2.1 直线与圆的位置关系（12大题型）（分层练习）（解析版）

第2章直线与圆的位置关系2.1直线与圆的位置关系（12大题型）分层练习考查题型一判断直线和圆的位置关系1．（2023·浙江杭州·统考二模）已知的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】B【分析】根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案．【详解】解：∵的直径为4，∴的半径为2，∵圆心O到直线l的距离为2，∴，∴直线l与的位置关系是相切，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．2．（2023下·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是．【答案】相离【分析】先解一元二次方程得到的半径，再根据圆与直线的位置关系与半径关系即可得到结论．【详解】解：解方程得：，（舍去），∴的半径为3，∵圆心O到直线l的距离，，∴直线l与的位置关系是相离，故答案为：相离．【点睛】本题考查解一元二次方程、圆与直线的位置关系，解答的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆半径为r，圆心与直线的距离为d，当时，相交；当时，相切；当时，相离．3．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．

(1)点M的坐标是；(2)判断与y轴的位置关系，并说明理由．【答案】(1)(2)相交，理由见解析【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键．（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心；（2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系．【详解】（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：

根据网格的特征可得：点M的坐标为，故答案为：．（2）相交．根据网格特征可得：的半径圆心M到y轴的距离∴∴与y轴相交．考查题型二已知直线和圆的位置关系求半径的取值1．（2023·上海浦东新·校考三模）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．【详解】解：，∴，∵原点O在圆A的外部，∴，即，∵圆A与x轴相交，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键．2．（2022上·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是．【答案】【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．【详解】解：过M作于H，如图所示：∵，，∴，∵，与线段有交点，∴r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．3．（2023上·九年级课时练习）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，(1)当半径为何值时，与直线相切；(2)当半径为何值时，与直线相切；(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．【答案】(1)当半径为3时，与直线相切(2)当半径为2.4时，与直线相切(3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；（2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求；（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，∴，，∵圆心到边的距离为，与直线相切，∴，则当半径为3时，与直线相切；（2）连接，过作，交于点，∵在中，，，∴，又∵，∴圆心到边的距离，又与直线相切，∴，则当半径为2.4时，与直线相切；（3）∵与直线相交，圆心到边的距离为，∴，又与直线相离，圆心到的距离为，∴，则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离．【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．考查题型三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离1．（2022上·九年级单元测试）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的直径可能为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，然后根据和直线相交，确定r和d的关系，然后再确定r的取值范围，进而确定直径的取值范围即可解答．【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，和直线相交，，又圆心到直线的距离为，，直径大于．故选A．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆的基本概念等知识点，根据和直线相交得到是解答本题的关键．2．（2021上·广东韶关·九年级校考期中）已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为个．【答案】3【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数．【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即，∴，在上截取，过点D作，交于A、B两点，∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C，故答案为：3．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．（1）点到直线距离的最大值为；（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为．【答案】（1）7；（2）．【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得；（2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：（1）如图1，，当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，此时最大值为，故答案为：7；（2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．考查题型四求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离1．（2022上·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（

