2023年北京通州初二（下）期中数学试卷（教师版）

第1页/共1页2023北京通州初二（下）期中数学一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.函数的自变量x的取值范围是（）A. B. C. D.全体实数2.如图1所示的是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一．燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为（）A. B. C. D.3.如图所示是围棋棋盘的一部分，将它放置在平面直角坐标系中，若白棋②的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋①的坐标是（）A. B. C. D.4.如图，在中，，，则的度数是（）A.40° B.50° C.60° D.70°5.如图，矩形的对角线相交于点O，，，则矩形对角线的长为（）A.4 B.8 C. D.6.下列命题正确的是（）．A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的四边形是菱形D.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形7.如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（）A. B. C. D.8.如图，若点P为函数图象上的一动点，表示点P到原点O的距离，则下列图象中，能表示与点P的横坐标的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是_______．10.如图，在中，点E在上，平分，若，，则_______．11.函数y=kx(k0)的图象上有两个点A1(，)，A2(，)，当<时，>，写出一个满足条件的函数解析式______________.12.如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是________（写出一个即可）．13.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则方程组的解是__________.14.图中菱形的两条对角线长分别为和，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图所示的图形，则图中菱形的面积等于__________；图中间的小四边形的面积等于__________．15.如图，矩形纸片，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则______，_____．16.如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是________．三、解答题（本题共68分；第17题5分；第18题6分；第19题5分；第20-22题每题6分；第23题5分；第24题6分；第25题7分；第26-27题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.如图，在中，于点E，于点F．求证：．18.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，（1）求点A，B的坐标；（2）画出该函数的图象；（3）点，连结，求的面积．19.下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，交AC于点P；③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；④连接AD，CD．则四边形ABCD是矩形．根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AE，CE，AF，CF．∵AE＝CE，AF＝CF，∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AP＝______．又∵BP＝DP，∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）．20.在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．（1）求点A的坐标及直线的表达式；（2）若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足，求点P的坐标．21.定义：若点P为四边形内一点，且满足，则称点P为四边形的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形的一个“互补点”，若，则；（2）如图2，点P是菱形对角线上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形的一个“互补点”．22.为鼓励市民节约用水，某市自来水公司按分段收费标准收费，如图反应的是每月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．（1）小乐家五月份用水8吨，应交水费多少元？（2）按上述分段收费标准，小乐家三月份交水费36元，问三月份用水多少吨？23.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，点．（1）求k，b的值；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．24.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．25.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中；x…0123…y…12343m1…②描点：根据表中的数值描点，补充描出点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．（2）探究函数性质写出函数的一条性质：．（3）运用函数图象及性质①观察你所画的函数图象，回答问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则；②根据函数图象，写出不等式的解集是．26.如图，正方形中，点P是边上的一点（不与点C、D重合），连接，，O为的中点，过点P作于E，连接．（1）依题意补全图形；（2）求的大小（用含a的式子表示）；（3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．27.在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：如果且（k为正整数），那么称点P为点M关于坐标轴的“k倍距”．（1）①在点，，中，点为原点O关于坐标轴的“1倍距”；②如果点P在函数的图象上，且为原点O关于坐标轴的“2倍距”，求b的取值范围．（2）如果直线上存在点是点关于坐标轴的“2倍距”，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】B【解析】【分析】根据分母为零无意义，可得答案．【详解】解：由题意，得，解得，故选：B．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不等于零得出不等式是解题关键．2.【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和计算公式求解即可．【详解】解：，∴图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为，故选C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键：对于n边形，其内角和为．3.【答案】D【解析】【分析】根据白棋②、③的坐标建立平面直角坐标系即可得到答案．【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，∴黑棋①的坐标是，故选D．【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是正确得出原点的位置．4.【答案】D【解析】【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键．5.【答案】B【解析】【分析】首先根据矩形的性质得到，然后求出，然后证明是等边三角形，即可解决问题．【详解】解：四边形是矩形，，，，是等边三角形，，．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明是等边三角形，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．

故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键．7.【答案】C【解析】【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案．【详解】解：点的坐标为，，四边形是菱形，，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4，即，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8.【答案】A【解析】【分析】当OP垂直于直线y＝kx＋b时，由垂线段最短可知：OP＜2，故此函数在y轴的左侧有最小值，且最小值小于2，从而得出答案．【详解】解：如图所示：过点O作OP垂直于直线y＝kx＋b，

∵OP垂直于直线y＝kx＋b，

∴OP＜2，且点P的横坐标＜0．

故此当x＜0时，函数有最小值，且最小值＜2，根据选项可知A符合题意．

故选：A．【点睛】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由垂线段最短判定出：当x＜0时，函数有最小值，且最小值小于2是解题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.【答案】【解析】【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．10.【答案】1【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明是解题的关键．11.【答案】y=-x(k<0即可)【解析】【分析】根据A1（x1，y1），A2（x2，y2）满足x1＜x2时，y1＞y2判断出函数图象的增减性即可．【详解】解：∵A1（x1，y1），A2（x2，y2）满足x1＜x2时，y1＞y2，

