河北省定州市2023年九年级数学第一学期期末考试试题含解析

河北省定州市2023年九年级数学第一学期期末考试试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在AABC中，NC钻=65。，将AA8C在平面内绕点A旋转到AAB'C的位置，使CC'〃AB,则旋转角

C.65°D.50°

2.一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球

若干，已知随机摸出一个球是红球的概率是1,则随机摸出一个球是蓝球的概率是（）

3

2124

A.-B.-C.-D.一

3399

3.如图，四边形A5C。内接于。O,连接。5、OD,若ZBCD,则NA的度数为（）

A.60°B.70°C.50°D.45°

4.下列事件中，是随机事件的是（）

A.任意一个五边形的外角和等于540°

B.通常情况下，将油滴入水中，油会浮在水面上

C.随意翻一本120页的书，翻到的页码是150

D.经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯

5.将一元二次方程4/+7=3x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）

A.4,3B.4,7C.4,-3D.4x23x

6.2sin600+V3^T（）

A.2A/3B.2C.3D.3A/3

7.点M（—sin300,cos30。）关于x轴对称的点的坐标是（）

（6

D.

8.已知关于x的方程/+奴+人=0有一个根是反。声0）,则。+人的值是（）

1

A.-1B.0C.—D.1

2

9.如图，点A,8的坐标分别为（0,8）,（10,0）,动点C,O分别在04,03上且CD=8,以C。为直径作。P交

48于点E,F.动点C从点。向终点A的运动过程中，线段E尸长的变化情况为（）

C.先变小再变大D.先变大再变小

10.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）

X•・・-1012・・・

y・・・-5131・・・

A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当x=3时，yVOD.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根

11.如图，抛物线的图像交x轴于点4（-2,0）和点3,交y轴负半轴于点C,且OB=OC,下列结论错误的是（）

£

C.4a—2Z>+c=0D.ac-b-\

12.下列说法正确的是（）

A.经过三点可以做一个圆B.平分弦的直径垂直于这条弦

C.等弧所对的圆心角相等D.三角形的外心到三边的距离相等

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是边CD上一点，EF上AE交BC于点F,则5长的取值范

围是

AD

14.已知直线丫=1«（导0）经过点（12,-5）,将直线向上平移m（m>0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6

的。O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为.

15.已知关于x的方程/一2%+加=0有两个不相等的实数根，贝卜〃的取值范围是.

16.过。O内一点M的最长弦为10cm,最短弦为8cm,则OM=cm.

17.一组数据6,2,-1,5的极差为.

18.方程（%一加）（％—3）=0和方程％2一2》一3=0同解，机=.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图1,点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0,4）,M是线段AB的中点.将点M绕点A顺

时针方向旋转90。得到点C,过点C作x轴的垂线，垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,点D是

点A关于直线CF的对称点.连结AC,BC,CD,设点A的横坐标为t,

困1图2

（1）当t=2时，求CF的长；

（2）①当t为何值时，点C落在线段CD上；

②设ABCE的面积为S,求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2,当点C与点E重合时，将ACDF沿x轴左右平移得到ACDF,再将A,B,C',?E为顶点的四边形沿

CF剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出符合上述条件的点C'

坐标，

20.（8分）如图，-ABO与一CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE.

求证：FD=BE.

21.（8分）先阅读下列材料，然后解后面的问题.

材料：一个三位自然数嬴（百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c）,若满足a+c=b,则称这个

三位数为“欢喜数”，并规定F（正）=ac.如374,因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位

上的数字7,所以374是“欢喜数”，，F（374）=3x4=1.

（1）对于“欢喜数嬴”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数嬴”能被99整除；

（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数"m,n（m>n）,若F（m）-F（n）=3,求m-n的值.

22.（10分）（2011四川泸州，23,6分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7,乙口袋中装有两

个相同的小球，它们的标号分别为4和5,丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3,8,1.从这3个口袋

中各随机地取出1个小球.

（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？

（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率.

23.（10分）科研人员在测试火箭性能时，发现火箭升空高度〃（攵加）与飞行时间（s）之间满足二次函数

〃=—产+200—9920.

（1）求该火箭升空后飞行的最大高度；

（2）点火后多长时间时，火箭高度为44初2.

24.（10分）如图，OO的直径AB与弦CD相交于点E,且DE=CE,0O的切线BF与弦AD的延长线交于点F.

A

(1)求证：CD〃BF；

(2)若。O的半径为6,NA=35°,求的长.

25.(12分)如图，是〉0内接三角形，点D是BC的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.

(1)如图1,画出弦AE,使AE平分NBAC；

(2)如图2,NBAF是AABC的一个外角，画出NBAF的平分线.

