衡阳市重点中学2023-2024学年数学九年级上册期末质量检测模拟试题含解析

衡阳市重点中学2023-2024学年数学九上期末质量检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.如图，动点A在抛物线y=-x2+2x+3(0<x<3)上运动，直线I经过点(0,6),且与y轴垂直，过点A作ACJJ

于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,则另一对角线BD的取值范围正确的是()

A.2<BD<3B.3<BD<6C.1<BD<6D.2<BD<6

2.二次函数的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(1,0),则另一个交点的坐标为()

A.(-1,0)B.(4,0)C.(5,0)D.(-6,0)

3.若函数y=(a—Dx2-'4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为().

A.-1或2B.-1或1

C.1或2D.-1或2或I

4.我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.5万件，设该快递公司这两个月

投递总件数的月平均增长率为x,则下列方程正确的是()

A.6(1+x)=8.5B.6(l+2x)=8.5

C.6(1+x)2=8.5D.6+6(1+x)+6(1+x)2=8.5

5.如图，点P为OO外一点，PA为。O的切线，A为切点，PO交。O于点B,NP=30。，OB=3,则线段BP的长为

6.方程3好一4*-1=0的二次项系数和一次项系数分别为()

A.3和4B.3和一4C.3和一1D.3和1

7.如图，抛物线），=成：2+汝+。（。。0）与X轴交于点（一3,0）,其对称轴为直线工=-；,结合图象分析下列结论:

①abc>0：②3a+c>0；

③空”£>0；④当》<（）时，随X的增大而增大；

⑤4am2+4hm<a-2b（所为实数），其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.一元二次方程X2一6%一6=0配方后化为（）

A.（x-3>=15B.（x-3）2=3C.(X+3)2=15D.*+3)2=3

9.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（)

A.（2,-3）B.（-2,3）C.(2,3)D.(-2,-3)

10.正方形具有而菱形不具有的性质是（)

A.对角线互相平分B.对角线相等

C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直

11.在一个1（）万人的小镇，随机调查了3000人，其中450人看某电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看该

电视台早间新闻的概率大约是（）

A.0.0045B.0.03C.0.0345D.0.15

12.抛物线.丫=—2（%—3）2+4的顶点坐标（)

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(3,4)

二、填空题（每题4分，共24分）

13.边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°,顶点B所经过的路线长为（)cm.

14.已知二次函数尸a（x+3）2-伏〃邦）有最大值1,则该函数图象的顶点坐标为.

15.抛物线尸-2/+4x-1的对称轴是直线.

16.在AABC中，若NA、£）8满足sinA—g+向i7=国=0,则AABC为_____三角形.

2

17.在ABC中，ZC=90°,BC=2,tanA=—,贝!]A8=

3

2

18.）已知反比例函数了=一一，下列结论：①图象必经过点（一1,2）；②y随x的增大而增大：③图象在第二、四象限

x

内；④若x＞L则＞＞一2.其中正确的有.（填序号）

三、解答题（共78分）

19.（8分）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：

如图1，是。。的直径，点C•在二。上，CD1AB,垂足为O,CE=CB,BE分别交CD、AC于点F、G.

求证：CF=FG.

（1）本题证明的思路可用下列框图表示:

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程.

（2）如图2,若点C和点E在AB的两侧，BE、C4的延长线交于点G,8的延长线交8E于点尸，其余条件不

变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若BG=26,BD-DF=7,求8C的长.

20.（8分）若a,0且a?-2a=0,求方程16x?-4ax+l=3-12x的根.

21.（8分）在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同，从口

袋中随机摸出1个球，记录其颜色.然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，请利用画树状

图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率.

22.（10分）如图，某小区规划在一个长16m,宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB

平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2,求小路的宽.

RC

23.(10分)解方程：(x+2)(x-5)=1.

24.(10分)如图，二次函数y=；x?+bx+c的图象过点B(0,1)和C(4,3)两点，与x轴交于点D、点E,过点B

和点C的直线与x轴交于点A.

