广东省阳江市第二中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末检测试题含解析

广东省阳江市第二中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末检测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列事件中，必然发生的事件是（）

A.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数

B.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰

C.地面发射一枚导弹，未击中空中目标

D.测量某天的最低气温，结果为-150'C

2.AABC中，ZC=RtZ,AC=3,BC=4,以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D,则AE的长

为（）

3.下列命题中，是真命题的是

A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两条对角线相等的四边形是矩形

C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4.有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是

二=二，二=二；二）以二1=］二二=-三、二＜0,将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出的

卡片上的函数是二随二的增大而增大的概率是（）

A—B.iC.：D,1

5.若扇形的半径为2,圆心角为90°,则这个扇形的面积为（）

71

71C.2万D.47

2

6.直径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A与数轴上的点B

重合，则B表示的实数是（）

A.271—1B.71—1C.1—71D.1-271

7.抛物线y=-3(x-1)2+3的顶点坐标是()

A.(-1,-3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(1,3)

8.如图，。。的圆周角NA=40。，则NOBC的度数为（）

C.40°D.30°

9.下列命题中，真命题是（）

A.所有的平行四边形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似

io.为了估计湖里有多少条鱼，小华从湖里捕上10（）条并做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待带标记的鱼完全

混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，通过这种调查方式，小华可以估计湖里有鱼（）

A.300条B.800条C.100条D.1600条

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在一个不透明的袋子中，装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同。搅匀后从中随机一次摸出两个

球，则摸到的两个球都是白球的概率是一.

12.如图，用长8根的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是

___________a2.（中间横框所占的面积忽略不计）

2

13.如图，AABC中，ZC=90°,sinA=-,D为AC上一点，NBDC=45o,CD=6,贝！JAB=

14.若抛物线＞=2，+6*+,〃与x轴有两个交点，则机的取值范围是

15.如图，AB为。O的直径，C,D是OO上两点，若NABC=50。，则ND的度数为

16.若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根，则k的取值范围是.

17.已知：如图，在平面上将AABC绕B点旋转到AA'3'C'的位置时，AA'//BC,ZABC=65°,则NCBC'为

18.如图，甲、乙两楼之间的距离为30米，从甲楼测得乙楼顶仰角为a=30。，观测乙楼的底部俯角为。=45。，乙楼

的高/«=米（结果保留整数6M.7,72=1.4）.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以。点为坐标原点建立平面直角坐标系四边形。4BC的

顶点A的坐标为（3,2）,顶点3的坐标为（6,2）,顶点。的坐标为（3,0）,请在图中画出四边形OABC关于原点0（0,0）.

对称的四边形。&g。一

20.（6分）如图所示，在等腰△43C中，AB=AC=10cm,BC=16cm.点。由点A出发沿A8方向向点5匀速运动,

同时点E由点5出发沿5c方向向点C匀速运动，它们的速度均为Icm/s.连接OE,设运动时间为f（s）

解答下列问题：

（1）当，为何值时，ZiBOE的面积为7.5CM?；

（2）在点O,E的运动中，是否存在时间f,使得△BOE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间厶若不存在，

请说明理由.

21.（6分）（1）将如图①所示的AABC绕点C旋转180。后，得到ACAS，.请先画出变换后的图形，再写出下列结论正

确的序号是.

①「.ABC空46'C；

②线段48绕C点旋转180。后，得到线段A3，；

③49//A3；

④C是线段3丁的中点.

在第（1）问的启发下解答下面问题：

（2）如图②，在ABC中，ZBAC=120°,。是BC的中点，射线。尸交氏4于E,交C4的延长线于歹，请猜想

N户等于多少度时，BE=CF?（直接写出结果，不需证明）

（3）如图③，在AABC中，如果NA4CW120。，而（2）中的其他条件不变，若8E=CF的结论仍然成立，那么NBAC

与N尸满足什么数量关系（等式表示）？并加以证明.

22.（8分）如图，NM0N=6（）。，。厂平分NM0N,点4在射线OM上，P,0是射线ON上的两动点，点尸在点。

的左侧，S.PQ=OA,作线段。。的垂直平分线，分别交OM,OF,ON于点O,B,C,连接AB,PB.

