数学-立体几何大题15种题型全归纳

平面ACD,G立体几何大题15种题型全归纳平面ACD,G【题型一】平行1:四边形法证线面平行【典例分析】如图，在正方体ABCD-AB;C;D中，E,F分别是AA,CD的中点.(1)求证：EF//平面ACD;(2)求异面直线ED₁与AC所成角的余弦值.(1)在正方体ABCD-AB₁CD₁而F是CD的中点，则FG//DD,中，取CD₁中点G,连接FG,GA,如图，,又E是AA的中点，则AE//DD,,四边形FGAE是平行四边形，有EF//GA,而EFxACD,EF₁/平面ACD.【经验总结】基本规律1.利用平移法做出平行四边形2.利用中位线做出平行四边形【变式演练】(2)若PC=2,求三棱锥P-ACE的体积.A平面是【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)取PA的中点F,连接EF,DF,利用平行四边形证明EC//DF,(2)根据等体积法知Vp-AcE=V-Acp,即可由棱锥体积公式求解.(1)取PA的中点F,连接EF,DF,∵点E,F分别为PB,PA的中点，再由线面平行的判定定理即∴EF//CD,EF=CD,∴∴EC/DF,又∵EC平面PAD,DFC平面PAD,∴CE//平面PAD;N为PD的中点.(1)求证：AN//平面PBC;(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值；(3)在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是,若存在求出的值，若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，(1)证明：取CP中点F,连接NF、BF,因为F,N分为PC,PD且的中点，则NF//DC,且又AB//CD,且CD=2,所以四边形NABF是平行四边形，【题型二】平行2:中位线法证线面平行【典例分析】.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形，AB//DC,且(1)求证：GF//平面PAB;(2)求三棱锥B-GFC的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接DG并延长交PA于点E,连接BE,由已知条件可得。ABF~△CDF,得·再由G为△PAD的重心，,则有从而可得GF//EB,再由线面平行的判定可证得(2)由已知可得△PAD和。ADC为正三角形，连接PG并延长交AD于点M,有PM⊥AD,则PM⊥面ABCD,从而可得I,然后由已知条件求解Vo-Anc,(1)证明：在图中：连接DG并延长交PA于点E,连接BE.所以GF//EB.而GF±平面PAB,EBC平面PAB,所以GF//平面PAB.【经验总结】中位线法难点在于怎么“发现三角形”【变式演练】1.如图，三棱台AB₁C₁-ABC,平面AACC⊥平面ABC,侧面AACC是等腰梯形，,,AC=BC=2ACG₁=2√2,M,H分别是AB.AC;的中点.(1)求证：CM//平面AB;H;(2)求CM与平面ABC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；(2)利用平行线的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥等积性、线面角的定义进行求解即可.(1)证明：连接AM与AB交于点P,连接PH,因为AC=2AC,所以由棱台的性质可知：AB=2A,B,且AB//AB,因为M是AB的中点，因此AM=AB,因此四边形AMBA是平行四边形，所以P是AM的中点，又H是AC所以PH//CM,而PHC平面AB;H,MC₁平面AB;H,所以CM//平面AB,H;2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD//BC,AD=2AB=2BC=2PA=4,M为PB上靠近B的三等分点.(1)求证：PD//平面ACM;(2)求直线PD与平面ACM的距离.【答案】(1)证明见解析(2)√3【分析】(1)以线面平行的判定定理去证明即可解决；(1)证明：如图，连接BD,交AC于点N,连接MN.因为AD//BC,AD=2BC,所以又M为PB靠近B的三等分点，所以所以所以MN//PD,又MNC平面AMC,PDα平面AMC,所以PD//平面AMC.【题型三】平行3:做平行平面法证线面平行【典例分析】如图，C,D分别是以AB为直径的半圆O上的点，满足BC=CD=DA,△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°,E为PA的中点.【答案】(1)证明见解析(2)(2)求二面角A-BE-D的余弦值.【分析】(1)通过证明平面ODE/|平面PBC来证得DE//平面PBC.(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角A-BE-D的余弦值.(1)依题意BC=CD=DA,所以∠AOD=∠DOC=∠COB=60°,所以三角形AOD、三角形DOC、三角形COB是等边三角形，所以OB=BC=CD=OD,所以四边形OBCD是菱形，所以ODI/BC,由于OD±平面PBC,BCC平面PBC,所以ODI|平面PBC.