⑴求二次函数的解析式；

(2)在x轴上有一动点P,随着点P的移动，存在点P使APBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；

⑶若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个

单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与AABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在,

说明理由.

25.（12分）如图，已知AASC中，ZABC^30°,NACB=45°,AB=8.求A4BC的面积.

26.某服装店因为换季更新，采购了一批新服装，有4、8两种款式共100件，花费了6600元，已知A种款式单价是

80元/件，B种款式的单价是40元/件

(1)求两种款式的服装各采购了多少件？

(2)如果另一个服装店也想要采购这两种款式的服装共60件，且采购服装的费用不超过3300元，那么A种款式的服

装最多能采购多少件？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【分析】根据题意先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1,4）,再根据矩形的性质得BD=AC,由于2WACW1,

从而进行分析得到BD的取值范围.

【详解】解：d+2x+3=-（x-iy+4,

二抛物线开口向下，顶点坐标为（1,4）,

•.•四边形ABCD为矩形，

，BD=AC,

•••直线1经过点（0,D,且与y轴垂直，抛物线y=-x2+2x+3（0<x<3）,

.•.2WACW1,

二另一对角线BD的取值范围为：2WBDW1.

故选：D.

【点睛】

本题考查矩形的性质与二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

2、C

【解析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3,由抛物线的对称性得到答案.

【详解】解：由二次函数/=/-6%+〃?得到对称轴是直线工=3,则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对

称，

•.•其中一个交点的坐标为（1,0）,则另一个交点的坐标为（5,0）,

故选C.

【点睛】

考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质.

3、D

【解析】当该函数是一次函数时，与x轴必有一个交点，此时a-l=0,即a=L

当该函数是二次函数时，由图象与x轴只有一个交点可知A=（-4产—4（a—l）x2a=0,解得

al=—1,a2=2.

综上所述，a=l或一1或2.

故选D.

4、C

【解析】由题意可得9月份的快递总件数为6(l+x)万件，则1()月份的快递总件数为6(l+x)(l+x)万件.

【详解】解：由题意可得6(1+X)2=8.5,故选择C.

【点睛】

理解后一个月的快递数量是以前一个月的快递数量为基础的是解题关键.

5、A

【分析】直接利用切线的性质得出NOAP=90。，进而利用直角三角形的性质得出OP的长.

【详解】连接OA,

：PA为。O的切线，

,ZOAP=90°,

VZP=10°,OB=1,

.,.AO=1,则OP=6,

故BP=6-1=1.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键.

6,B

【详解】方程3i—4*—1=0的二次项系数是3,和一次项系数是-4.

故选B.

7,B

【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本

题.

【详解】二•抛物线y=ax2+bx+c(a/0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线》=-；，

，抛物线y=ax?+bx+c(a#0)与x轴交于点(-3,0)和(2,0),且---="-,

2a2

:.a=b,

由图象知：a<0,c>0,b<0,

Aabc>0,故结论①正确；

:抛物线y=a、2+bx+c(a#))与x轴交于点(-3,0),

A9a-3b+c=0,

■:a=b,

:.c=-6a,

3a+c=-3a>0,故结论②正确；

•.•当XJ时，y=4ac-b2>0,

24a

...史a竺〈o.故结论③错误；

4a

当xV-g时，、，随x的增大而增大，当-g<x<0时，y随x的增大而减小，故结论④错误；

Va=b>

4am2+4bmSa—2ZJ可换成4am2+4am<-a，

Va<0,

...可得4m2+4m2-l,

即4m2+4m+1^0

(2m+l)22o,故结论⑤正确；

综上：正确的结论有①②⑤，

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握知识点是解题关键.

8、A

【分析】先把常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可.

【详解】X2-6%-6=0

移项得：x2—6x=6»

方程两边同加上9,得：/一6了+9=15，

即：(X-3)2=15,

故选A.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键.

9、A

【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标.

【详解】：:\=6-2）2-3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，

•••抛物线的顶点坐标为（2,-3）.

