等差数列与等比数列 高三数学二轮复习专题

等差数列与等比数列考情预览

明确考向1.[等比数列基本量](2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6等于(

)A.14 B.12 C.6 D.3√√2.[等比数列的性质](2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8等于(

)A.120 B.85 C.-85 D.-120√3.[等比数列的判断与基本量运算](2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k等于(

)A.2 B.3 C.4 D.54.[等差数列基本量](2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5等于(

)A.25 B.22 C.20 D.15√考法聚焦

讲练突破热点一等差、等比数列的基本运算(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量,首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn-1(p,q≠0)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.热点训练1

(1)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为

.

(2)(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=

,数列{an}所有项的和为

.

48384热点二等差、等比数列的性质(2)前n项和的性质:①对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列;对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列(q=-1且m为偶数的情况除外).②对于等差数列,有S2n-1=(2n-1)an.√(2)(2023·四川德阳统考一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=5,S10=30,则S15等于(

)A.90 B.125 C.155 D.180解析:(2)因为等比数列{an}的前n项和为Sn,所以S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,因为S5=5,S10=30,所以S10-S5=25,则S15-S10=25×5=125,故S15=125+30=155.故选C.√(3)(2023·宁夏银川联考一模)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于(

)A.n(2n-1) B.(n+1)2C.n2 D.(n-1)2√等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系,抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解.(2)用性质,数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.A.3 B.12 C.18 D.24√√热点三等差、等比数列的判断与证明证明数列为等差(比)数列,一般使用定义法.(1)证明:{an}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.(2){an}为等比数列,可推出a1,a2,a3成等比数列,但a1,a2,a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.(3)证明{an}不是等比数列可用特值法.热点训练3若数列{an}满足:a1=1,a2=5,对于任意的n∈N*,都有an+2=6an+1-9an.(1)证明:数列{an+1-3an}是等比数列;(1)证明:由an+2=6an+1-9an,得an+2-