2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试(新高考)(含答案解析)

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（新高

考）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合MN是全集U的两个非空子集，且例=《N）,则（皿迎）

U

A.MnN=0B.MqNC.NqM

D./Vu（CM）=U

2.若（x+i>=3+yi,则实数x,y满足（皿皿）

A.2y=xB.y=2xC.x+2y=0D.2x+y=0

3.若某圆台的上底面半径为2,下底面半径为4,高为3,则该圆台的体积为（画）

28K°

A.-----B.20冗C.28冗D.32兀

3

4.已知tana=3,则吧2%=（而）

sin2a

A.-B,-C.-D.6

236

5.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个

数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉

也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为的结

论.若根据欧拉得出的结论，估计1（）,以内的素数的个数为（皿IB）（素数即质数，

Ige®0.4343,计算结果取整数）

A.2172B,4343C.869D.8686

6.若（心-2］的展开式中常数项为则实数0=（皿皿）

A.±-B.±2C.上D.2

22

7.已知尸、尸分别为椭圆C：三+竺=1（°>/,>0）的左、右焦点，P是椭圆C上的

12a2b2

一点，直线/：x=竺士处，且P。，/,垂足为。点.若四边形。尸尸尸为平行四边

a12

形，则椭圆C的离心率的取值范围是（皿皿）

8.已知函数/（x）=lnx-L,直线>=""+"是曲线y=/G）的一条切线，则m+2”的

X

试卷第1页，共5页

取值范围是（皿皿）

A.1—3,+°0）B.21n2—4,-HX））

「（e-3]「I。51

C.ID.In2--,+ooI

二、多选题

9.为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进

全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体

党员党史知识竞赛的成绩（均位于160,100]之内）整理，得到如图所示的频率分布直

方图.根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（皿皿）

A.本次成绩不低于80分的人数的占比为75%

B.本次成绩低于70分的人数的占比为5%

C.估计本次成绩的平均分不高于85分

D.本次成绩位于170,90）的人数是其他人数的3倍

10.如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，S£>J•底面N8CQ,SD=AB,则下

列选项中两异面直线所成夹角大于45的是（皿皿）

A.BC与SDB.AB与SCC.SB与4DD.AC与SB

11.已知函数/（x）=Acos（2x+<p）-l（A>0,0<<p<K）,若函数y=|/（x）|的部分图

象如图所示，函数g（x）=4sin（Ax-<p）,则下列结论不正确的是（皿皿）

试卷第2页，共5页

A.函数gQ）的图象关于直线x=-匚对称

B.函数gQ）的图象关于点对称

C.将函数y=/G）+l的图象向左平移三个单位长度可得到函数gG）的图象

12

D.函数gG）在区间上的单调递减区间为10,：

_2Jo

12.阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学

家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神''的称号.抛物线上任

意两点工、8处的切线交于点P,称△P49为“阿基米德三角形已知抛物线C：

X2=8y的焦点为尸，过/、5两点的直线的方程为底-3），+6=。，关于“阿基米德三

角形''△E48,下列结论正确的是（皿IB）

32

A.|AB|=yB.PA1PB

C.点P的坐标为Gl-2）D.PFLAB

三、填空题

13.在正项等比数列M｝中，若。。=4,则loga+log。.

n4822210-----------------

14.写出一个同时满足下列条件□□的向量£=.

p|=1;匚向量a与B=（1,-1）的夹角ae.

15.已知在正四面体P-ABC中，43=3,记以为为直径的球为球O,则平面48。截

球。所得截面的面积为.

16.若xQ*+a）21nx+l对任意x>0恒成立，则实数。的取值范围为.

四、解答题

17.如图，在梯形Z8CD中，A8//CD,点E在边CD上，NC=120。，BC=26，

NCEB=45°.

试卷第3页，共5页

(1)求BE,CE；

⑵若AB=7,求sin/A£5.

18.《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明

确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保

鲜、冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准

对接.当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步

补齐发展短板？针对上述问题，假定有/、8、C三个解决方案，通过调查发现有上的

2

受调查者赞成方案4,有！的受调查者赞成方案8,有2的受调查者赞成方案C,现有

甲、乙、丙三人独立参加投票(以频率作为概率).

(1)求甲、乙两人投票方案不同的概率；

(2)若某人选择方案4或方案8,则对应方案可获得2票，选择方案C,则方案C获得

1票，设X是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求X的分布列和数学期

望.

19.已知数列｛〃“｝满足+•••+.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

n

(2)对任意的〃eN*,令b求数列｛匕｝的前〃项和S.

