第01讲变量之间的关系（知识解读达标检测）（原卷版）

第01讲变量之间的关系【题型1常量与变量】【题型2函数的表示方法表格法】【题型3函数的表达式】【题型4函数的图像】【题型5动点问题的函数图像】【题型6分段函数】考点1：变量、自变量、因变量、常量变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。注意：变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.【题型1常量与变量】【典例1】（2023秋•苍梧县期中）在圆的面积计算公式S＝πr2中，r表示半径，则变量是（）A．2 B．S，r C．π，r D．S【变式11】（2023春•招远市期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（）A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间【变式12】（2023春•桥西区校级期中）某学校用100元钱买乒乓球，所购买球的个数w与单价n（元）之间的关系是，其中（）A．100是常量，w，n是变量 B．100，w是常量，n是变量 C．100，n是常量，w是变量 D．无法确定哪个是常量，哪个是变量【变式13】（2023春•任城区期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化，在这个变化过程中，自变量是（）A．热水器里的水温 B．太阳光的强弱 C．热水器的容积 D．太阳照射时间的长短考点2：函数的三种表示方法（1）列表法（用表格）采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。（2）解析法（关系式）关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值（3）图像法（用图象）对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。三种方法的优缺点比较【题型2函数的表示方法表格法】【典例2】（2023春•钢城区期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（）温度/℃﹣20﹣100102030声速/（m/s）318324330336342348A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s【变式21】（2023春•新泰市期末）如表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（）所挂物体重量x（kg）12345弹簧长度y（cm）1012141618A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式22】（2023•花都区一模）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应缴电费y（元）之间的关系：用电量x（千瓦时）12345…应缴电费y（元）0.551.11.652.22.75…以下说法错误的是（）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元 C．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 D．若所缴电费为3.75元，则用电量为7千瓦时【变式23】（2023春•栖霞市期末）在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（100℃），王红家只有刻度不超过100℃的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间t/s010203040油温y/℃1030507090王红发现，烧了110s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（）A．加热10s，油的温度是30℃ B．在一定范围内，每加热10s，油的温度升高20℃ C．估计这种食用油的沸点温度约是230℃ D．加热50s，油的温度是100℃考点3：函数的表示方法：图像法对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点【题型3函数的表达式】【典例3】（2023秋•商河县期末）某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租车行驶的距离为x（x＞3）千米，则需付费用y元与x（千米）之间的关系式是（）A．y＝8+2x B．y＝2+2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x﹣3【变式31】（2022秋•陇南期末）如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可自由转动，在B处用力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为xm，g取10N/kg，则F关于x的函数解析式为（）A． B． C． D．【变式32】（2023秋•鄞州区期末）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油55升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米0.1升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量y（升）关于已行驶的里程x（km）的函数解析式为．【变式33】（2023秋•金湾区期末）长方形的周长为36cm，其中一边长为x（cm），面积为y（cm2），则y与x的关系可表示为．考点4：事物变化趋势的描述对事物变化趋势的描述一般有两种：(1)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；(2)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）.注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.【题型4函数的图像】【典例4】（2023秋•利辛县校级期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（）A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小【变式41】（2023秋•上城区期末）有一块长方形菜园ABCD，一边利用足够长的墙，另三边用长度为20m的篱笆围成，设长方形的长BC为xm，宽AB为ym，则下列函数图象能反映y与x关系的是（）A．B．C．D．【变式42】（2023秋•渝北区期末）周日上午，小张跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小张离公园的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（）A．B． C．D．【变式43】（2023秋•普宁市期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过秒恰好将水槽注满．考点5：估计（或者估算）对事物的估计（或者估算）有三种：1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.【题型5动点问题的函数图像】【典例5】（2023秋•大埔县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P从顶点D出发沿正方形的边运动，路线是D→C→B→A，设P点经过的路程为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．【变式51】（2023秋•泾阳县期末）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B﹣C﹣D﹣A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为（）A．108cm2 B．54cm2 C．48cm2 D．36cm2【变式52】（2023秋•宽甸县期末）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．12 C．6 D．6【变式53】（2023春•曲阜市期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（）A．18 B．20 C．26 D．36【题型6分段函数】【典例6】（2022秋•永春县校级期中）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元．【变式61】（2022•阿坝州）在某火车站托运物品时，不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元．则托运xkg（x为大于1的整数）物品的费用为元．【变式62】（2022秋•城阳区期中）我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分收3%的所得税，如某人的月收入为3860元，则他应缴纳个人工资、薪金所得税为：（3860﹣3500）×3%＝10.8元，如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税33元．那么此人本月工资、薪金收入是元．【变式63】（2022春•华安县校级月考）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准，每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元，超过10吨时，超过部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x＞10），应缴水费y元，（1）写出y与x之间的关系式；（2）某户居民若5月份用水16吨，应缴水费多少元？一．选择题（共8小题）1．（2023秋•潍坊期末）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是（）A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是数量的函数2．（2023秋•溧阳市期末）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（）A． B． C． D．3．（2023秋•桥西区期末）海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）之间有下面的关系：海拔高度h/千米012345…气温t/℃201482﹣4﹣10…下列说法错误的是（）A．其中h是自变量，t是因变量 B．海拔越高，气温越低 C．气温t与海拔高度h的关系式为t＝20﹣5h D．当海拔高度为8千米时，其气温是﹣28℃4．（2023秋•城关区校级期末）某景区有一根长60cm的特大蜡烛，若每小时燃烧4cm，那么蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（小时）之间的函数关系式用图象表示为（）A． B． C． D．5．（2023•蕉城区校级开学）一只兔子和一条小狗同时从同一地点向相同方向出发，它们的运动距离与时间关系图象如图所示，则关于该图象下列说法正确的是（）A．小狗的速度始终比兔子快 B．在前5秒内，小狗比兔子快 C．图中BC段表明小狗的速度是4m/s D．整个过程中小狗和兔子的平均速度相同6．（2022秋•港北区校级期末）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（）A．当x＝6时，y＝10 B．当y＝5时，x＝2 C．y的最大值是10 D．矩形MNPQ的周长是187．（2023•五华区校级开学）学校教学楼有4层，小青第一节课在四楼上数学课，第二节到二楼上艺术课，第三节到三楼上科学课，中午到一楼食堂吃饭．下面能较准确地描述这件事的是图（）A． B． C． D．8．（2023秋•明光市期中）星期天，小马同学骑自行车到图书馆看书，在图书馆看了一会儿书后突然有急事回家，他按原路快速骑自行车回家，下列图象能大致表示出小马同学离家的距离y（km）与时间x（h）之间的关系的是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）9．（2023秋•无锡期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是．10．（2023秋•莱芜区期末）“元旦”期间，小明一家人开车到滑雪场滑雪，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶40千米时，发现油箱余油量为35升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式为．11．（2023春•锦江区校级期中）如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为．12．（2023秋•百色期中）一个长方形的面积为12，一边长为x，另一边长为y，则y与x的函数关系式是．13．（2023春•周村区期末）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，图象如图