26.如图，在A6C中，ZABC=90°,。是A8C外接圆，点。是圆上一点，点。，3分别在AC两侧，且

BD=BC,连接AD,BD,OD,CD,延长CB到点P,使ZAPB=NDCB.

(1)求证：AP为一)。的切线；

(2)若，。的半径为1,当OED是直角三角形时，求A3c的面积.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1,D

【分析】根据旋转的性质得出ABC^,AB'C',利用全等三角形的性质和平行线的性质得出

/CCA=NCCA=65°,即可得出答案.

【详解】根据题意可得二ABC

/./CAB=NC'AB=65°,AC=AC'

又CC〃A8

.•./CAB=/C'CA=65°

NCC'A=NCCA=65°

:.NCAC=180。-/CC'A-/CCA=50°

故答案选择D.

【点睛】

本题考查的是旋转和全等，难度适中，解题关键是根据图示找出旋转角.

2、D

【分析】先求出口袋中蓝球的个数，再根据概率公式求出摸出一个球是蓝球的概率即可.

【详解】设口袋中蓝球的个数有x个，根据题意得：

3」

3+2+x3

解得：x=4,

44

则随机摸出一个球是蓝球的概率是-------=一；

4+3+29

故选：D.

【点睛】

本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

3、A

【分析】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可.

【详解】设NBAD=x,贝！|NBOD=2x,

VZBCD=ZBOD=2x,ZBAD+ZBCD=180°,

.,.3x=180°,

.•,x=60°,

ZBAD=60°.

故选：A.

【点睛】

本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

4、D

【分析】根据随机事件的定义，逐一判断选项，即可得到答案.

【详解】•••任意一个五边形的外角和等于540°,是必然事件，

A不符合题意，

•.•通常情况下，将油滴入水中，油会浮在水面上，是必然事件，

••.B不符合题意，

随意翻一本120页的书，翻到的页码是150,是不等能事件，

.♦.C不符合题意，

•.•经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，

.♦.D符合题意，

故选D.

【点睛】

本题主要考查随机事件的定义，掌握必然事件，随机事件，不可能事件的定义，是解题的关键.

5、C

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且降0）特别要注意际0的条件.这是在做题过程

中容易忽视的知识点.在一般形式中ax?叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次

项系数，常数项.

【详解】解：4/+7=3］化成一元二次方程一般形式是4*2-卜+7=0,则它的二次项系数是4,一次项系数是-1.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式.

6、A

【分析】先计算60度角的正弦值，再计算加减即可.

【详解】2sin600+G=2x@+G=2G

2

故选A.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值的计算，能够熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

7、D

【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标x值不变，y值互为相

反数的特点进行选择即可.

【详解】因为sin30=-,cos30=迫，

22

所以-sin30

2

所以点4q，用

（1

所以关于X轴的对称点为-7，-；

I22J

故选D.

【点睛】

本题考查的是特殊角三角函数值和关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握三角函数值是解题的关键.

8、A

【分析】把b代入方程得到关于a,b的式子进行求解即可；

【详解】把b代入收+/,=（）中，得到。2+必+人=0,

,."NO,

，两边同时除以b可得〃+a+l=O,

a+Z?=—1.

故答案选A.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解，准确利用等式的性质是解题的关键.

9、D

【解析】如图，连接OP,PF,作尸"_LA8于点尸的运动轨迹是以。为圆心、。尸为半径的。。，易知E尸=2尸”

-2\JPF2-PH2=V16-PH2，观察图形可知PH的值由大变小再变大，推出EF的值由小变大再变小.

【详解】如图，连接OP,PF,作于

\'CD=S,NCW=90。，

1

：.OP=-CD=4,

2

；•点尸的运动轨迹是以0为圆心。尸为半径的

'：PH±EF,

：.EH=FH,

EF=2FH=2PF2-PH2=46-PH?，

观察图形可知尸”的值由大变小再变大，

:.E尸的值由小变大再变小，

【点睛】

此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知勾股定理及直角坐标系的特点.

10、C

【解析】根据表格的数据，描点连线得，根据函数图像，得：抛物线开口向下；抛物线与y轴交于正半轴；当x=3时,

y<0；方程52+加+c=O有两个相等实数根.故选C.