"(22-",为偶数""

20.在如图所示的多面体AFDCBE中，AB1平面BCE,AB//CD//EF,BE上EC,

AB=4,EF=2,EC=2BE=4.

(1)在线段8c上是否存在一点G,使得EG〃平面4FC?如果存在，请指出G点位置并

证明；如果不存在，请说明理由；

试卷第4页，共5页

(2)当三棱锥O-AFC的体积为8时，求二面角O-4F-C的余弦值.

21.已知双曲线C：=-"=l(a>0,b>0)的渐近线方程为〉=±底，过双曲线C的

a2b?

右焦点厂(2,0)的直线(与双曲线C分别交于左、右两支上的/、8两点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过原点O作直线/,使得/〃/,且与双曲线C分别交于左、右两支上的点用、

221

N.是否存在定值入，使得|断卜“'=入/18?若存在，请求出入的值；若不存在，请

说明理由.

22.已知函数/(x)=alnx+1(x>0).

X

⑴讨论函数/(X)的单调性；

(2)若存在x,x满足0Vx<x,且x+x=1,/G)=/(x),求实数a的取值范

I2121212

围.

试卷第5页，共5页

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

根据补集、子集的知识确定正确选项.

【详解】

0N表示集合N的补集，

U

因为Mq（CN）,

u

所以McN=0.

故选：A

2.B

【解析】

【分析】

由题得卜一1：3,即得解.

y=2x

【详解】

解：因为G+i»=-l+2xi,所以冗2-1+2xi=3+yi,

/2一1—3

c,即实数X,y满足y=2x.

1y=2x

故选：B

3.C

【解析】

【分析】

根据圆台的体积公式代入求解即可.

【详解】

由公式卜=；（上+s下+式再'＞，可知：该圆台的体积为

V=x2z+nx4s+，兀x2?x兀x42L3=287r.

答案第1页，共18页

故选：c

4.B

【解析】

【分析】

利用二倍角正弦公式化简，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；

【详解】

sin2a2sinacosa2cosa22

解：因为tana=3,所以I——=―；------=———=----=-.

sm2asm2asinatana3

故选：B

5.D

【解析】

【分析】

根据黎曼猜想计算(10s),从而得出正确答案.

【详解】

(105)*J2L==2x104=2xl0-ixlges2xl04x0.4343=2x4343=8686.

In10s51nl0InlO

故选：D

6.A

【解析】

【分析】

求得二项展开式的通项7=(-a)，Cx33,,求得展开式中的常数项，列出方程，即可求解.

r+16

【详解】

6

由二项式(X2-色］展开式的通项为T=0(X2)6-,(_3),=(-a),Crx>2-ir,

x)「+16X6

令12-3〃=0,可得〃=4,

当r=4时，可得展开式的常数项为(-。)心=15a4,所以15a解得a=土上

6162

答案第2页，共18页

故选：A.

7.B

【解析】

【分析】

设P(x,y),则由题意可得归。|=|尸川，由此可得x=竺也-2,=初二一竺，再由

0012°aa

X式-a,a),可求出离心率的范围

0

【详解】

'CL2+hl'

设尸a,y),则。—~-,y,

。。Ia0)

□四边形QPF6为平行四边形,□|P2|=|FF|,

。2+拉。2+加2a2-c2-2ac(\

□X=2c,即X=------------2c=------------

aooaa

«2a2—c2-2ac«

i_：-1<----------<1,

Q2

□-K2-e2-2e<l,得点

故选：B

8.B

【解析】

【分析】

先求得机+2〃表达式，再求其取值范围即可解决.

【详解】

设切点为PCJG)),rG)=l+-1-,k=f(t)=-+-L

XX2tt2

曲线y=/G)在切点PCJG))处的切线方程为y—/G)=/'G)QT),

整理得y=——1,

13

所以m+2〃=+21nz--2.

t2t

^^G)=—+21nx---2(x>0),则g，(x)=2x2+3x-2.

X2XJ3

当0cx<g时，g，(x)<0,g(x)单调递减；

答案第3页，共18页

当x>:时，g，(x)>0,g(x)单调递增.故g(x)=g佶］=-21n2-4,

2min12/

则团+2〃的取值范围是1-2ln2-4,4w).

故选：B

9.ABC

【解析】

【分析】

求得本次成绩不低于80分的人数的占比判断选项A；求得本次成绩低于70分的人数的占

比判断选项B；求得本次成绩的平均分判断选项C；求得本次成绩位于170,90)的人数判断

选项D.

