1.3 解直角三角形（7大题型）（分层练习）（解析版）

第1章解直角三角形1.3解直角三角形（7大题型）分层练习考查题型一解直角三角形的相关应用1．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点A作于A，作于，连接，交于，证明，得，再证明，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，再由弧长公式求解即可．【详解】解：如图，过点A作于A，作于，连接，交于，是等边三角形，，，，，，，是的垂直平分线，，在中，，，，，，，，，，点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，点P的运动路径长为．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点的运动轨迹等知识，确定点的运动轨迹是解本题的关键．2．（21·22下·武汉·一模）如图，已知D为等腰的腰上一点，绕点D逆时针旋转至，连接，，M为的中点，则当时，．

【答案】/0.25【分析】连接，过点E作于点F，根据旋转的性质可得，，推出，则，根据三角形的中位线定理可得，通过证明，可推出，得出，即可求解．【详解】解：连接，过点E作于点F，∵绕点D逆时针旋转至，∴，，则，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴点D为中点，∵M为的中点，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，即，则，∵，，，∴，∴，∴，即，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，相似三角性质对应边成比例．3．（21·22下·芜湖·自主招生）如图所示，已知，且与的距离为2，与的距离为1，正三角形的三个顶点分别在，，上，则．

【答案】【分析】作于．将绕点逆时针旋转60°到，过作的垂线．显然有为等边三角形，，都是有一个角为30°的直角三角形，所以．勾股定理，即可求解．【详解】解：如图所示作于则，将绕点逆时针旋转60°到，过作的垂线，交分别于点，

∴为等边三角形，则∴∵，∴∴，∴，∵，∴故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．考查题型二解非直角三角形1．（2019上·成都·期末）如图，在等腰中，于点，则的值（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．2．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则．【答案】1或13【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解．【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论：①当在的外部时，如图：

∵，∴设，则：，∴，∴，∴，∴；②当在的内部时，如图：

同法可得：，∴；综上：1或13；故答案为：1或13．【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．考查题型三构造直角三角形求不规则图形的边长或面积1．（22·23下·益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果．【详解】解：连接，如图所示

，，，四边形的面积为48故选：A．【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（2022下·哈尔滨·开学考试）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长．【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E由折叠可知：，，∵AN平分∴∴∵∴，∴∴∵，∴∴，∴∴在中，由勾股定理可得：故选：C【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．3．（22·23下·专题练习）如图，在中，，，，则的长为，的面积为．【答案】【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到．【详解】解：过作，如图所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案为：，．【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．考查题型四仰角俯角问题1．（22·23下·日照·阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延长交的延长线于，作于，首先根据坡度求出，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长交的延长线于，作于，

由题意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度约为米．故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（21·22下·武汉·阶段练习）如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门的顶部C的俯角为，底部D的俯角为，如果A处离地面的高度米，则起点拱门的高度为．（结果精确到1米；参考数据：，，）

【答案】6米【分析】作于，则四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，根据正切的定义求出，结合图形计算即可得出答案．【详解】解：作于，则四边形为矩形，

∴，，由题意得：，，∴为等腰直角三角形，，∴米，∴米，∵在中，，∴（米），∴（米），故答案为：6米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【答案】铜像的高度是；【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．【详解】解：由题意得：，，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴铜像的高度是；【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出．考查题型五方位角问题1．（23·24上·石家庄·阶段练习）如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】要求的长，需要构造直角三角形，作辅助线，然后根据题目中的条件利用特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：如图，作于点，

海里,，，，，，，，解得：海里，海里，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用特殊角的三角函数值进行解答．2．（22·23下·清远·三模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为．

【答案】【分析】过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，

在中，海里，，（海里），在中，，（海里），处与灯塔的距离为海里，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向上，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向上，已知该岛周围9海里内有暗礁．

(1)B处离岛C有多远？(2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(3)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险（参考数据：、、）【答案】(1)10海里(2)有危险(3)没有危险【分析】（1）过C作垂直，通过证明，即可求出的长；（2）求出点C到的距离是否大于9，如果大于9则无触礁危险，反之则有；（3）过点C作，首先求出，然后根据三角函数求出的长，进而比较求解即可．【详解】（1）过C作垂直，