MM,

备用图

(1)依题意补全图形；

(2)判断线段AB,尸3之间的数量关系，并证明；

(3)连接AP,设忘=左，当尸和。两点都在射线ON上移动时，女是否存在最小值？若存在，请直接写出攵的最

小值；若不存在，请说明理由.

23.(8分)如图，在AABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosNDAC.

(1)求证：AC=BD；

12

(2)若sinC=—，BC=12,求AABC的面积.

24.(8分)如图，BD、CE是ABC的高.

(1)求证：dACESaABD；

(2)若80=8,AD=6,DE=5,求8c的长.

25.(10分)平安超市准备进一批书包，每个进价为4()元.经市场调査发现，售价为5()元时可售出400个；售价每

增加1元，销售量将减少10个.超市若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少

26.(10分)如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形EFGC,点E在AD上.延长AD交FG于点H

(1)求证：ZkEDC纟ZsUFE；

(2)若NBCE=60°,连接BE、CH.证明：四边形BEHC是菱形.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【解析】解：A.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件；

B.通常温度降到0C以下，纯净的水结冰，是必然事件；

C.地面发射一枚导弹，未击中空中目标，是随机事件；

D.测量某天的最低气温，结果为一150℃,是不可能事件.

故选B.

2、C

【分析】在Rt^ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM丄AB,交AB于点M,由垂径定理可得M为

AE的中点，在RtaACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长.

【详解】解：在RtaABC中，

VAC=3,BC=4,

.,.AB=732+42=1-

过C作CM丄AB,交AB于点M,如图所示,

由垂径定理可得M为AE的中点,

1In

VSAABC=-AC*BC=-AB«CM,且AC=3,BC=4,AB=1,

22

/.CM=—，

5

I?

在RtZ\ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2,即9=AM?+（左）2,

9

解得：AM=—,

18

.,.AE=2AM=—.

5

故选：C.

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

3、A

【解析】根据特殊四边形的判定方法进行判断.对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分的四边形是平行四

边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

4、C

【解析】分析：从四张卡片中，抽出二随二的增大而增大的有二=JZ,二=二；-S；!二＞。二=-=：.二＜C共3个,

即从四个函数中，抽取到符合要求的有3个。

•.•四张卡片中，抽出二随二的增大而增大的有二=二二二二二；一3仁二“二二一9:二一共3个，

...取出的卡片上的函数是二随二的增大而增大的概率是:。

5、B

【分析】直接利用扇形的面积公式计算.

【详解】这个扇形的面积：S=丝厂=型②2=》.

360360

故选：B.

【点睛】

本题考査了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是〃。，圆的半径为R的扇形面积为S,则S扇形=±万戸

360

或S扇形=3东（其中/为扇形的弧长）.

6、C

【分析】因为圆沿数轴向左滚动一周的长度是万，再根据数轴的特点及万的值即可解答.

【详解】解：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，

，数轴上表示1的点与点B之间的距离为圆的周长=万，点B在数轴上表示1的点的左边.

，点B对应的数是1—兀.

故选：C.

【点睛】

本题比较简单，考查的是数轴的特点及圆的周长公式.圆的周长公式是：L=27ir.

7、D

【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标.

【详解】解：•；y=-3(x-1)2+3是抛物线的顶点式，

二顶点坐标为(1,3).

故选：D.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中，对称轴为x=h,顶

点坐标为(h,k).

8、B

【分析】然后根据圆周角定理即可得到NOBC的度数，由OB=OC,得到NOBC=NOCB,根据三角形内角和定理计

算出NOBC.

【详解】VZA=40°.

.,.ZBOC=80°,

VOB=OC,

.,.ZOBC=ZOCB=50°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内

角和定理.

9、D

【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

【详解】所有正方形都相似，故D符合题意；

故选D.

【点睛】

此题主要考査命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中

的性质定理.

10、B

【分析】利用样本出现的概率估计整体即可.

【详解】设湖里有鱼x条

根据题意有

10025

--200

解得x=800,

经检验，x=80（）是所列方程的根且符合实际意义,

故选B

【点睛】

本题主要考查用样本估计整体，找到等量关系是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

1

11、一.

3

【分析】用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率.