由于E是PA的中点，O是AB的中点，所以OEIIPB,由于OE≠平面PBC,PBC平面PBC,所以OE//平面PBC.由于OE∩OD=O,所以平面ODE//平面PBC,所以DE//平面PBC.【经验总结】做出平行平面来证线面平行，属于“麻烦的方法”,但是在证明后续的“探索性”题型时非常实用。授课时可以先用“中点型”培养“找面做面”的思维。【变式演练】(2)当平面PBD⊥平面ABCD时，求二面角C-PD-B的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角.由已知得，△BCD为等边三角形，∴BM⊥CD.B又∵BM平面PAD,ADC平面PAD,∴BM//平面PAD.又∵EM平面PAD,PDC平面PAD,∴EM//平面PAD.∵EMIBM=M,PDODA=D,∴平面BEM//平面PAD.∵BEC平面BEM,∴BE//平面PAD.2.如图所示的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是一个等腰梯形，AD//BC,且AD=2AB=2BC=4,PO是△PAD的中线，点E是棱PD的中点.(1)证明：CE//平面PAB.(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD,PO=AO,求平面PAB与平面PCD夹角余弦值.(3)在(2)条件下，求点D到平面PAB的距离.【分析】(1)连接OC、OE,平行四边形的性质、线面平行的判定可得OE//平面PAB、CO1/平面PAB,再根据面面平行的判定可得平面OCE//平面PAB,利用面面平行的性质可证结论；OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.(3)利用等体积法，V-Ap=Vo-pA求D到平面PAB的距离.∵OE平面PAB,PAC平面PAB,则OE//平面PAB.又AD//BC,且AD=2AB=2BC=4,∴AO//BC且AO=BC,四边形ABCO是平行四边形，则CO//AB,∵COx平面PAB,ABI平面PAB,则CO1/平面PAB.又CO∩OE=O,可得平面OCE//平面PAB.又CEC平面OCE.∴CE//平面PAB.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.(Ⅱ)若平面PAC⊥平面ABCD,求证：PB=PD;(Ⅲ)在棱PC上是否存在点M(异于点C)使得BM//平面PAD,若存在，求的值；若不存在，说明理由.PAD.;(Ⅱ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不存在.由ABCD是菱形可得AC⊥BD;结合AC⊥PD,由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面由(I)可知AC⊥PO,由面面垂直的性质可得BD⊥PO,结合BO=DO可得结果；(Ⅲ)利用反证法，假设存在点M(异于点C)使得BM//平面PAD,可推出平面PBD//平面PAD,从而可得结论.【详解】(I)因为底面ABCD是菱形。所以AC⊥BD.PO⊥平面ABCD,因为BDC平面PAC,所以BD⊥PO.(Ⅲ)不存在.下面用反证法说明.假设存在点M(异于点C)使得BM//平面PAD.在菱形ABCD中，BC/BC,因为BMC平面PAD,BCC平面PAD,所以BC//平面PAD.因为BM⊥平面PBC,BC⊥平面PBC,=,所以平面PBC//平面PAD.而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.【经验总结】1.常规题，对应的点大多在中点处。2.要多训练非中点的题选。【变式演练】PA=AB=BC=2,AD=4.中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中，AB⊥AD,BC//AD,..明理由.【答案】(1)4;(2)见解析；(3)不存在.【解析】【分析】与平面PBC与平面PAD相交相矛盾，从而可得结论.【详解】(1)显然四边形ABCD是直角梯形，又PA⊥底面ABCD∴假设存在点M(异于点C)使得BM//平面PAD.∵BCI/AD,且BC平面PAD,ADC平面PAD,∴BC₁/平面PAD又∵BC∩BM=B,∴平面PBC1/平面PAD.而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾.2.如图，矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，已知点N是线段AD的中点.(2)试问在线段BE上是否存在点M,使得直线AF//平面MNC?若存在，请证明AF//平面MNC,并求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，证明见解析，2.【解析】【分析】(1)由已知可得△ADC是等边三角形，N是线段AD的中点，得CN⊥AD,根据面面垂直的性质定理证得CN⊥平面ADEF,即可证明结论；(2)取FE的中点P,可证PE//BC,连接CP交BE于点M,M【详解】又N是线段AD的中点，∴CN⊥AD.