）A． B．1 C．或 D．1或3【答案】C【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解．【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时，P到y轴距离时，⊙P与y轴相切，∴移动时间（秒）；（2）当的圆心P在y轴右侧时，P到y轴距离时，与y轴相切，∴移动时间（秒）．故选C．【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点,若以1cm为半径的☉O与直线a相切,则OP的长为.【答案】3cm或5cm【详解】∵直线a⊥b,O为直线b上一动点,∴☉O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1cm.当点O在点H的左侧,☉O与直线a相切时,如图1所示,图1图2则OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧,☉O与直线a相切时,如图2所示,则OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴☉O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.3．（2022下·九年级单元测试）如图，半圆O的直径DE＝12cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm.半圆O以2cm/s的速度自左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为ts，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm.(1)当t＝________s时，半圆O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为________．(2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？【答案】（1）1，6cm；（2）当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切．【分析】（1）求出路程EC的长，即可以求时间t=1，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6；（2）根据C到AB的距离为6cm，圆的半径为6cm，所以O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，t=8÷2=4秒.【详解】(1)∵DE＝12cm，∴OE＝OD＝6cm.∵OC＝8cm，∴EC＝8－6＝2(cm)，∴t＝2÷2＝1(s)，故当t＝1时，半圆O与AC所在直线第一次相切．如图①，过点C作CF⊥AB于点F.在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，∴CF＝BC＝6cm.故答案为1，6cm.(2)如图②，当半圆O在直线AB的左侧，与直线AB相切时，过点O作OM⊥AB于点M，则OM＝6cm.∵∠ABC＝30°，∴OB＝2OM＝12cm.又∵BC＝12cm，∴当点O与点C重合，即当点O运动到点C时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时，点O运动了8cm，运动时间t＝8÷2＝4.如图③，当半圆O所在的圆在直线AB的右侧与直线AB相切时，设切点为Q，则OQ⊥AB，OQ＝6cm.在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，则OB＝2OQ＝12cm，此时点O运动了12＋12＋8＝32(cm)，运动时间t＝32÷2＝16.综上所述，当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切．【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．考查题型五求直线平移到与圆相切时运动的距离1．（2022上·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得．【详解】解：连接，∵，∴，∴，∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，∴，即直线在原有位置向下移动后与圆相切．故选：B．【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．2．（2022上·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为时，与直线相切．【答案】或【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间．【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接．∵与直线相切，∴，∵在中，，，∴，则，∵以的速度沿由A向B的方向移动，∴移动时与直线相切．当在射线上时，同理可求移动时与直线相切．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．3．（2020上·全国·九年级期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．【答案】1或5．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．考查题型六切线的应用1．（2022·四川乐山·统考模拟预测）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再判断一元二次方程解的情况即可求解．【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，∴x＝y或x＝﹣y，当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，∴方程有两个不相等的实数解；当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，∵Δ＝b2﹣4ac＝0，∴方程有两个相等的实数解；综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关键．2．（2020上·河北沧州·九年级校考期中）如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是．【答案】0＜x≤2【分析】根据题意可知，直线和圆有公共点，则直线与圆相交或相切．如图，当直线与圆相切时，x值最大，设切点为C，连接OC，根据∠AOB＝45°，OA∥PC，可知为等腰直角三角形，进而求出斜边的长度，即可得到x的取值范围．【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝2，OC⊥PC，∵∠AOB＝45°，OA∥PC，∴∠OPC＝45°，∴PC＝OC＝2，∴OP＝，∵P在x正半轴上运动，∴x的取值范围是0＜x≤，故答案为：0＜x≤．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据题目已知条件，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．3．（2020上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点.判断直线与的位置关系，并说明理由；若，求:①的半径，②的长.【答案】(1)直线与相切；见解析（2）①3；②6.【分析】（1）首先由圆的性质得出，然后由圆内接直角三角形得出，，进而得出，即可判定其相切；（2）①首先根据根据元的性质得出，，进而可判定，即可得出半径；②首先由OP、OB得出OC，然后由切线性质得出，再由判定进而利用相似性质构建方程，即可得解.【详解】直线与相切；理由:连接，，，是的直径，，，，，即，为上的一点，直线与相切；①，，，，，，，圆的半径为;②，，∵过点作的切线交的延长线于点，，，即【点睛】此题主要考查直线和圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握。即可解题.考查题型七有关切线的说法辨析1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）下列命题中正确的是（

）A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．【答案】D【分析】本题考查圆的基本知识，圆的切线的定义，确定圆的条件，三角形的外心等，根据相关定义或性质逐项判断即可．【详解】解：半圆是弧，故A选项命题不正确；B，经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的一条切线，故B选项命题不正确；C，平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故C选项命题不正确；D，三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故D选项命题正确；故选D．2．（2023上·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；

B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；

D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．（2022上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．直线与相交于点O，若以点O为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（