为渔船向东航行到C道最短距离∵在A处测得岛C在北偏东的∴又∵B处测得岛C在北偏东，∴，，∴，∴（海里）；（2）∵，∴∴（海里）∴（海里）∵∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；（3）如图所示，过点C作，

根据题意可得，∴，即解得（海里）∵∴没有危险．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据角度得到，再通过三角函数计算出相关距离．考查题型六坡度坡比问题1．（22·23下·广州·一模）如图是一个山坡，已知从处沿山坡前进160米到达处，垂直高度同时升高80米，那么山坡的坡度为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而利用坡度的定义得出答案．【详解】解：由题意可得：（米），则山坡的坡度为：，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键．2．（22·23下·南充·阶段练习）有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm

【答案】280【分析】过点F作于点G，设，利用勾股定理求出和，得到，过点F作于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出的长度，即可得到．【详解】解：如图，为高圆柱，为太阳光，为斜坡，为圆柱在斜坡上的影子，过点F作于点G，

由题意可得：，∵斜坡坡度，∴，∴设，在中，，解得：，∴，∴，过点F作于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，，可知四边形为矩形，∴，

∴，∴，故高圆柱的高度为280cm．故答案为：280．【点睛】本题考查了解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．3．（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？(2)如图2，若在一个坡度为的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？【答案】(1)22米(2)米【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；（2）以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，直线的解析式为，设为抛物线上一点，过点M作轴于F，交于G，则，由可求解．【详解】（1）解：由题意，最低点的横坐标是40，则，（米），答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；（2）解：以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，设此时抛物线的解析式为，由于斜坡的坡度为，且米，∴米，而（米），∴；∵，，坐标两点分别代入解析式中，得，解得，∴，即，即抛物线的顶点坐标为；过点M作轴于F，交于G，∵坡度为，∴（米），∴（米），答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为米．【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．考查题型七解直角三角形的其他应用1．（2022春·云南红河·八年级统考期末）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步(每一步为五尺)，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．无法计算【答案】B【分析】设这个秋千的绳索，得到，求出的值即可．【详解】解：设这个秋千的绳索，则，，，，，，这个秋千的绳索有尺．故选B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，某景区由游客中心A处通往百米观景长廊有两条栈道，且，现需要从游客中心A到观景长廊加修一条栈道，则的最短长度为米．（结果精确到0.1，，）【答案】63.4【分析】根据题意可得当时，最短，设，然后利用三角函数用x表示出，进而构建方程求解即可．【详解】解：当时，最短，设，则在直角三角形中，∵，∴，在直角三角形中，∵，∴，∵，即，∴解得：米；故答案为：63.4．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2022春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）松花江斜拉桥是哈尔滨绕城高速公路西段（瓦盆窑——秦家）项目的重要组成部分，是我省修建的第一座公路斜拉桥，也是哈尔滨市乃至黑龙江省的标志性工程．主桥采用双塔双索面钢—混凝土结合梁斜拉桥，塔墩固结一体、塔与主梁纵向活动支承，属塔墩固结、塔梁支承式半悬浮体系．大桥索塔为门式塔，桥面以上设一道上横梁．全长．图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为128米，请求出索塔高的长．（结果精确到0.1米，）

【答案】109.8米【分析】设的长为x米，运用三角函数表示出的长，列出等式算出，即可解答；【详解】解：设的长为x米，在中，，（米），米，在中，米，米，，，解得：，米，（米），答：索塔BH的长约为109.8米．【点睛】该题主要考查了解直角三角形的应用，解答该题的关键是能够熟练地运用三角函数列出等量关系式．1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由于是等边三角形，还给出，所有考虑直接把转移到一个直角三角形中求解，那么这个角度如何利用，恰好想到过点A作的垂线直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．【详解】∵是等边三角形；∴；过点作的垂线，垂足为；∴；∴；∵；∴；∵；；∴；在中，；在中；；∴；∴；∴；∴；∵；∴；故选．

2．（2023上·江苏南通·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点C作轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得，根据已知易证，从而可得，，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：过点C作轴，垂足为D，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了坐标与图形、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，点B，D分别落在点，处，如果点，，C在同一条直线上，那么的值为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接、、，由题意可知，可设，则可知，，利用正切函数的定义可得关于的方程，可求得的值，再由正切函数的定义可求得答案．【详解】解：如图，