故选A..

【点睛】

本题考查了将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k,顶点坐标是（h,k）,对称轴是x=h.

10、B

【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.

【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直,

故选B.

【点睛】

考点：L菱形的性质；2.正方形的性质.

11、D

【解析】根据等可能事件的概率公式，即可求解.

【详解】450+3000=0.15,

答：他看该电视台早间新闻的概率大约是0.15.

故选D.

【点睛】

本题主要考查等可能事件的概率公式，掌握概率公式，是解题的关键.

12、D

【解析】根据抛物线顶点式的特点写出顶点坐标即可得.

【详解】因为y=—2（x—3丫+4是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3,4）,

故选D.

【点睛】

本题考查了抛物线的顶点，熟练掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、47r

【解析】试题解析：•••边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180。，顶点B所经过的路线是一段弧长,

弧长是以点A为圆心，AB为半径，圆心角是180。的弧长，

,根据弧长公式可得：怨：4=4”.

180

故选A.

14、(-3,1)

【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k(aWO)的顶点坐标是(h,k),即可求解.

【详解】解：•.•二次函数产a(x+3)2-仅存0)有最大值1,

:.-b=l,

根据二次函数的顶点式方程尸a(x+3)2-b(a#))知，该函数的顶点坐标是：(-3,-b),

二该函数图象的顶点坐标为(-3,1).

故答案为：(-3,1).

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中的h、k所表示的意义.

15、x=l

【解析】根据抛物线产的对称轴是*=—2即可求解.

2a

4

【详解】抛物线y=-2x2+4x-l的对称轴是直线x=-——=1.

2x(-2)

故答案为：x=l.

【点睛】

h

本题考查了二次函数的对称轴.熟记二次函数尸。必+C的对称轴：x=一一是解题的关键.

2a

16、直角

【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得NA和NB,即可作出判断.

［详解］Vsin/I-y+VtanB-y/3=0,

sinA——=0,tanB—V3=0，

*e•sinA=—,tanB=石>

Vsin30°=1,tan60°=V3，

/.ZA=30°,NB=60°,

AZC=18O°-30A^0B=90°-°-°=°,

.•.△ABC是直角三角形.

故答案为：直角.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求

出NA、NB的度数，是解题的关键.

17、V13

【分析】根据题意利用三角函数的定义可以求得AC,再利用勾股定理可求得AB.

【详解】解：由题意作图如下：

VZC=90",BC=2,tanA=——=-,

AC3

:.AC=3f

•••AB=y]BC2+AC2=A/22+32=V13-

故答案为：V13.

【点睛】

本题主要考查三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解题的关键.

18、①@@

【解析】①当x=-l时，y=2,即图象必经过点（-1,2）；

②k=-2<0,每一象限内，y随x的增大而增大；

③k=-2V0,图象在第二、四象限内；

④k=-2V0,每一象限内，y随x的增大而增大，若x>L则y>-2,

故答案为①③④.

三、解答题（共78分）

19、（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）4713

【分析】（1）如图1中，延长CD交OO于H.想办法证明N3=N4即可解决问题.

（2）成立，证明方法类似（1）.

(3)构建方程组求出BD,DF即可解决问题.

【详解】(1)延长CO交。0于“；

••A3为直径，CO1A8

,•BC=BH•

：CE=CB

••EC=BC

,•EC=BH

,•Z1=Z2

；AB为直径

,.ZACB=90°

••N2+N3=90°,Zl+Z4=90°

,•Z3=Z4

,•FC=FG

(2)成立；

.•AB为直径，CDLAB

,•BC=BH,

/CE=CB

<-EC=BC

,•EC=BH

••Z1=Z2

；AB为直径

,•ZACB=90°

•.N2+N3=90。，Nl+N4=90°

*.Z3=Z4

FC=FG

(3)由(2)得：FG=BF=CF,

：BG=26,

,,EB=13,

\BD-DF=1

■'|BD2+DF2=169,

解得：BD=12,DF=5,

：.CD=8,

【点睛】

本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

11

20、xi=-----,X2=—

24

【分析】由a#)且a2-2a=0,得a=2,代入方程16x?-4ax+l=3-12x,求得根即可

【详解】解：,.'a制且a2-2a=0,

/.a(a-2)=0,

a=2,

故方程16x2-8x+l=3-12x,

整理得8x2+2x-1=0,

(2x+l)(4x-1)=0,

…11

解得玉=一］，々=:.

