山西省大同市2023年数学九年级上册期末学业水平测试试题含解析

山西省大同市2023年数学九上期末学业水平测试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在一ABC中，中线AD,BE相交于点F,EG//BC,交于AD于点G,下列说法①8£>=2GE；②AF=2ED;

③一AGE与.6/万面积相等；④.ABE与四边形DCEF面积相等.结论正确的是（）

A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④

2.若抛物线y=-x2+bx+c经过点（-2,3）,贝（I2c-4b-9的值是（）

A.5B.-1C.4D.18

3.下列事件为必然事件的是（）

A.袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球

B.三角形的内角和为180。

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告

D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上

4.若数据2,x,4,8的平均数是4,则这组数据的中位数和众数是（）

A.3和2B.4和2C.2和2D.2和4

X

5.要使分式有意义，则x应满足的条件是（）

X—2

A.x<2B.x#2C.xNOD.x>2

6.抛物线y=2（x-2/-1的顶点坐标是（)

A.(0,-1)B.(-2,-X)C.(2,-1)D.(0,1)

7.在平面直角坐标系内，将抛物线y=2f—1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新的抛物线，这

条新抛物线的顶点坐标是（）

A.(—2,4)B.(2,-4)C.(2,-3)D.(-2,3)

8.如图，以点O为位似中心，把AABC放大为原图形的2倍得到以下说法中错误的是（）

A.AABC^AAB-CB.点C、点O、点C三点在同一直线上C.AO：AA'=1：2D.AB/7AB'

9.将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的

概率大约为（）

10.如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8",,水流在离喷出口的

水平距离1.25”?处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3,”的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落

水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75机，则应

把出水口的高度调节为高出水面（）

A.0.55米B.—米C.——米D.0.4米

3030

11.在一个不透明的袋子中共装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球,

若随机摸出一个红球的概率为1，则这个袋子中蓝球的个数是（）

4

A.3个B.4个C.5个D.12个

12.三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形的面积之比等于（）

A.1：72B.1：2C.1：4D.1：1.6

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知一组数据：4,4,m,6,6的平均数是5,则这组数据的方差是.

14.已知△ABCs^AB'C',SAABC：SAABC'=1：4,若AB=2,则A'B'的长为.

15.如图，A。、AE>CB均为。。的切线，D、E、尸分别是切点，AD=5,则AABC的周长为

16.一个正“边形的一个外角等于72°,则“的值等于.

17.如图，王师傅在一块正方形钢板上截取了4c加宽的矩形钢条，剩下的阴影部分的面积是96CTW2,则原来这块正

方形钢板的边长是<

18.如图，AB〃CD〃EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么^—的值等于

CE

三、解答题（共78分）

k

19.（8分）如图，已知双曲线％=、与直线%=，a+人交于点4。，4）和点8（3一1）

（1）求双曲线的解析式；

k

（2）直接写出不等式ox+8〈一的解集

x

20.（8分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，

如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割

线.

（1）如图1,在△ABC中，ZA=40°,NB=60。，当NBCD=40。时，证明：CD为△ABC的完美分割线.

图I

（2）在△ABC中，ZA=48°,CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以AC为底边的等腰三角形，求NACB的度

数.

（3）如图2,在AABC中，AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割线，△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求

CD的长.

困2

21.（8分）已知方程/nd+（血一3）x-3=0是关于x的一元二次方程.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个根之和等于两根之积，求，”的值.

22.（10分）计划开设以下课外活动项目：A一版画、B一机器人、C一航模、D—园艺种植.为了解学生最喜欢

哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅

不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有—人；扇形统计图中，选“D—园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是一。

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校学生总数为1500人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数

23.（10分）A,B,C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人，

以后的每一次传球都是由接球者将球随机地传给其余两人中的某人。请画树状图，求两次传球后，球在A手中的概率.

24.（10分）如图，在8x8的正方形网格中，△AOB的顶点都在格点上.请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使

两个图形以点O为位似中心，且所画图形与AOAB的位似为2：1.

25.(12分)已知，点P是等边三角形AABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60。到AQ,连接PQ、QC.

(1)求证：△BAPgZkCAQ.

(2)若PA=3,PB=4,ZAPB=150°,求PC的长度.

26.一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同.请用列表法或画树形图法求

下列事件的概率：

⑴搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球.

(2)搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球.

(3)再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为,求放入了几个黑球？

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】。，石为BC,AC中点，可得=EC,=DC;由于GE8C,可得AE:=1:2；可证必=2GE故①正确.②

由于G£5O=1:2,则GF:FD=1:2可证A尸=2/T>,故②正确.设SGKF=X,,可得

SBDF=4x,SABF=8x,SAGE=3x,S四迦^可判断③错，④正确.

【详解】解：①：RE为BC,AC中点,

:.AE=EC,BD=DC-,

GEBC,

AE:AC=1:2；

:.GE:CD=l:2,GE:BD=l:2,:.BD=IGE.故①正确.

②GE:BD=1:2,.-.GF:FD=1:2,

GA.GD=］：］,:.AF:FD=2.},:.AF=2FD，故②正确.