11,B

【分析】A根据对称轴的位置即可判断A正确；图象开口方向，与y轴的交点位置及对称轴位置可得。>(),c<0,

。>0即可判断B错误；

把点A坐标代入抛物线的解析式即可判断C；把B点坐标(-C,0)代入抛物线的解析式即可判断D；

【详解】解：观察图象可知对称性X=-2＜0,故结论A正确，

2a

由图象可知a＞0,c＜0,b＞0,

巴也＜0,故结论B错误；

C

抛物线经过A（-2,0）,

.-.4a-2b+c=0,故结论C正确，

OB=OC,

.OB=—c9

二点B坐标为（-c,0）,

ac2-bc+c=0＞

:.ac-b+i=0,

ac=b-l,故结论D正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=+法+c（aw0）,二次项系数。决定抛物线的开口方向

和大小：当。＞0时，抛物线向上开口；当。＜0时，抛物线向下开口；一次项系数〃和二次项系数”共同决定对称轴

的位置：当。与b同号时（即劭＞0）,对称轴在）'轴左；当。与b异号时（即而＜0）,对称轴在＞轴右.（简称：左

同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与）'轴交于（o,c）；抛物线与X轴交点个数由△决定：

△=/-4ac＞0时，抛物线与8轴有2个交点；△="_44=0时，抛物线与犬轴有1个交点；△="_44＜（）时，

抛物线与x轴没有交点.

12、C

【解析】根据确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外心的知识进行判断即可.

【详解】解：A、经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，A错误；

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，B错误；

C、等弧所对的圆心角相等，C正确；

D、三角形的外心到各顶点的距离相等，D错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的推论和三角形外心的知识，掌握相关定理并灵活运

用是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、0<CF<-

3

【分析】证明产，利用相似比列出关于AD,DE,EC,CF的关系式，从而求出。厂长的取值范围.

【详解】•:EF上AE

：.ZAEF=9G°

:./AED+NFEC=90。

•.•四边形ABCD是矩形

AZD=ZC=90°

:.ZDAE+ZAED=90°

:.NFEC=NDAE

:.AADESAECF

.ADEC

''~EC~~CF

•6CE

4-CF-CF

〃4CE-CE2-（CE-2]2+4

66

因为0WCEW4

：.Q<CF<-

3

2

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定、解一元二次方程得方法是解题的关键.

14、0<m<

【解析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中

的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答.

【详解】把点（12,-5）代入直线丫=1«得，

-5=12k,

:.k=-；

5

由丫=-X平移m(m>0)个单位后得到的直线1所对应的函数关系式为y=-,x+m(m>0),

1313

设直线1与X轴、y轴分别交于点A、B,(如图所示)

当x=0时，y=m；当y=0时，x=m,

9

A(m,0),B(0,m),

12

B

即OA=m,OB=m,

在RtAOAB中,AB=_________,

:0A-+OfP='仔懦)♦

过点O作ODJ_AB于D,

VSAABO=OD・AB=OA*OB,

a3

OD*=xmxm,

—1—-2JF!—1—13

2»29

*.*m>0,解得OD=m,

13

由直线与圆的位置关系可知m<6,解得mV,

L2:1

»7

故答案为0<m<

【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题

的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.

15>m<1

【详解】根据题意得：△=(-2)2_4xm=4—4m>0,

解得m<1.

故答案为m<l.

【点睛】

本题考查一元二次方程ax2+6x+c=0(a#))根的判别式：

(1)当△="-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;

(2)当△="-4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；

(3)当△="-4acV0时，方程没有实数根.

16、3

【解析】试题分析：最长弦即为直径，最短弦即为以M为中点的弦，所以此时OM=J(?)2-(|)2=3

考点：弦心距与弦、半径的关系

点评：弦心距=J(弩I-半径2

17、7

【解析】根据极差的定义，一组数据的最大值与最小值的差为极差，所以这组数据的极差是7,故答案为:7.

18、-1

【解析】分别求解两个方程的根即可.

【详解】解：(X-租)(x—3)=0,解得x=3或m；x2—2x-3=(x-3)(x+l)=0,解得x=3或-1,则m=-l,

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了运用因式分解法解一元二次方程.

三、解答题(共78分)

,]3

--t2+-t+4(0<t<8)

19、⑵CF=2；(2)①t=26-2;②S=<42.⑶点C'的坐标为:

-t2--t-4(t>8)

(22,2),(8,2),(2,2).

【分析】(2)由RtAABOsRtACAF即可求得CF的长.

(2)①点C落在线段CD上，可得RSCDDsRtABOD,从而可求t的值.

②由于当点C与点E重合时，CE=2,t=OA=8,因此，分0<t«8和t>8两种情况讨论.

(3)分三种情况作出图形讨论即可得到答案.

【详解】解：⑵当t=2时，OA=2,

,:点B(0,2),

.\OB=2.

XVZBAC=90°,AB=2AC,

ARtAABOSRSCAF.

.AF_CF_1

••-----=------=-f

422

CF=2.

(2)①当OA=t时，

VRtAABO^RtACAF,

.,.CF=-t,AF=2.

2

:.FD=2,AF=t+4.

