2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一年级下册开学考试数学试题

2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册开学考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“*e(L+0°),e"≥x+l”的否定是()

A.Vx∈(l,+∞),e2^v<x+lB.Vx¢.(l,+∞),e2x<x+1

C.3x∈(l,+∞),e2v<x+lD.3x(l,+∞),e2v≥x+1

【正确答案】A

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.

【详解】命题"3x∈(l,+∞),e2'≥x+l”为存在量词命题，

它的否定是：uVx∈(l,+∞),e2x<x÷lw>

故选：A

2.已知。为实数，A=[x∖l<x<4],5={x∣x-tz≥0},若AuB=B,则。的取值范

围为()

A.(-∞J]B.(-oo,l)C.(l,+∞)D.

[l,+∞)

【正确答案】A

【分析】由给定条件可得/©8,再借助集合的包含关系即可列式计算作答.

【详解】依题意，8={x∣x≥α},因∕u8=8,则4=6,又Z={x∣l<x<4},于

是得α4l,

所以。的取值范围为(-8,1].

故选：A

3.若点(1,1)在直线bx+αy=l(a>O,b>O)上，则工+工的最小值为()

ab

A2B.3C.4D.5

【正确答案】C

【分析】将点(1,1)代入直线方程可得α+6=l,则,+!=L+g(。+b),化简后

ab∖ab)

利用基本不等式可求得结果

【详解】因为点(1,1)在直线反+少=1(。>0,6>0)上,

所以a+6=l,

口、111(ɪ1V,、ba八CbaC“

所以—I—=—I—∖(a+b)=_■I-----F2≥2J——F2=4，

ab∖abJahNab

当且仅当g=2,即α=b=L时取等号，

ba2

所以，+L的最小值为4,

ab

故选：C

4.不等式(x-l)(2x-l)<0的解集是()

A.{x∣l<x<2}B.{x∣x<lj⅛x>2)

1,

C.{x[x<；或x>l}D.<x—<x<l>

2

【正确答案】D

【分析】直接根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】方程(X-I)(2x-l)=0的解为玉=；,%=1，

所以不等式(x—l)(2x—1)<0的解集是<xg<x<l

故选：D.

5.设p:2<x<3,q：x>a,若P是4的充分不必要条件，则实数α的取值范围是()

A.[2,+<x>)B.(―8,2]C.(―∞,3]D.

[3,+∞)

【正确答案】B

【分析】由P是g的充分不必要条件得到两个范围对应集合之间的包含关系，进而得到实数

α的取值范围.

【详解】因为P是4的充分不必要条件，所以{x∣2<x<3}{x∣x>α},所以α≤2,即实

数α的取值范围是(-8,2].

故选：B.

6.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上是单调递增的是()

C.y=e凶D.y=In(JX2+1+X)

【正确答案】C

【分析】根据基本初等函数的单调性结合偶函数的定义和性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,当x>0时，y=^,此时V=B在(°，+°0)上为减函数，故A错误.

对于B,设/(x)=χ2+χ,因为/(-1)=0,/(1)=2,故/(T)≠∕(1),

故y=/+X不是偶函数，故B错误.

对于C,设g(χ)=e闵，此函数的定义域为灭,且g(τ)=e卜M=e闵=g(x),

故g(x)为偶函数，

而x>0时，g(x)=e',此时g(x)=e"在(0,+8)上为增函数，故C满足.

对于D,设〃(X)=In(JX?+1+χ),

因为。(I)=In(√Σ+l)/O,∕z(-l)=ln(^-l)≠O,且〃(1)。〃(一1),

故y=ln(√x2+l+x)不是偶函数，

故选：C.

7.计算Iθg225∙lθg52√∑=()

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】A

【分析】

先化简，再结合换底公式即可求解

2

［详解］Iog225Iog52后=Iog25∙log5=2×-×Iog25×Iog52=3

故选：A

本题考查对数的化简求值，属于基础题

8.已知关于X的不等式，则该不等式的解集为()

A.［-4,+∞)B.(-4,+∞)

C.(-∞,-4)D.(-4,1］

【正确答案】A

【分析】根据指数函数的单调性求得正确答案.