【详解】

本次成绩不低于80分的人数的占比为(0.050+0.025)x10=0.75=75%,故A项正确；

因为10(a+0.020+0.050+0.025)=1,所以“=0.005,则本次成绩低于70分的人数的占比

为5%,故B项正确；

本次成绩的平均分约为65x5%+75x20%+85x50%+95x25%=84.5

所以估计本次成绩的平均分不高于85分，故C项正确；

成绩位于170,90)的频率为(0.020+0.050)x10=0.7,本次成绩位于170,90)的人数

占比为70%,因为0.7<0.3x3,所以D项错误.

故选：ABC

10.ACD

【解析】

【分析】

求得8c与SQ所成的角判断选项A；求得Z8与SC所成的角判断选项B；求得S8与/。

所成的角判断选项C；求得NC与S3所成的角判断选项D.

【详解】

对于A,因为SDJ•底面/BCZ),8Cu平面所以SOL8C,则8C与S£>所成角的

大小为90,A项符合.

对于B,因为底面488是正方形，所以48〃。，则与SC所成的角为

答案第4页，共18页

NSC。=45，B项不符合.

对于C,因为A3〃8C,所以SB与AD所成的角为/SBC,由题知

tanZ5BC=||=>/2>l,所以NS8C>45,C项符合.

对于D,因为S£>_L底面4?C。，ACu平面/BCD,所以S£>_LAC.

因为13CZ）是正方形，所以AC_L80.

又因为S£>n5Q=。，所以AC1平面SBD.

因为SBu平面S3。，所以ACLS3,则NC与跖所成角的大小为90,D项符合.

故选：ACD

11.ABD

【解析】

【分析】

根据三角函数的图象求得A，<P的值，得出函数.fG）,进而求得g（x）的解析式，结合正弦

函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

根据函数y=|/G）|的图象，可知A=2,

当x=0时，满足/（0）=-2,贝！12cos<p-1=-2,gpcoscp=--,

2

因为0<中<兀，所以中=等，可得g（x）=2sin（2x-1）.

对于A中，当x=-1时，=可得函数g（x）的图象不关于直线x=-：对称，

所以A项错误；

对于B中，当x1时，g（力=6，可得函数g（x）的图象不关于点可对称，所以B

项错误；

对于C中，因为y=f（x）+l=2COS（2X+31]=2sinf2x+?]—些=2sin|2x--|,将

其图象向左平移占个单位，可得函数y=2sin20+m-第=2sin（2x—与）的图象，所

以C项正确；

答案第5页，共18页

n2兀2兀兀2兀2K兀

对于D中，因为工£0,—,所以21一飞一£»Y，所以当2%一一，一£,即

xw[0,2]时，gG）单调递减，所以D项错误.

故选：ABD

12.ABD

【解析】

【分析】

由直线方程与抛物线方程联立，解得人8两点的坐标，计算线段AB的长判断A,利用导

数的几何意义求得切线方程，由切线斜率关系判断B,两切线方程联立求得交点p的坐标

判断C,由直线的斜率关系判断D.

【详解】

设A（x,y）,B（x,y）,

I122

x2=Sy

联立〈召…+6=。'可得知-8岳-48=。，

解得x=4>6或犬=-^^

,A项正确;

又因为y啧所以*,故直线口的斜率为竽3

直线%的方程为y-6=小（-46），即y=6x-6,

\/3x2=-^-Xy/3=-1

同理可得直线尸8的方程为），=,k,k

33PAPB3

所以PA上PB,B项正确;

y=耳x-6

联立sfix2，可得,3

y=-33-2

故点尸的坐标为C项错误;

答案第6页，共18页

k=2+2=pr-

易知点尸的坐标为（0,2）,丹--4小一',k-k=-VJx史=-1,

U-------PfAB3

3'

所以「F_LAB,D项正确.

故选：ABD.

13.2

【解析】

【分析】

依据等比数列的性质和对数运算规则即可解决.

【详解】

loga+loga=log（aa）=log（aa）=log4=2.

2221022102482

故答案为：2

14.（田，（答案不唯一）

【解析】

【分析】

由题可设。=（cosO,sin。），再利用向量i与石=（1,-1）的夹角可得.

【详解】

由忖=1,可设a=（cos。,sin。），0e[O,2TI）,

又向量〃与5=（1,-1）的夹角ae[^-4）,

所以。€[；，7：）口（：，271）,在该区间任取一个角6即可.不妨去0=*,

则六件T

故答案为:（答案不唯一）.