四边形为矩形，，由旋转的性质可得，，设，则，，、、在同一条直线上，且，，，即，解得或小于，不合题意，舍去，，故选B．【点睛】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质及三角函数的定义，利用旋转的性质和正切函数的定义求得矩形的宽是解题的关键．4．（2022下·云南红河·八年级统考期末）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步(每一步为五尺)，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．无法计算【答案】B【分析】设这个秋千的绳索，得到，求出的值即可．【详解】解：设这个秋千的绳索，则，，，，，，这个秋千的绳索有尺．故选B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．（2023下·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延长交的延长线于，作于，首先根据坡度求出，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长交的延长线于，作于，

由题意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度约为米．故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，斜坡的坡度是，如果点B离地面的高度是3米，那么斜坡的长度是米．

【答案】【分析】先根据坡度的定义可得的长，再利用勾股定理求解即可得．【详解】解：∵斜坡的坡度是，∴，，∵点离地面的高度是3米，∴，解得（米），则斜坡的长度是（米），故答案为：．【点睛】7．（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方的点处悬停，此时测得桥两端两点的俯角分别为和，则桥的长度是（结果根据四舍五入法精确到个位，参考数据）．

【答案】/95米【分析】根据俯角定义，过向作垂线，解直角三角形即可得到答案．【详解】解：过作于，如图所示：

测得桥两端两点的俯角分别为和，，，，在中，，，则，解得；在中，，，则，解得；，即桥的长度是，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，准确构造直角三角形求解是解决问题的关键．8．（2023·广东深圳·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点处测得摄像头的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为．【答案】米【分析】由题意得米，分别在和中，利用三角函数求出、，可以得到段的长．【详解】解：由题意得，米，米，在中，，米，在中，，米，米．故答案为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用仰角构建直角三角形是解答本题的关键．在构建的两个直角三角形中，分别利用两个仰角的正切三角函数值，求得相应直角边的长．这里需要熟练掌握特殊角的三角函数值．9．（2023上·上海浦东新·九年级统考期中）如图，在中，，，，点、分别在边、上．将沿着所在的直线翻折，使点的对应点落在边的延长线上．如果平分，那么的长度为．【答案】【分析】由翻折得出，再根据平分，得出，然后借助相似列出方程即可．【详解】解：作于H，在纸片中，，由勾股定理得：，∵将沿翻折得，∴，∵平分，∴，∴，设，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案是：．【点睛】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．10．（2022下·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是．【答案】【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解．【详解】解：过点F作于点G，如图，∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形，∴，，∴，．∵，∴，，∴，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，∵点E是的中点，∴，则，∵，∴，∴，∴，解得：，综上：的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出．11．（2023上·上海松江·九年级统考期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽．【答案】米【分析】此题考查了坡度坡角问题．分别过点、作，，垂足分别为点、，分别在中，在中根据坡度的定义即可求解．注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．【详解】解：分别过点、作，，垂足分别为点、，根据题意，可知米，，，四边形是矩形，米，在中，背水坡的坡度，，米，在中，迎水坡的坡度，米，米，答：坝底的长度为米．12．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）我国在人工智能技术研究领域处于世界领先地位，“中国制造”已向“中国智造”转型，图1是我国自行设计的一款智能手臂机器人，图2是该型号手臂机器人处于工作状态时的示意图，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，，，，过点C作直线垂直工作台于点D，点A，B，C，D，O在同一平面内．(1)求的度数．(2)求机械臂端点C到工作台的距离CD的长．（结果保留根号）【答案】(1)(2)机械臂端点C到工作台的距离的长为【分析】（1）分别延长，交于点P，根据三角形内角和定理求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出结果即可；（2）过点B作直线，分别交直线，于点E，F，证明四边形为矩形，根据三角形函数求出，，最后根据线段之间的关系求出结果即可．【详解】（1）解：如图、分别延长，交于点P．∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）解：如图，过点B作直线，分别交直线，于点E，F，∴，∴四边形为矩形，∴，∵，，，，，∴，，∴，∴．答：机械臂端点C到工作台的距离的长为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角形函数的定义．13．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十中学校考期中）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道的坡度，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，请确定该车库入口的限高（即点D到的距离的值）．【答案】该车库入口的限高为2.4米．【分析】由题意延长交于E，并根据坡度和坡角可得，过点D作于H，根据锐角三角函数即可求出的长．【详解】解：如图：延长交于E，，∴，，，