又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以CN⊥平面ADEF.又∵AFC平面ADEF,故CN⊥AF.(2)取FE的中点P,连接CP交BE于点M,M点即为所求的点.证明：连接PN,∵PE//AD,AD//BC,∴PE//∴PN//AF,又PNC平面MNC,AFα平面MNC,∴直线AF//平面MNC.又∵PE//BC,∴【题型五】平行5:证面面平行【典例分析】四点共面；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.平面BCHG,平面BCHG,【经验总结】【变式演练】面上的母线.(2)证明：平面ABH//平面ECD.【答案】(1)24π.(2)证明见详解.(2)构造平行四边形HO₂EO证明OHO₂E,结合已知可证.(1)连接CF、DF·DE=CE,EF⊥CF,EF⊥DF∴CEF=DEF∴CF=DF因为CD为直径，记底面半径为R,EF=2R。解得R=2连接O,E、O₂H、OH、O₂E由圆柱性O₁Hll平面CDE。同理，AB//平面CDE又·AB∩OH=O,OH平面ABH,ABì平面ABH∴平面ABH//平面ECD.D,E分别为PA,PC的中点.将△PDE沿DE折起，使点P到点P'的位置(如图②),G为线段P'B的中点.在图②中解决以下两个问题：(1)求证：平面GAC//平面PDE;(2)若直线P'A与平面PABC所成的角为30°时，求三棱锥P'-ACG的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接BE交AC于点M,连接GM,P'E,可证得GM//P'E,根据线面平行的判定定理即可证得GM//计算即可得出结果.(1)连接BE交AC于点M,连接GM,PE,则GM//PE,又GM平面PDE,PEC平面PDE,所以GM//平面PDE.又D,E分别为PA,PC的中点，则DE//AC,又AC平面PDE,DEC平面PDE所以AC//平面PDE.又GM∩AC=M,GM,ACC平面GAC,所以平面GAC//平面PDE.【典例分析】(2)在SC上是否存在点M,使平面MBD//平面AEF,若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析(2)SO⊥AC.又BD⊥AC,证得AC⊥平面SBD,进而得到AC⊥SB.(2)取CG中点H,连OH并延长交SC于点M,得OM//AG,MBD//平面AEF,在△SOC中，得N是SM中点，M是CN(1)设AC∩BD=O,则O为底面正方形ABCD中心，连接SO,得BDC平面MBD,进而得到平面因为S-ABCD为正四梭锥.所以S(2)存在点M,设SO∩EF=G,连AG,CG.取CG中点H,连OH并延长交SC于点M,∵O是AC中点，∴OHI/AAEF,∴OM1/平面AEF,BD//平面AEF又OM∩BD=O,OM,BDC平面MBD,∴平面MBD//平面AEF,【经验总结】【变式演练】如图.如图.【解析】(2)设B₁DIAC=O,过点M作OMI/PQ交AC于点M,然后证明出平面B,D,M/I平面EFBD,QBD₁平面EFBD,EFC平面EFBD,∴B;D,11平面EF又OM//PQ,OM平面EFBD,PQ平面EFBD,∴OM//平面EFBD,易知AC//AC,即OQI/PM,又OMI/PQ,且PA,DA是平面PAD内的两条相交直线，故CD⊥平面PAD.(2)延长DA到点F,使AF=DA,此时平面PBF1/平面AEC.证明如下：连接PF,BF,又·AEC平面AEC,PF平面AEC∴PF//平面AEC∵底面ABCD为矩形，∴AD//BC且AD=BC∴四边形AFBC为平行四边形∴BF//AC平面AEC,BFx平面PBF,BF平面AEC∴BF//平面PBF,PF∩BF=F平面AEC【题型七】垂直1:线面垂直【典例分析】如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,BC=2,BE=2,AF=3,平面ABCD⊥平面ABEF.ABEF为直角梯形，BE//AF,(1)求证：AC⊥平面ABEF.(2)求多面体ABCDE与多面体ADEF的体积的比值.【分析】(1)依据题设条件及勾股定理先证线AB,AC垂直，借助题设条件，运用性面面垂直的性质定理可求得其体积，从而可得答案.【详解】(1)在△ABC中，AB=1,,BC=2,所以AC²=BA²+BC²-2BA·BC·cos∠CBA=3,所以AC²+BA²=BC²,所以AB⊥AC,又因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD7平面ABEF=AB,ACC平面ABCD,所以AC⊥平面ABEF.【经验总结】【变式演练】M为PD的中点.(1)求证：AM//平面PBC;【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)取PC的中点N,连MN,BN,可证得四边形A然后根据线面平行的判定定理可得结论成立.(2)在等腰中梯形ABCD中，取CD的中点T,连AT,BT,证得四边形ABTD为菱形，进而得AT⊥BD.同理四边形ABCT为菱形，可得BC⊥BD.