37t3

15.—##-

44

【解析】

【分析】

取8c的中点。，过点P作PE_L平面Z8C于点E,利用正四面体及球的性质可知平面

答案第7页，共18页

/8C截球。所得截面的直径为/E,然后通过计算即得.

【详解】

如图，取8c的中点。，连接/£）,过点P作PEL平面45C于点£,

由正四面体P-A8C的特征可知，

点E为工。上靠近点。的三等分点.

因为以为球。的直径，PE，平面4BC,ZAEP=90°,

所以平面Z8C截球。所得截面的直径为4E.

因为AB=3,所以AE=—AD=-x,

332

故平面Z3C截以以为直径的球所得截面面积为兀

3冗

故答案为：

4

16.[-l,+oo）

【解析】

【分析】

由不等式xQ'+a）*lnx+l分离常数机，利用构造函数法，结合导数来求得。的取值范围.

【详解】

由x（e*+a）NInx+1可得ax2Inx+1-xe*,

E、LcInx+1-xeAlnx+1—e^+inx

因为x>0,所以。2-----------=-------------.

XX

令/G）=ev-x-l,则/（.r）=e.v-l,

当x<0时，/（A）<0,当X>0时，/（x）>0,

所以/（X）在（y。,。）上单调递减，在（0,田）上单调递增，

答案第8页，共18页

/G)>/(0)=0,即e，±x+l(当且仅当x=0时取等号),

故e-inx>x+lnx+l,当且仅当x+lnx=O时取等号.

在同一坐标系中画出>=ln］与y=r的图象，

如图所示，可知两函数在(0,1)之间有一个交点，

故存在xe(o,l),使得x+lnx=0成立，

,,Inx+1-e.r+inxlnx+l-(lnx+l+x)

故------------<------------------=-1,

XX

故心-1,即实数”的取值范围为［-LT8).

故答案为：［-1.+00)

17.(l)BE=3&,CE=3-6

⑵7点

10

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理即可求得BE,CE的长度；

(2)先由余弦定理求得cos/AEB,再去求sin/A£B即可.

(1)

因为BC=2后，NCEB=45,ZC=120,所以NCBE=15.

在A£BC中，由正弦定理可得心g-=BE=竺,

sin45sin120sin15

答案第9页，共18页

可得BE=2若xsi吧=3点,CE=2舟0=3_0

sin45sin45

(2)

因为A8〃CO,所以/CEB=NABE=45.

在△/!£»中，由余弦定理可得E4?=EB2+452-2E8-A8-COS45

+72-2x3点x7x所以£4=5.

EAi+EB?-AB2_25+18-49_72

因为cosZAEB=

2EAEB-2x5x3拉一而

所以sinNAEB='.

10

18.⑴”；

18

(2)分布列见解析，数学期望为，.

【解析】

【分析】

(1)利用对立事件和互斥事件的概率公式求解；

(2)先求出X的所有可能取值为3,4,5,6,再求出对应的概率即得分布列和数学期望.

(1)

解：因为甲、乙两人投票方案相同的概率为++=

223366lo

711

所以甲、乙两人投票方案不相同的概率为1-々=石.

1O1O

⑵

解：X的所有可能取值为3,4,5,6,

因为P(X=3)=

11A2乃25

=C1X-X-==--

p((X36672

7216

P(X=6)=Cox

3

答案第10页，共18页

所以X的分布列如下:

X3456

1525125

P

2167272716

所以E(X)=3x—!—+4x—+5x—+6x-!^-=—

21672722162

19.(1)。=2-n

—3〃2+6n+254ou-J.,

-----启-----，”为奇数

12--3x2»-i

⑵S=

n

—3〃2+12〃+1612/团WL

------，”为偶数

123x2〃-2

【解析】

【分析】

a

(1)当〃=1时可得q=l,当2时,-b+-H----------1------rr-=二①

2222〃2fi

%多…+》=会②两式相减,即可得出J再睑证旷1满足上式'

从而求出数列A｝的通项公式;

(2)对w分奇数和偶数讨论，结合等差数列和等比数列的前"项和公式即可求解.