）A．点B在上 B．是的外接圆C．是的弦 D．是的切线【答案】D【分析】根据作图可得直线与分别为的垂直平分线，从而得到是的外接圆，即可求解．【详解】解：根据题意得：直线与分别为的垂直平分线，∴点O到的三个顶点的距离相等，∴是的外接圆，故B选项正确，不符合题意；∴点A、B、C在上，故A选项正确，不符合题意；∴，是的弦，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形的外接圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键．考查题型八判断或补全使直线为切线的条件1．（2020上·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是()A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)【答案】D【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论．【详解】解：如图，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)．故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键.2．（2022上·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．3．（2022下·九年级课时练习）的斜边，直角边，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆和与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与相切？【答案】与AB相离；与AB相交；当半径为时，AB与相切.【分析】过点C作于点D，利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长，进而判定圆和与AB的位置关系，根据切线的判定得到的半径.【详解】解：如图，过点C作于点D.在中，，，由面积公式，得，，，与AB相离；，与AB相交；当半径为时，AB与相切.【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的判定，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.考查题型九证明某直线是圆的切线1．（2022上·全国·九年级专题练习）如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（

）时，直线是的切线．A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线．【详解】解：当时，直线是的切线．证明：如图，连接OA．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴直线是的切线．故选：B．【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键．2．（2021下·九年级课时练习）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是．【答案】或【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可．【详解】解：若添加BD=CD，理由如下：如图，连接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切线；若添加AB=AC，理由如下：如图，连接AD，∵是的直径，∴∠ADB=90°，∴点D是BC的中点，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切线．故答案为：或【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键．3．（2023上·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，为的直径，C为上的中点，，垂足为的延长线交于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查了切线的判定以及圆周角定理和扇形的面积公式．（1）连接，利用半径相等、圆周角定理求得，推出，从而得到，即可证明是的切线；（2）设半径为r，利用勾股定理得到，解得，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用进行计算即可．【详解】（1）证明：连接，如图，∵，∴，∵C为上的中点，即，∴，∴，∴，∵，∴，∵点C在上，∴是的切线；（2）解：连接，设半径为r，在中，∵，∴，解得，∴，则，即点B是斜边的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴．考查题型十切线的性质定理1．（2023上·福建福州·九年级校考期中）如图，在中，与相切于点A，连接交于点C，点D为上的点，连接．若，则为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数．【详解】解：∵与相切于点A，，，，，，，．故选：B．2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）如图，是的直径，点在延长线上，与相切点，连，若，则的度数等于．【答案】/125度【分析】连接，利用切线的性质定理和圆周角定理解答即可得出结论．本题主要考查了切线的性质定理，圆周角定理，连接是解此题的关键．【详解】解：连接如图，与相切于点故答案为：3．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E．(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了切线的性质、矩形的判定及性质、勾股定理、垂径定理：（1）结合角平分线和切线的性质，连接计算即可得解；（2）连接，作于F，利用垂径定理得到，在中利用勾股定理计算出，然后证明四边形为矩形，从而可求解．熟练掌握切线的性质及垂径定理是解答本题的关键．【详解】（1）解：连，如图，是的切线，，，的平分线交于点D，∴，，，．（2）连接，作于F，如图2，则，在中，，，∴四边形为矩形，．考查题型十一切线的性质和判定的综合应用1．（2021上·四川德阳·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（