【详解】解：画树状图如下：

•••一共有6种情况，两个球都是白球有2种，

._2_1

P（两个球都曷白球）=~=—>

63

故答案为：—.

3

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于

两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

吟

【分析】设窗的高度为X，"，宽为'Q_3nr机，根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可.

【详解】解：设窗的高度为X/M,宽为

x(8-2x)2丄8

所以S=-------------,即5=——(x-2)+一，

333

8,

当x=2ni时，S最大值为一加一.

3

故答案为：g.

【点睛】

本题考查二次函数的应用.能熟练将二次函数化为顶点式，并据此求出函数的最值是解决此题的关键.

13、1

【分析】根据题意由已知得aBDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6,又因为已知NA的正弦值，即可求出AB的

长.

【详解】解：,.,NC=90°,ZBDC=45°,

.,.BC=CD=6,

pBC2

又VsinA=-----=—,

AB5

2

.•,AB=64--=1.

5

故答案为：L

【点睛】

本题考查解直角三角形问题，直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用.

9

14、m<—

2

【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于，"的一元一次不等式，解之即可得出，〃的取值范围.

(详解】V抛物线y=2x2+6x+m与x轴有两个交点，

/.△=62-4义2m=36-8机>0,

9

:.m<一.

2

故答案为：机〈三9.

2

【点睛】

本题考査了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=〃-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点”是解答本题的关键.

15、40°.

【解析】根据直径所对的圆心角是直角，然后根据直角三角形的两锐角互余求得NA的度数，最后根据同弧所对的圆

周角相等即可求解.

【详解】...AB是圆的直径，

.,.ZACB=90°,

:.ZA=90o-ZABC=90°-50o=40°.

.,.ZD=ZA=40°.

故答案为：40°.

【点睛】

本题考査了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，理解定理是关键.

16、k<-1.

【分析】若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根，贝!|A=b2-4acV0,列出关于k的不等式，求得k的取值范围

即可.

【详解】1•关于x的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根，

/.△=b2-4ac<0,

即22-4xlx(-k)<0,

解这个不等式得：k<-l.

故答案为：k<-l.

17、1

【分析】结合旋转前后的两个图形全等的性质以及平行线的性质，进行计算.

【详解】解：•••AA/BC,

.•,ZA,AB=ZABC=65°.

,:BA'=AB,

.•.NBA，A=NBAA，=65。，

，NABA，=1。，

又：NA，BA+NABC=NCBC+NABC,

NCBC'=NABA'=1°.

【点睛】

本题考查旋转的性质以及平行线的性质.解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

18、1

【分析】根据正切的定义求出CD,根据等腰直角三角形的性质求出BD,结合图形计算，得到答案.

CD

【详解】解：在RSACD中，tanNCAO=——，

AD

.,.CZ)=AD«tanZCAD=30xtan30o=10V3~17,

在中，ZDAB=45°,

：.BD=AD=30,

：.h=CD+BD^l,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段和角通过三角关系求解.

三、解答题(共66分)

19、答案见解析.

【分析】根据中心对称的性质画出四边形。即可.

【详解】如解图所示，四边形。4片G即为所求.

【点睛】

本题考查的是作图-旋转变换，熟知中心对称图形性质是解答此题的关键.

20、(1)f为3秒时，△8QE的面积为7.3C,”3；(3)存在时间/为型或2秒时，使得△8OE与△A6C相似.

1313

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形5DE边5E的高即可求解；

(3)根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可.

【详解】解：(1)分别过点。、A作。尸丄8C、AGLBC,垂足为RG

如图

,DFBD

*.DF//AG>-----

AGAS

'：AB=AC=10,BC=ll：.BG=8,：.AG=1.

"：AD=BE=t,：.BD=IO-t,

.DF_10-r

,，-6HF

3

解得(10-/)

:SABDE=LBE・DF=7.3

2

3

-(10-Z)”=13

5

解得t=3.

答：f为3秒时，△BOE的面积为7.3c"，.

(3)存在.理由如下：

①当8E=OE时，ABDE与ABCA,

BEBDt10-z

:.—=——即nn一=-----

ABBC1016

解得t-1，

②当BO=OE时，ABDE与ABAC,

BEBDt10-Z

----=----即Hn一=------

BCAB1610

解得t——•

13

答：存在时间，为*或*秒时，使得△8OE与△A8C相似.