(1)

当〃=1时，得］=;,解得4=1;

当“22时，可得驾+3+…+人=工①

2222“2〃

〃一1公

-aI-+a-+•••+a(2),

2222”T2〃T

由①-②，得圻a=2-〃，

当〃=1时，4=2-1=1也符合，

所以数列&｝的通项公式为。=2-〃.

nn

(2)

2-〃,”为奇数

由(1)知人=

n22”为偶数

答案第11页，共18页

当〃为偶数时,

S=[l+(-l)+(-3)+---+2-(n-l)]+Go+2-2+---+22-»)

("吗+＞曲_(4-〃)〃+%」]

2]」43(2n)

-4

-3〃2+12〃+161

~123,2〃-2’

当〃为奇数时,

-3(〃+l1+12(〃+1)+161

S=S-b=-------------------------------2~

〃”+|”+|123x2H-I

-3n2+6〃+254

123x2«-i

—3〃2+6〃+254、L^

--------------------为奇数

123x2-1

综上所述，S=■

n

—3〃2+12及+161L/由皿

-----------------，〃为偶数

123x2n-2

20.(1)存在，点G为BC中点，证明见解析

Qa

3

【解析】

【分析】

(1)先找到G点位置，由面面平行证明线面平行；(2)建立空间直角坐标系，由体积求

解边长，用空间向量求解二面角.

(1)

存在，点G为BC中点，理由如下：

取线段N8的中点“，连接即、HG、EG.

答案第12页，共18页

D

0AH//EF,AH=EF=2,

口四边形/是平行四边形，□HE〃AF.

又EJAFu平面NEC,HEa平面4FC,□HE〃平面4FC.

□”、G分别为18、8c的中点，

口"G是AABC的中位线，U\HG//AC.

□ACu平面AFC,HG<z平面AFC,DHG//平面AFC.

□HGcHE=H,HG、HEu平面EHG,

口平面EHG〃平面AFC.

口尾匚平面£7/6,口EG〃平面/尸C.

(2)

设C£>=/(/>0),

由V=V=-x—xCDxCExBE=lx—x4x2=—=8,

D-AFCA-DFC32323

可得CD=Z=6.

以E为坐标原点，EC、EB、£厂所在直线分别为x、y、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

答案第13页，共18页

D

由题可知尸(0,0,2),C(4,0,0),A(0,2,4),£>(4,0,6),

A尸=(0,-2,-2),B=(-4,0,2),FD=(4,0,4).

设平面/FC的法向量为£=(x,y,z),

111

\mLAF卜2y-2z=0(y=-z

则办方=4'+2]=0=t=2」

IkI1II1

令X=1,得y=-2,z=2,

III

所以平面/尸C的一个法向量为胴=(1,-2,2).

设平面AFD的法向量为i=G,y,Z),

222

Ml[nlAF[-2y-2z=0\y=-z

tilFD[4x+4z=0[x=-z

[22'22

令幺=1,得x,=y,=-l,

222

所以平面ZED的一个法向量为〃=(-1,7,1).

/一个mn-1+2+2Ji

COS'(H?,??1)=：|-m|r.rp-|i=---3--x---。-=——3，

由图可知二面角O—AF—C为锐角，

故二面角。-AF-C的余弦值为立.

3

21.(1)2-21I

X3=

答案第14页，共18页

（2）存在，九=2

【解析】

【分析】

（1）由题意得到2且c=2,结合cz

a2+b2,求得的值，即可求得双曲线的方

a

程;

（2）由与4启同向，所以入=L一!，设直线/：x=fy+2,联立方程组，结合韦达定

AB1

不一，利用弦长公式求得|明=61+；,根据（〃〈，设

理求得户广占小

l2：x=ty,联立方程组求得|脑¥2=中+；）,进而求得人的值，得出结论.

⑴

解：因为双曲线C：=-21=iQ>o,b>o）的渐近线方程为y=±底，

42hl

所以一=事»即/?=也a.

a

又因为右焦点尸的坐标为（2,0）,所以c=2,

又由C2=a2+/n=4°2=4,解得。=1,所以b=W，

所以双曲线C的方程为X2-22=1.

3

⑵

解：存在定值入=2,使得|加必•何内=九4#

、

MN

因为A/内与A8同向，所以九=

AB

由题意，可设直线（：x=）+2,

,整理得G"-l)y2+12/y+9=0,

联立方程组y2

X2--=1

13

设A（XQ）,8（2％）,可得厅匕=探,咐=白

由直”分别交双曲线C的左、右两支于48两点,

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3/2-l^o3W0

可得.=(⑵)-36(3/2_1)=3612+1)>0,即<6;+2叫+2)=会$<°'

xx<0

12

可得3n-1>0,

所以|/IB|=+“一);|=J1+.2-J(y+4)2-4yy

-12r¥36_612+1)

372-J-3/2-1-3/2-1

由4/仆可设小户明

♦>=3,整理得Q-）….

由

设R,%),则N"),所以%=/

\MN2

故存在定值入=2,使得|丽|・施=入4月.

所以入=府