）A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或【答案】D【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，依据勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求．【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，如图，切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN＝NF，又∵，∴设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，得：r2＝16＋（8−r）2，∴r＝5，∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又，即，∴AB＝；当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，同理，可得OH＝AN＝5，∴AE＝1，又，∴AB＝6，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．2．（2022上·江苏连云港·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为【答案】【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．【详解】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（-6，0）、B（0，6），∴OA=OB=6，∴AB=6，∴OP=AB=3，∵OQ=2，∴PQ=，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．3．（2022上·江苏泰州·九年级统考期中）如图1，已知为的直径，点E在上，给出下列信息：①是的切线；②；③平分(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论，组成一个正确的命题，你选择的条件是、，结论是(只要填写序号)，并说明理由；(2)如图2，在（1）的条件下，交于D，若，求的值．【答案】(1)选择的条件是①②，结论是③，理由见解析；选择的条件是①③，结论是②，理由见解析；选择的条件是②③，结论是①，理由见解析(2)【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③，理由：连接，可得到，再由是的切线可得，从而得到，即可；选择的条件是①③，结论是②，理由：连接，可得到，再由平分可证得，再由是的切线，即可；选择的条件是②③，结论是①，理由：连接，可得到，再由平分可证得，从而得到，即可；（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，再证得，可得到，从而求出，即可求解．【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③，理由如下：连接，，．是的切线，．，．，，平分．选择的条件是①③，结论是②，理由如下：连接，，．平分，，，．是的切线，．；选择的条件是②③，结论是①，理由如下：连接，，．平分，，，．，．是半径，是的切线；（2）解：如图，连接，∵四边形是圆内接四边形，∴，∵，∴，，为的直径，∴，平分，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质和判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．考查题型十二过圆外一点作圆的切线（尺规作图）1．（2022上·福建龙岩·九年级校考阶段练习）（1）已知：如图，求作内切圆．（2）已知：如图，过点P求作的切线．

【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）圆心到各边的距离相等，所以要作各内角的角平分线的焦点，交点就是内切圆的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离．（2）利用直径上的圆周角是直角，构造直角，利用切线的定义判断即可．【详解】（1）解：作图如下：

步骤：第一步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于的长为相同半径分别画弧使其相交于点P，连接；第二步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于长为相同半径分别画弧使其相交于点，连接；第三步：确定圆心．和的交点就是内切圆的圆心；第四步：确定半径．过点圆心作的垂线，垂足为点，以点为圆心，以大于的长为半径画弧，交于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，使其相交于点，连接，交于点，点就是垂直于的垂足．第五步：连接，以点为圆心，以的长为半径画圆，即为所求．（2）如图，直线即为所求作．

步骤：第一步：连接，作的垂直平分线l，交于点A；第二步：以A为圆心，为半径作圆，交于点M；第三步：作直线，则直线即为的切线．【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆的尺规作图法，明确内切圆圆心是三角形各内角角平分线的交点是解决本题的关键．也考查了圆的切线判定，基本作图，切线的定义．2．（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）请按下列要求作图．

(1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线；(2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图：（1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可；（2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：如图，直线即为所求：

（2）解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示：

3．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：

(1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线；(2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了作图−复杂作图、也考查了切线的判定．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作（1）以为圆心，大于为半径画弧，再以为圆心，适当长度为半径画弧，分别相交于点M、N，连接，点P在直线（直线）上，即可得直线过P点作的切线得到直线；（2）连接，作的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，为半径作圆交于A、B，则直线、满足条件．【详解】（1）解：如图①，切线为所作：

（2）解：如图②，切线为所作：

1．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）已知的直径为10，直线l与相交，则圆心O到直线l的距离可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线和相交②直线和相切③直线和相离．根据直线和相交，即可判断．【详解】解：的直径为10，的半径为5，直线与相交，圆心O到直线的距离的取值范围是，只有选项A符合题意，故选：A．2．（2023·广东云浮·统考一模）如图，切于C，点D从C出发，以每秒的速度沿方向运动，运动1秒时，运动2秒时长是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查切线的性质、勾股定理，掌握切线性质是关键．先证得，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵切于C，∴，∵点D从C出发，以每秒的速度沿方向运动，∴运动1秒时，又∵运动1秒时，∴在中，由勾股定理得：，∵运动2秒时长为，∴此时．故选：C．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，是的外接圆，为的切线，经过圆心O，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先根据切线的性质和三角形内角和定理求出，再由平角的定义求出，则由圆周角定理可得．【详解】解：如图所示，连接，∵为的切线，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．4．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图所示，为的直径，C、D是上的点，，垂足为点G，，过点C作的切线交延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为的角的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】由圆周角定理得，由等腰三角形性质得，由切线性质及已知可得，从而可得答案．【详解】解：∵，∴；∵，∴，∴；∵为切线，，∴，∴；即所有为的角有；故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，切线性质、直角三角形性质；题目虽简单，但运用的知识点较多．5．（2024上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，D为边的中点，以上一点O为圆心的和，均相切，则的半径为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】本题考查了切线的性质与三角形的面积．注意运用切线的性质来进行计算或论证，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．首先过点O作于点E，于点F根据切线的性质，可知、是的半径；然后由三角形的面积间的关系，列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【详解】解：过点O作于点E，于点F，、是的切线，点E、F是切点，、是的半径；，在中，，，，根据勾股定理，得，D是边的中点，，又，，即，解之得：故选：A6．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图，在中，，，．O是边上一点，以点O为圆心，长为半径在边的右侧作半圆O，交边于点P，交边于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（