2■4

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意.熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解决本题的关键.

21、两次摸到的球都是红球的概率为

【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解.

【详解】解：画树状图得:

第一次木

红缘白红球白红球白

•••共有9种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有1种情况，

...两次摸到的球都是红球的概率=(.

【点睛】

此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意画出所有情况，再用公式进行求解.

22、小路的宽为2m.

【解析】如果设小路的宽度为X，"，那么整个草坪的长为(2-2x)m,宽为(9-x)m,根据题意即可得出方程.

【详解】设小路的宽度为xm,那么整个草坪的长为(2-2x)m,宽为(9-x)m,根据题意得：

(2-2x)(9-x)=222

解得：X2=2,X2=2.

•.,2>9,...x=2不符合题意，舍去，...尸？.

答：小路的宽为2m.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，弄清“整个草坪的长和宽”是解决本题的关键.

23、xi=7,X2=-2

【解析】化为一般形式，利用因式分解法求得方程的解即可.

【详解】解:(x+2)(x-5)=1,

x2-3x-28=0,

(x-7)(x+2)=0

/.x-7=0,x+2=0

解得：xi=7,X2=-2.

【点睛】

此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可.

24、⑴抛物线解析式y=gx2-Mx+l;(2)点P坐标为(1,0),(3,0),(工，0),(?,0)：(3)a=±叵或

22223

675

------.

5

【分析】(1)将B、C两点坐标代入二次函数解析式，通过联立方程组可求得b、c的值，进而求出函数解析式；

⑵设P(x,0),由APBC是直角三角形，分NCBP=90。与NBPC=90。两种情况讨论，运用勾股定理可得x的值，进而

得到P点坐标；

(3)假设成立有△APQs/\ADB或△APQs/\ABD,则对应边成比例，可求出a的值.

【详解】⑴；二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B(0,1)和C(4,3)两点，

1=cb=—

解得2,

3=8+4Z?+c

c=1

13

.•・抛物线解析式y=5x2_]x+l.

(2)设点P坐标为(x,0).

•点P(x,0),点B(0,1),点C(4,3),

,PB=,J(x-O)12+(O-l)2=V771，

CP=+(3-0)~=7x2-8x+25，

BC=^(4-0)2+(3-l)2=2后,

若NBCP=90。，贝||BP2=BC2+CP2.

x2+1=20+X2-8X+25,•*.x=—.

2

若NCBP=90。，贝！]CP2=BC2+BP2.

x2+l+20=x2-8x+25,/.x=—.

2

若NBPC=90。，则BC2=BP2+CP2.

.".X2+1+X2-8X+25=20,

/.Xl=l,X2=3,

综上所述：点P坐标为(1,0),(3,0),(-,0),(―,0).

22

2V5赴6^5

(3)a=------或------

35

13

•・•抛物线解析式y=-x2——x+1与x轴交于点D,点E,

22

13

0=—X2-—x+1,Axi=l,X2=2,・••点D(1,0)・

22

•・•点B(0,1),C(4,3),

...直线BC解析式y=gx+l.

当y=0时，x=-2,.,.点A(-2,0).

•.•点A(-2,0),点B(0,1),点D(1,0),

；.AD=3,AB=V5.

设经过t秒，.，.AP=2t,AQ=at,

若△APQs/\ADB,

.AP=AD2r=J_2逐

•.而一为''即/一看'"a-N-'

APAB2tJ56X/5

若△APQS2XABD,/.,即一二—―,Aa=———.

AQADat35

综上所述：a=2或0叵.

35

【点睛】