再由平面PCD⊥平面ABCD得到CP⊥平面ABCD,于是得CP⊥BD,最后根据线面垂直的判定可得BD⊥平面PBC.∴MN//CD,0.又AB//CD∴四边形ABNM为平行四边形，∴AM//BN.又AM平面PBC,BNC平面PBC,∴AM//平面PBC.;(2)如图，在等腰中梯形ABCD中，取CD的中点T,连AT,BT.;,AB//CD,∴AB=DT,AB//DT,∴四边形ABTD为平行四边形.又AB=AD,∴四边形ABTD为菱形，∴AT⊥BD.同理，四边形ABCT为菱形，∴AT//BC∵AT⊥BD,∴BC⊥BD.∵平面PCD上平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,CP⊥CD,CPC平面PCD,∴CP⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,∴CP⊥BD.∵BC⊥BD,BC∩CP=C,∴BD⊥平面PBC.2.如图，已知△ABC是正三角形，(1)FD//平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.【答案】(1)见解析；(2)见解析∵EA、CD都垂直于平面ABC,∴CD//EA∴CD//FM又DC=a,∴FM=DC∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD//MC,∴FD//平面ABC.(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB,又CM⊥AE,AB∩AE=A,【题型八】垂直2:面面垂直【典例分析】如图，在以P为顶点，母线长为√2的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2,C是圆O所在平面内一点，(1)求证：平面PAC⊥平面PBC;(2)若E是PC的中点，连接OE,ED,当二面角B-PO-D的大小为120时，求平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值.【分析】由PO⊥底面圆O,可得PO⊥AC,利用线面垂直的判定定理可知，AC⊥平面PAB,即可推出AC⊥PB.,可推出PA⊥PB,利用线面承直的判定定理可证从而利用面面垂直的判定定理可证出平面PAC⊥平面PBC·PO⊥底面圆O,∴PO⊥AC平面PAB,∴AC⊥PB.∵PA∩AC=A,∴PB⊥平面PAC,从而平面PAC⊥平面PBC.基本规律核心思维：寻找其中一个平面板的垂线(及其平行线)【变式演练】1.如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，G为AB的中点，AB⊥AD,AB//CD/|EF,DA=AF=EF=CD=√3,AB=2√3.(I)求证：CE//平面ADF;(Ⅱ)求证：平面CEG⊥平面CFB;(Ⅲ)求多面体AFEBCD的体积.(Ⅱ)可证BF⊥平面ECG,从而得到平面CEG⊥平面CFB【详解】(I)因为CD//EF,且CD=EF,则四边形CDFE为平行四边形，故DFI/CE又DFC平面ADF,CE平面ADF,所以CE//平面ADF.在等腰梯形ABEF中，BGI/EF,BG=EF,从而四边形GBEF为在梯形ABCD中，同理可证四边形AGCD为平行四边形，故AD//GC.因为AD⊥AB,从而GC⊥AB,而平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,GCC平面ABCD,故GC⊥平面ABEF,而BFC平面ABEF,故GC⊥BF,因为CG∩EG=G,故BF⊥平面ECG因为BFC平面BCF,故平面CEG⊥平面CFB.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E中点.(1)若F为线段BC上的动点，证明：平面AEF⊥平面PBC;(2)若F为线段BC,CD,DA上的动点(不含A,B),PA=2,三棱锥A-BEF最大值?如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.为线段PB的【分析】(1)利用AE⊥PB,AE⊥BC,可得AE⊥平面PBC,根据面面垂直的判定定理可证平面AEF⊥平面PBC;(2)由PA⊥底面ABCD,得平面PAB⊥平面ABCD.将问题转化为点F到直线AB的距离有无最大值即可解决.因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以BC⊥PA,又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB,PA∩AB=A,因为AEC平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC所以AE⊥平面PBC,【题型九】垂直3:难题--垂直探索性题型【典例分析】【试题解析】(1)如图，连接BC,交B₁C于点E,连接DE,则点E是BC₁的(2)当CD⊥AB时平面ABB,A,⊥平面C又CD⊥AB,AA∩AB=A,所以CD⊥平面ABB,A,【经验总结】【变式演练】(1)求PC长；(2)求三棱锥体积；(3)△PAC内(含边界)上是否存在H点，使BH⊥面PAC.