∴函数y=kx（k≠0）满足k＜0

∴y=-x（k＜0即可）；

故答案为y=-x（k＜0即可）．【点睛】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．12.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据菱形的判定即可解．【详解】是平行四边形∴AD∥BC∴∠FAC=∠ECA，∠AFE=∠FEC，∵AO=CO∴△AOF≌△COE(AAS)∴AF=CE又∵AF=CE四边形AECF是平行四边形，又∵∴四边形AECF是菱形．故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定等，熟练掌握菱形判定是解决问题的关键．13.【答案】【解析】【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解.【详解】∵直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，∴方程组的解是.【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键.14.【答案】①.24②.1【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．【详解】∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，∴菱形的面积等于×6×8＝24，菱形的边长等于＝5，∴图2中间的小四边形的面积等于25−24＝1．故答案为：24，1．【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．15.【答案】①.2②.1.5【解析】【分析】根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，则，，则，在中，根据勾股定理求的长即可．【详解】解：在中，，由折叠的性质可得，，∴，，∴，设，则，，在中，，解得，即．故答案为：2，1.5．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是利用勾股定理得到．16.【答案】【解析】【分析】如图所示，过点A作轴于E，过点B作轴于F，过点C作垂直于直线，设一次函数与y轴的交点为D，从而可得的长，再利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图所示，过点A作轴于E，过点B作轴于F，过点C作垂直于直线，设一次函数与y轴的交点为D，把代入得：，，同理可得：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与图形，正确求出相应点的坐标是解题关键．三、解答题（本题共68分；第17题5分；第18题6分；第19题5分；第20-22题每题6分；第23题5分；第24题6分；第25题7分；第26-27题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【解析】【分析】只需要证明，得到，即可证明．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．18.【答案】（1），（2）见解析（3）6【解析】【分析】（1）分别令求解即可；（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；（3）根据三角形的面积求出即可．【小问1详解】解：令，则，解得，令，则，所以，点的坐标为，点的坐标为；【小问2详解】解：如图：【小问3详解】解：，，，，．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法．19.【答案】（1）见解析（2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先利用作法得到EF垂直平分AC，从而得到PA=PC，由于PB=PD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上∠ABC＝90°，即可判断四边形ABCD是矩形．【小问1详解】解：矩形ABCD就是所求作的图形，如图，【小问2详解】CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定、基本尺规作图—垂直平分线的作法、平行四边形的判定等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．20.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入直线中求出点A的坐标，再把点A坐标代入直线中求出直线的解析式即可；（2）分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况，设出点P的坐标，根据利用勾股定理建立方程求解即可．【小问1详解】解：把代入中得，∴，把代入中得，，∴直线的表达式为；【小问2详解】解：当点P在x轴上时，设，∵，∴，解得（舍去）或，∴点P的坐标为；当点P在y轴上时，设，∵，∴，解得（舍去）或，∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．21.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据点P为四边形的一个“互补点”的定义，可得出，从而根据周角的定义可求出结果；（2）根据菱形的性质可证得，再证明，可证得，同理得出，然后证明，即可求证．【小问1详解】解：∵点P为四边形的一个“互补点”，∴，∵，，∴，故答案为：；【小问2详解】证明：如图，连接，∵菱形，∴，∵，∴，∴，同理，∵，∴，∴，即∴点P为菱形的一个“互补点”．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，关键是理解题意，确定“互补点”的实际意义．22.【答案】（1）元（2）14吨【解析】【分析】（1）求出在用水量没有超过10吨时，每吨水的价格，再根据水费每吨水的价格用水量进行求解即可；（2）先求出用水量超过10吨后，超过的部分每吨水的价格，设三月份用水x吨，根据水费超过用水量超过10吨后每吨水的价格用水量建立方程求解即可．【小问1详解】解：从函数图象可知，在用水量没有超过10吨时，每吨水的收费标准一样，∵10吨水应交22元，∴在用水量没有超过10吨时，每吨水的价格是：元，∴小乐家五月份用水8吨，应交水费：元【小问2详解】解：由函数图象可知当用水量超过10吨后，吨水一共花费元，∴用水量超过10吨后，超过的部分每吨水的价格是元，∵，∴小乐家三月份用水量超过10吨，设三月份用水x吨，由题意得，解得，∴三月份用水14吨．【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．23.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）当时，求出的值，然后根据题意列不等式，即可求解．【小问1详解】解：把，代入中得：，∴【小问2详解】解：由（1）得直线的解析式为，当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值要保证时，函数的值不大于函数的值，当时，的取值范围是．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．24.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC=90°，即可得出结论；(2)先证△BCD是等边三角形，得BD=BC=2，再由勾股定理得OC=，则AC=2OC=2，然后由矩形的性质得CE=OD=1，∠OCE=90°，最后由勾股定理即可得出答案．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝OC，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；【小问2详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝2，∴OD＝OB＝1，∴OC＝=，∴AC＝2OC＝，由（1）得：四边形OCED为矩形，∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE==，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．25.【答案】（1）①2；②见解析；③见解析（2）见解析（3）①0；②或【解析】【分析】（1）①直接把代入中求出y的值即可得到答案；②根据①所求描点即可；③用平滑的曲线将所描出的点顺次连接即可；（2）写出一条符合图象的性质即可；（3）①根据函数图象可知，该函数图象关于y轴对称，据此求解即