③©设S.GEF~x,贝!lSRDF=4x,5ABF=8x,SAGE=3x,S喇形比上广=8x,

故③错，④正确.

【点睛】

本题考查了平行线段成比例，解题的关键是掌握平行线段成比例以及面积与比值的关系.

2、A

【解析】•••抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3),

-4-2b+c=3,即c-2b=7,

:.2c-4b-9=2(c-2b)-9=14-9=5.

故选A.

3、B

【解析】确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定

条件下，一定不发生的事件；

【详解】A.袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；

B.三角形的内角和为180。是必然事件；

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；

D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；

故选：B.

【点睛】

此题考查随机事件，解题关键在于掌握其定义

4、A

【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x的值，再将数据按从小到大

排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数.

【详解】这组数的平均数为——--=4,

解得：x=2；

所以这组数据是：2,2,4,8；

中位数是(2+4)+2=3,

2在这组数据中出现2次，4出现一次，8出现一次，

所以众数是2；

故选：A.

【点睛】

本题考查平均数和中位数和众数的概念.

5、B

【解析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为L

【详解】解：..、―丹，

：.x^2,

故选B.

【点睛】

本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为1时，分式有意义.

6、C

【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.

【详解】解：：顶点式＞="(*-入户+左，顶点坐标是(九k),

：.y=2(x-2产-1的顶点坐标是(2,-1).

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.

7、B

【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即

可.

【详解】抛物线y=2/一1的顶点坐标为(0,-1),

二•向右平移2个单位，再向下平移3个单位，

...平移后的抛物线的顶点坐标为(2,-4).

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.

8、C

【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案.

【详解】解：•••以点O为位似中心，把AABC放大为原图形的2倍得到AA4TC,

AAABC^AA'B'C,点O、C、C'共线，AO：OA'=BOsOB=1:2,

.".AB/7AB',AO；OA'=1:1.

:.A、B、D正确，C错误.

故答案为：C.

【点睛】

本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键.

9、B

【解析】连接AOuAO2,OQ2,BO”推出AAOQ2是等边三角形，求得NAOiB=120。，得到阴影部分的面积=仝-且

32

于是得到结论.

解：连接AOi,AO2,O1O2,BOi,则O1O2垂直平分AB

AOI=AO2=OIO2=BOI=1,

...△AOiCh是等边三角形,

:.ZAOIO2=60°,AB=2AOisin60°=2xlx3=G

2

...NAOiB=120。，.•.阴影部分的面积=2x(120*1：

3602232

.•.空白部分和阴影部分的面积和=22-（&-走）=±兀+迫,

3232

2?r_V3

二骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为二一堂

4V34

—兀+_

32

故选B.

【点睛】

此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.

10、B

【分析】如图，以。为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x=1.25=3，A(0,0.8),C(3,0),列

4

方程组求得函数解析式，即可得到结论.

【详解】解：如图，以。为原点，建立平面直角坐标系，

由题意得，对称轴为x=L25=*,A(0,0.8),C(3,0),

4

设解析式为y=ax2+bx+c,

'9a+3b+c=0

b5

--------,

2a4

c-0.8

8

a=-----

15

解得：〈b^-

3

4

c=­

5

844

所以解析式为：y-------x2+—x+—

1535

当x=2.75时，y=~,

30

1311

...使落水形成的圆半径为2.75m,则应把出水口的高度调节为高出水面08--=—,

本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题

的关键

11、B

【分析】设蓝球有X个，根据摸出一个球是红球的概率是,，得出方程即可求出X.

4

31

【详解】设蓝球有X个，依题意得一=—=一

3+5+x4

解得x=4,

经检验，x=4是原方程的解，

故蓝球有4个，选B.

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.得到所求的情况数是解决本

题的关键.

12、C

【分析】中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形相似，根据中位线定理，可得两三角形的相似比，进而

求得面积比.

【详解】根据三角形中位线性质可得，小三角形与原三角形相似比为1：2,则其面积比为：1：4,

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形中位线的性质，比较简单，关键是知道面积比等于相似比的平方.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、0.8

22

【分析】根据平均数是5,求m值，再根据方差公式计算，方差公式为：S=^[|v,-xy+(x2-x)+

(最表示样本的平均数，n表示样本数据的个数，S2表示方差.)

【详解】解：:*4,%,6,6的平均数是5,

，4+4+m+6+6=5X5,

:.m=5,

二这组数据为4,4,m,6,6,

：.S25)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(6-5)2=0.8,

即这组数据的方差是0.8.

故答案为：0.8.

【点睛】

本题考查样本的平均数和方差的定义，掌握定义是解答此题的关键.

14、1

【分析】由相似三角形的面积比得到相似比，再根据AB即可求得A，B，的长.

【详解】解：VAABC^AA'B'C',且SAABC：SAAB"C'=1：b

AAB：A'B'=1：2,

VAB=2,

.,.AE=1.

故答案为1.

【点睛】

此题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

15、1

【分析】根据切线长定理得：EC=FC,BF=BD,AD=AE,再由AABC的周长代入可求得结论.