若存在H点，求出H点的位置；若不存在H点，说明理由.【分析】(1)根据勾股定理可得CA⊥AB,进而可得∠CAP=90°,再用勾股定理计算PC即可.(2)作AB的中点M,连接PM可知PM⊥平面ABC,再求解体积即可.(3)作BH⊥PA于H,再证明BH⊥面PAC即可.∵平面PAB⊥平面ABC,平面PABO平面ABC=AB,CAC平面ABC,且CA⊥AB,可知CA⊥平面PAB,∠CAP=90°.∴PC=√AC²+AP²=3.∵CA⊥平面PAB,BHC平面PAB,∴BH⊥CA,且BH⊥PA,CAC平面PAC,PAC平面PAC,【典例分析】图①(I)求证：平面ABE⊥平面ABC;(Ⅱ)若P为AC的中点，求三棱锥P-ABD的体积.【分析】(I)先证DE⊥BE,DE⊥AE,即可求得DE⊥平面AEB,结合DE//BC,即可由直推证面面垂直；(Ⅱ)根据点P是AC中点，则P-ABD的体积为C-ABD体积的一半，再转化顶点求得C-ABD的体积，则问题得解.角形，则DE⊥BE,又在三角形ADE中，AE=ED=1,AD=√2,故DE⊥AE,又BE∩AE=E,BE,AEC平面ABE,故可得DE⊥平面ABE,又因为DE//BC,故可得BC⊥平面ABE,又BCC平面ABC,故可得平面ABC⊥平面ABE.即证.翻折过程中，始终在同一个平面内的点线关系“不变”【变式演练】BABA(2)求四棱锥D-ABCE体积.(1)先证AE⊥BE,由面面垂直(直二面角)得BE⊥平面ADE,再得线线垂直BE⊥AD,然后可得ABE,所以BE⊥平面ADE,又ADC平面ADE,所以AD⊥BE,又因为AD⊥DE,DE∩BE=E,所以AD⊥平面BDE;(2)存在，点G为AD₁的中点，BE⊥AB,从而证得AB⊥平面D₁EB.(1)因为平面D,EC⊥平面ABCE,平面D,EC∩平面ABCE=EC,D,E⊥EC,DE平面D,EC,所以D₁E⊥平面ABCE,(2)在棱AD,上存在点G,使得BG//平面D₁EC,此时点G为AD由(1)知，D,E⊥平面ABCE,所以CE⊥DE,又CE⊥AE,所以CE⊥平面AED,,所以1【题型十一】体积1:常规求法和等体积转化型【分析】∵ABC平面ABBA,AA₁C平面ABBA,且(3)因为AB//平面A,B₁C,所以点M,点A到平面A,B₁C的距离相等.【经验总结】1.等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。2.尽可能寻找在表面的三个点3.利用好“同底等高”和“同底比例高”。【变式演练】1.四棱锥P-ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=CD=2,PA⊥底面ABCD,E在PB上.(2)若PE=2BE,求三棱锥P-ACE的体积.【分析】(1)过A作AF⊥DC于F,推导出AC⊥DA,AC⊥PA,从而AC⊥平面PAD,由此能求出AC⊥PD.所以∠DAC=90°,所以AC⊥DA,又PA⊥底面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥PA,又PA,ADc平面PAD,PANAD=A,所以AC⊥平面PAD,又PDc平面PAD,∴AC⊥PD所以,;,2.如图，四棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.(I)证明MN//平面PAB;(II)求四面体N-BCM的体积.-·-·试题分析：(I)取PB的中点T,然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT,由此结合线面平行的判断定理可证；(Ⅱ)由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果.(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离；取BC的中点E,连结AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=√AB²-BE²=√5.由AMBC得M到BC的距离为√5,故所以四面体N-BCM的体积!【题型十二】体积2:难题--多面体割补型【典例分析】如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，G为AB的中点，AB⊥ADAB//CD/|EF,DA=AF=EF=CD=√3,AB=2√3.(I)求证：CE//平面ADF;(Ⅱ)求证：平面CEG⊥平面CFB;(Ⅲ)求多面体AFEBCD的体积.【分析】(I)可证DF//CE,从而得到CE//平面ADF.(Ⅱ)可证BF⊥平面ECG,从而得到平面CEG⊥平面CFB(Ⅲ)可证几何体ADF-GCE是三棱柱，从而利用公式可求几何体AFEBCD的体积.且CD=EF,则四边形CDFE为平行四边形，故DF//CE.又DFC平面ADF,CE平面ADF,所以CE//平面ADF.(Ⅱ)连接FG.在等腰梯形ABEF中，B在梯形ABCD中，同理可证四边形AGCD为平行四边形，故AD//GC.因为AD⊥AB,从而GC⊥AB,而平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,GCC平面ABCD,故GC⊥平面ABEF,而BFC平面ABEF,故GC⊥BF因为CG∩EG=G,故BF⊥平面ECG.