［详解］不等式(∣)jc^4>3-2v即3i>3'2X.

由于y=3*在R上单调递增，所以4-xN-2x,xN-4,

所以不等式的解集为［-4,+8).

故选：A

二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，

有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得

0分.

∖-x,x≤a“、“\

,若/(l)=2∕(0),则实数“可以为()

{，,X>Cl

A.-IB.OC.1D.2

【正确答案】AB

【分析】分加0、O≤a<l,α21三种情况讨论，验证/(1)=2/(0)是否成立，综合可

得出实数。的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】若"0,则/⑼=1,/(1)=2,/⑴=2/(0)成立：

若0≤α<l,则/(O)=L/(1)=2,/(l)=2∕(0)成立；

若α21,则/(0)=l,/(l)=0,/(1)=2/(0)不成立

综上所述，实数“的取值范围是(-力』).

故选：AB.

10.若,<L<0,则下列不等式中正确的是()

ab

A.a+b<abB.∣β∣<∣^∣C.a<bD.

ba.

—+—>2

ab

【正确答案】ABD

【分析】根据不等式基本性质得到b<α<O,则可判断B,C选项，而。+b<O,αb>O则可

判断A选项，根据基本不等式及其成立的条件则可判断D选项.

【详解】∙.∙L<L<0ob<α<0,所以C错误：

ab

Va-∖-h<0.ah>0,.∖a+h<abj所以A正确；

可知∣ɑ∣<∣b∣成立，.∙.B正确;

可知2>o,g>o,2≠q,/+q>2JΣΞ=2,∙∙∙D正确.

abababNab

故选：ABD.

三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.

1-2x,X≤0

H.设函数y(χ)=<2C八，则加(1))=_________

%+x-2,%>0

【正确答案】1

【分析】先求/(ι)再求y(∕(ι))∙

［详解】•••/(1)=12+1-2=0,.∙.ʃ(/(l))ɪ/(θ)=l-2×0=1

故1

2

12.若α>O,α≠1,则函数/(x)=3+Iogu(x+l)的图象恒过定点；当α>1时，

函数/(x)的单调递减区间是.

【正确答案】①.(0,3)②.(-8,0)

【分析】⑴令/(x)=3+1Og(I(X2+1)中真数/+1=］求解即可

(2)利用同增异减的关系，/(x)的单调递减区间与/+1的单调递减区间相同即可.

【详解】⑴令/+ι=ι又χ=0,又/(O)=3+log“(02+1)=3,故图象恒过定点(0,3)

(2)当α>1时logαx为增函数,故/(x)=3+Ioga(V+1)的单调递减区间与/十1的单调

递减区间相同，为(-8,0)

故答案为(1)(0,3)(2).(-8,0)

本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型.

四、解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分.解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

13.已知函数/(x)=2x+∖-.

(I)试判断函数/(χ)在区间(0,；上的单调性，并用函数单调性定义证明；

C1^

(2)对任意Xe0,-时，/(x)≥2-加都成立，求实数团的取值范围.

\2_

【正确答案】(1)在(o，g上单调递减，证明见解析；(2)m≥0.

【分析】(1)利用单调性定义：设o<χ∣</<g并证明/(M),/(M)的大小关系即可.

(2)由(1)及函数不等式恒成立可知：/'(X)min22一加在已知区间上恒成立，即可求加

的取值范围.

【详解】(1)函数/(x)=2x+(在区间(θ,g上单调递减，以下证明：设0<X∣<%≤g,

1

f(x,)-f(x2)^2(xl-x2)+---------=2(项-X2)一———=(x.-x2)2-

Xv2

ɪɪ2)2xlx2\2xlx2

=(x1-x2)f4⅛l'

I2X1X2)

∙.∙0<F<%<5，

：.X1—x2<0,4X1X2-1<0,2X1X2>0,

∙,∙∕(xι)-∕(¾)>0^

.∙.∕(x)=2x+(在区间(0,；上单调递减;

(2)由(2)可知/(x)在(0,；上单调减函数，

1门、

,当X=3时，/(x)取得最小值，即/(XLl=/5=2，

(Il