【详解】解：：AD,AE、CB均为OO的切线，D,E,F分别是切点，

/.EC=FC,BF=BD,AD=AE,

•.,△ABC的周长=AC+BC+AB=AC+CF+BF+AB,

:.AABC的周长=AC+EC+BD+AB=AE+AD=2AD,

VAD=5,

.'.△ABC的周长为1.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

16、1.

【分析】可以利用多边形的外角和定理求解.

【详解】解：•••正”边形的一个外角为72°,

二"的值为360°+72°=1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键.

17、12

【分析】设原来正方形钢板的边长为xcm,根据题意可知阴影部分的矩形的长和宽分别为xcm,(x-4)cm,然后根据题意列

出方程求解即可.

【详解】解：设原来正方形钢板的边长为xcm,根据题意可知阴影部分的矩形的长和宽分别为xcm,(x-4)cm,根据题意可

得：

x(x-4)=96

整理得：x2-4%-96=0

解得：％=12;々=-8(负值舍去)

故答案为：12.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出阴影部分的面积的方程是本题的解题关键.

3

18、一

5

【详解】'.,AB//CD//EF,

.BCADAG+GO_3

"'~CE~~DF~DF--5'

3

故答案为g.

三、解答题(共78分)

4

19、(1)y=—;(2)0<x<l或x<T

x

【分析】(1)将点A坐标代入双曲线解析式即可得出k的值，从而求出双曲线的解析式；

(2)求出B点坐标，利用图象即可得解.

k

【详解】解：(1)・・•双曲线*=—经过点A(L4),Z=4xl=4.

x

4

，双曲线的解析式为y=—

x

(2)由双曲线解析式可得出B(-4,-1),结合图象可得出，

不等式好+。<"的解集是：0cx<1或x<4

x

【点睛】

本题考查的知识点是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是从图象中得出相关信息.

20、(1)证明见解析；(2)ZACB=96°；(3)CD的长为豆-1.

【分析】(1)根据三角形内角和定理可求出NACB=80。，进而可得NACD=40。，即可证明AD=CD,由NBCD=NA=40。,

NB为公共角可证明三角形BCDs^BAC,即可得结论；

(2)根据等腰三角形的性质可得NACD=NA=48。，根据相似三角形的性质可得NBCD=NA=48。，进而可得NACB

的度数；

(3)由相似三角形的性质可得NBCD=NA,由AC=BC=2可得NA=NB,即可证明NBCD=NB,可得BD=CD,根

据相似三角形的性质列方程求出CD的长即可.

【详解】(1)VZA=40°,ZB=60°,

:.ZACB=180o-40°-60o=80°,

VZBCD=40°,

二ZACD=ZACB-ZBCD=40°,

，NACD=NA,

.,.AD=CD,即4ACD是等腰三角形，

VZBCD=ZA=40°,NB为公共角，

/.△BCD^ABAC,

:.CD为△ABC的完美分割线.

(2),••△ACD是以AC为底边的等腰三角形，

.*.AD=CD,

.,.ZACD=ZA=48°,

VCD是△ABC的完美分割线，

/.△BCD^ABAC,

.*.ZBCD=ZA=48O,

ZACB=ZACD+ZBCD=96°.

(3),.,△ACD是以CD为底边的等腰三角形，

.♦.AD=AC=2,

VCD是AABC的完美分割线，

/.△BCD^ABAC,

CDBC

.•.ZBCD=ZA,——=——，

ACAB

VAC=BC=2,

/.ZA=ZB,

.,.ZBCD=ZB,

.•.BD=CD,

CDBCCD2

••-----=--------------，即an----=------->

ACAD+CD22+CD

解得：CD=V5-1^CD=-V5-1(舍去)，

ACD的长为0-1.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，正确理解完美分割线的定义并熟练掌握相似三角形的

性质是解题关键.

21、（1）详见解析；（2）1.

【分析】（D根据一元二次方程根的判别式，即可得到结论；

—33

（2）由一元二次方程根与系数的关系，得用+々=-----进而得到关于m的方程，即可求解.

mm

【详解】（1）•••方程如?+（加一3）%-3=0是关于x的一元二次方程，

:.f

,:△=（m—3）2—4x3）=（帆+3）2>0,

，方程总有两个实根；

（2）设方程的两根为西，％，

m-33

则%=------，%•/=----

m-m

„_OO

根据题意得：———=解得：叫=6,网=0（舍去），

mm

二m的值为i.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解

题的关键.

22、（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人.

【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°,即可求得这次被调查的学生数，再用360。乘以D人数占

总人数的比例可得；

（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；

（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得.

【详解】（1）•••A类有20人，所占扇形的圆心角为36。，

...这次被调查的学生共有：20+至=200（人）；

360

选“D—园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360。X翡40=72。，

故答案为:200、72；

（2）C项目对应人数为：200-20-80-40=60（人）；

补充如图.

答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人.

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

1

23、一

2

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在A手中的情况，再利

用概率公式即可求得答案

【详解】解：列树状图

…八/'

第一次ACAB

一共有4种结果，两次传球后，球在A手中的有2种情况，

21

AP（两次传球后，球在A手中的）一=一.

42

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件