AOC的面积，即可解答

(3)根据题意如图1,当时，内心、外心与顶点3在同一条直线上，作08于点〃，设列出

方程求解即可解答

如图2,当05=04时，内心、外心与顶点。在同一条直线上，作于点”，设列出方程求解即可

解答

【详解】

(1)当半圆与数轴相切时，ABJ.OB,

由勾股定理得，"==g2-42=屈，

故答案为屈.

(2)①•.•半圆。与数轴相切时，只有一个公共点，此时析=J支,

当0、A、8三点在数轴上时，m=7+4=11,

半圆。与数轴有两个公共点时，，〃的取值范围为后.

故答案为V33<zn<l1.

②如图，连接&C当3c=2时,

•:BC=CD=BD=2,

・二△BCD为等边三角形,

AZBDC=60°,

:.ZADC=120°,

•••扇形AOC的面积为愤形皿=型票号,

S&BDC=—^2x\/3=\/3,

r~

.•.△408与半圆O的公共部分的面积为41一+6；

3

(3)如图1,

图1

当03=AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上，作A〃_L05于点设8H=x,则72-(4+x)2=42-x2,

解得x=?,OH=—,AH=^^,

888

.,.tanNA03=,

7

如图2,当03=04时，内心、外心与顶点。在同一条直线上，作A”J_08于点”，

图2

设则72-(4-x)2=42-x2,

解得x=»,0H=—,AH=^^-

777

，tanNA08=U^

41

综合以上，可得tan