）结论Ⅰ：当的长度最短时，半圆O的半径为结论Ⅱ：当时，与半圆O相切，且A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对【答案】C【分析】当时，的长度最短，由是的直径，得，则，可知此时点P与点B重合，由，，求得，则半圆O的半径为，可判断结论Ⅰ正确；当时，连接，因为，所以是等边三角形，则，所以，而，则，所以，可证明与半圆O相切，且，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案．【详解】解：如图1，当时，的长度最短，∵是的直径，∴，∴，∴点P与点B重合，∵，，，∴，∴，∴，∴半圆O的半径为，故结论Ⅰ正确；当时，如图2，连接，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，且，∴与半圆O相切，∵，∴，∴，故结论Ⅱ正确，故选：C．【点睛】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．7．（2023上·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是．【答案】相离【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线与的位置关系是相离．【详解】解：的半径为2，圆心到直线的距离为4，直线与的位置关系是相离．故答案为：相离．8．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，过点D作的切线，切点为C，若，．【答案】【分析】本题主要考查圆的切线性质定理，连接，由题意易得，，然后根据直角三角形的性质可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：．9．（2023上·广东湛江·九年级岭师附中校考阶段练习）在中，．则当最大时，的长为．【答案】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；由知点C在以B为圆心半径为4的圆上运动，则与圆相切且切点为C点时，最大，由勾股定理即可求得的长．【详解】解：∵，∴点C在以B为圆心半径为4的圆上运动，∴当与圆相切且切点为C点时，最大，∴，由勾股定理得：；故答案为：．10．（2023上·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为．

【答案】【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质．根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．【详解】解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．11．（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为，此时长度为．【答案】816【分析】连接，，由题意知，，，由三角形三边关系可知：，当点在射线上时取最大值，如图，由，，可知点为斜边的中点，可知，则当长度为最大值时，可得，即可求解．【详解】解：连接，，∵已知，∴，又∵以点为圆心的圆与轴相切，∴得半径为3，则，由三角形三边关系可知：，当点在射线上时取最大值，如图，即：长度的最大值为8，又∵，，则点为斜边的中点，∴，∴当长度为最大值时，，故答案为：①8，②16．【点睛】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，三角形的三边关系，斜边的中线等于斜边的一半，利用三角形的三边关系找到的最大值是解题的关键．12．（2023上·北京西城·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接，．若，，则我们把叫做点P的“双角坐标”．（1）点的“双角坐标”为；（2）若点P到x轴的距离为1，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的性质，反证法，熟练掌握定义，灵活运用所学知识是解题的关键．(1)设点，过点P作轴于点B，根据定义计算，，解答即可．(2)以为直径作圆，与直线切于点P，此时，反证法，证明其最大，，关键三角形内角和定理，从而确定的最小值．【详解】(1)如图，设点，过点P作轴于点B，∵，点，∴，∴，，∴，故答案为：．(2)以为直径作圆C，与直线：切于点P，连接，则，，∵，∴，∴，∴，同理可证，，∴，设是最大角，连接，与圆C交于点S，连接，则，∵，∴矛盾，假设不成立，故最大，∵，∴故的最小值是．故答案为：．13．（2022上·北京朝阳·九年级校考期末）如图，是的弦，，交于，且，求证：是的切线．

【答案】见解析【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，根据可得，根据等边对等角，可得，，结合对顶角相等，通过等量代换可得，即可证明是的切线．【详解】证明：如图，连接，

，，，，，，，，，，，又是