•••点C落在线段CD上，

；.RSCDDSRSBOD.

1

.25t

t+44

整理得F+4t—16=0.

解得L=2后一2/2=-2逐一2(舍去).

二当t=2后一2时，点C落在线段CD上.

②当点C与点E重合时，CE=2,可得t=0A=8.

.•.当0<tW8时，S=：BE-CE=J(t+2)(4—；t]=—；t?+；t+4

当t>8时，S=|BE-CE=1(t+2)|1t-4|=it2-1t-4.

乙乙\乙JI4

13

-1t2+|t+4(0<t<8)

综上所述,S与t之间的函数关系式为s=

(3)(3)点C'的坐标为：(22,2),(8,2),(2,2).理由如下:

如图2,当FC'=A'F时，点F的坐标为(22,0),

根据ACDFgAAHF,ABC'H为拼成的三角形，此时点C'的坐标为(22,,2)

如图2,当点F与点A重合时，点F的坐标为(8,0),

根据AOC'A也ABAC',AOC'D'为拼成的三角形，此时点C'的坐标为(8,,2).

如图3,当BC'=FD'时，点F的坐标为(2,0),

根据ABC'H丝ADFH,AAFC'为拼成的三角形，此时点C'的坐标为(2,,2).

二点C的坐标为：(22,2),(8,2),(2,2).

20、详见解析

【分析】根据中心对称得出OB=OD,OA=OC,求出OF=OE,根据SAS推出△DOFgZkBOE即可.

【详解】证明：:△ABO与ACDO关于O点中心对称，.，.OB=OD,OA=OC.

VAF=CE,/.OF=OE.

'OB=OD

OF=OE

.'.△DOF^ABOE(SAS)./.FD=BE.

21、(1)详见解析；(2)99或2.

【解析】(D首先由题意可得a+c=b,将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数次”能被99整除，所以将展开式中100。

拆成99a+a,这样展开式中出现了a+c,将a+c用方替代，整理出最终结果即可；

(2)首先设出两个欢喜数m、n,表示出尸(机)、F(〃)代入F(m)-F(n)=3中，将式子变形分析得出最终结

果即可.

【详解】(1)证明：•.•嬴为欢喜数，

:.a+c=b.

■:〃力c=100a+10》+c=99a+108+“+c=99a+ll》，b能被9整除，

功能被99整除，99。能被99整除,

，“欢喜数嬴”能被99整除；

(2)设m=a1bq,n=a2hc2(且ai>a2),

F(/n)-F(M)=ai*ci-ai*ci=ai*(b-ai)-az(b-放)=(ai-02)(/>-fli-&)=3,m、02、b均为整数,

...ai-42=1或41-02=3.

m-n=100(ai-«2)-(ai-<12)=99(ai-az)，

in-n=99或m-n-1.

:.若F（m）-F（n）=3,则，的值为99或2.

【点睛】

做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.

22、解：（1）—；（2）一.

62

【分析】（1）根据题意画出树状图，根据树状图进行解答概率；（2）用列举法求概率.

【详解】解：（1）画树状图得

为3893fiQ389389

二一共有12种等可能的结果，取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况,

21

二取出的3个小球的标号全是奇数的概率是：P（全是奇数）===4

126

（2）,这些线段能构成三角形的有2、4、3,7、4、8,7、4、1,7、5、3,7、5、8,7、5、1

共6种情况，

二这些线段能构成三角形的概率为P（能构成三角形）=二=（

122

【点睛】

本题考查概率的计算，难度不大.

23、（1）该火箭升空后飞行的最大高度为80攵加；（2）点火后94s和106s时，火箭高度为44kA.

【分析】（1）直接利用配方法将二次函数写成顶点式，进而求出即可；

（2）把。=44直接带入函数〃=一（/一100）2+80,解得/的值即为所求.

【详解】解：（1）由题意可得：

。=一尸+200/—9920

=-(『-200f+10000)+10000-9920

=-("100)2+80.

,该火箭升空后飞行的最大高度为80Am.

(2)%=44时，

—(—00)2+80=44.

解得：，=94或106.

点火后94s和106s时，火箭高度为44切/.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，明确〃与，的值是解题的关键.

144

24、（1）见解析；（2）3

【分析】（D根据垂径定理、切线的性质求出ABLCD,ABJLBF,即可证明;

（2）根据圆周角定理求出NCOD,根据弧长公式计算即可.

【详解】（1）证明：；AB是。O的直径，DE=CE,

.•.AB±CD,

YBF是。。的切线，

.•.AB±BF,

.♦.CD〃BF；

（2）解：连接OD、OC,

•；NA=35°,

.,.ZBOD=2ZA=70°,

:.ZCOD=