【点睛】

此题考査了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形.

21、(1)①0③④；(2)60°；(3)NBAC=2NF,证明见解析

【分析】(1)通过旋转的性质可知①②③④正确；

(2)可结合题意画出图形使BE=CF,然后通过测量得出猜想，再证明ABEF，是等边三角形即可证明；

（3）结合（2）可进一步猜想，若/尸=N8ED则可推出BE=CF,结合三角形外角的性质可知NB4c=2NF时

ZF'=ZBED,依此证明即可.

【详解】解：（1）如图①，根据旋转的性质，知①②④都是正确的，

根据旋转的性质可得NA，=NA,

...A，B，〃AB,③正确，

故答案为：①②③④.

⑵N尸等于60。度时，BE=CF.

证明如下：

TO是8c的中点，

：.BD=DC,

如下图，将ACDF,绕点D旋转180。后，得到ABD%

F

ACF/7BFSZFF=ZF=60°,

.•.ZCAB+ZABFr=180°,

VZBAC=120°,

.•.ZABFr=60°,

ANF'EB=120°-ZABFr-ZFr=60°,

•••△BEP是等边三角形，

ABE=BF=CF.

(3)数量关系:NBAC=2NE

证明如下:作AO8F'与厶尸。关于点O成中心对称，如下图,

贝！|NF'=NRFC=BF',

VZBAC=2ZF,ZBAC=ZF+ZFEA,

.ZZF=ZFEA,

：.NF，=NF=NBED=NFEA,

：.BE=CF.

【点睛】

本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质.理解旋转变化前后,

对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变是解决（1）的关键.（2）中能结合题意画出对应图形，正确

猜想是解题关键；（3）中主要是要理解等腰三角形“等角对等边”.

22、（1）补全图形见解析；（2）AB=PB.证明见解析；（3）存在，k二.

【分析】（1）根据题意补全图形如图I,

（2）结论：AB=PB.连接BQ,只要证明AAOB纟aPaB即可解决问题；

APABAB

（）连接只要证明即可推出二;="二，由。，推出当丄时，——的值

3BQ.AABPs2XOBQ,OQOBNAOB=30BAOM0B

最小，最小值为三，由此即可解决问题.

2

【详解】解：（1）如图1,

图1

(2)AB=PB.

证明：如图，连接8。.

•・・〃C的垂直平分6Q,

：.OB=BQ,

:./BOP=NBQP.

又；。尸平分NMON,

:.ZAOB=Z.BOP.

：.Z.AOB=ZBQP.

又,；PQ=OA,

：.^AOB^APQB,

:・AB=PB.

(3))VAAOB^APQB,

AZOAB=ZBPQ,

VZOPB+ZBPQ=180°,

:.ZOAB+ZOPB=180°,ZAOP+ZABP=180°,

•INMON=60。，

AZABP=120°,

VBA=BP,

/.ZBAP=ZBPA=30°,

*/BO=BQ,

AZBOQ=ZBQO=30o,

AAABP^AOBQ,

•_A__P______A__B_

"OQ~OB）

,.,ZAOB=30°,

4R1

.•.当BA丄OM时，的值最小，最小值为丄，

OB2

1

，k=一.

2

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质,

相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

23、（1）证明见解析；（2）4ABC的面积为42.

【分析】（1）在直角三角形中，表示tanB,cosND4C,根据它们相等，即可得出结论

1?

（2）利用sinC=一和勾股定理表示出线段长，根据BC=12,求出AO长

13

【详解】（l）TAO是8c上的高

：.AD±BC.

：.ZADB=90°,ZADC=90°.

在RtAABD和RtAADC中,

AD八AD

Vtan8=-----,cosZ.DAC=------

BDAC

又已知tan3=cosADAC

.ADAD

：.AC=BD.

12

（2）在RtAAOC中，sinC=—,故可设AC=13k.

13

22

：.CD=.jAc-AD=5k.

■;BC=BD+CD,又AC=BD,

:・BC=13k+5k=12k

由已知3c=1,：A2k=\.

.".AD=lk=lx—=2.

3

25

24、(1)见解析；(2)B