因为BFC平面BCF,故平面CEG⊥平面CFB.(II)设BFIGE=O.由(I)得CE//平面ADF且DF=CE,由(Ⅱ)得AD//CG,AD=CG,而CG平面ADF,ADC平面ADF,故CG//平面ADF,因为CE∩CG=C,故平面ADF/|平面GCE,由(Ⅱ)得BF⊥平面GCE.【经验总结】2.多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”【变式演练】DD∴AM⊥AC,由平面ADC⊥平面ACC₁A,且交线为AC且AB⊥BD,平面ADEF⊥平面ABCD,M,N分别为EF,CD的中点.(Ⅱ)若DE=2,求多面体ABCDEF的体积.【分析】(I)取AD的中点O.连接OM,ON,可证OMI/AF,ONI₁AC,平面ACF,可证MN//平面ACF.(Ⅱ)将多面体分为四棱锥B-ADEF然后利用平面MON11和三棱锥B-CDE两部分，将V₈-cpg转化为V-BcD,然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可.解：(I)如图，取AD的中点O.连接OM,ON.在矩形ADEF中，∵O,M分别为线段AD,EF的∴OM//AF.又OM平面ACF,AFC平面ACF,∴OM11平面ACF.在△ACD中，∵O,N分别为线段AD,CD的中点，∴ON//AC又ON平面ACF,ACC平面ACF,∴ON11平面ACF又OMION=O,OM,ONC平面MON,∴平面MON₁/平面ACF又MNC平面MON,∴MN11平面ACF.(Ⅱ)如图，过点C作CH⊥AD于H.∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,CHC平面ABCD,∴CH⊥平面ADEF.同理DE⊥平面ABCD.OB,OC.【题型十三】体积3:难题---两部分体积比【典例分析】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD,E、(1)证明：BD⊥平面PEF;(2)若M是PB棱上一点，三棱锥M-PAD与三棱锥P-DEF的体积相等，求的值.的性质可证BD⊥PE,由EFIIAC,BD⊥AC,可证BD⊥EF,BD⊥PE,理即可证明BD⊥平面PEF;设的值.则(2)连接MA、MD设的值.则【详解】(1)连接AC,∵PA=PD且E是AD的中点，∴PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PEC平面PAD,∴PE⊥平面ABCD.∵BD⊥AC,∴BD⊥EF,又BD⊥PE,PE∩EF=E,∴BD⊥平面PEF;(2)如图，连接MA、MD,设,则:,即【经验总结】1.直接求体积，大多数是难度较大。2.利用等体积转化(或者不等体积转化)3.寻找合适的底面和平行高转化。【变式演练】1.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3AF=3.(1)证明：平面ABF//平面DCE;(2)在DE上是否存在一点G,使平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为3:11?若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)存在点G且EG=1满足条件.【解析】试题分析：(1)根据DE//AF,AB/ICD,结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；(2)先求出整个几何体的体积.假设存在一点G,过G作MG//BF交EC于M,连接BG,BM,设EG=t,求得几何体GFBME的体积，将其分割成两个三棱锥B-EFG,B-EGM,利用t表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t的值.(1)∵DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,∴DE/|AF,∴AF₁/平面DCE,∵ABOAF=A,ABC平面ABF,AFC平面ABF,∴平面ABF1/平面DCE.设M到设M到ED的距离为h,则(2)假设存在一点G,过G作MG//BF交EC于M,连接BG,BM,,,解得t=1,即存在点G且EG=1满足条件.2.如图，多面体ABCDEF中，AB=DE=2,AD=1,平面CDE⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，BC/EF,点G在线段CE上，日.(1)求证：DE⊥平面ABCD;(2)若EF=2BC,求多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比.【答案】(1)证明见解析(2)11:1【分析】(1)由勾股定理逆定理证得ED⊥CD,再由面面垂直的性质定理得线面垂直；(2)连接EB,AE.多面体ABCDEF被分为B-AEF,E-ABD,E-BDG,G-BDC四个三棱锥，由它们之间的体积关系可求得比值.【详解】(1)因为四边形ABCD为矩形，所以CD=AB.为AB=DE=2,所以CD=DE=2.因为点G在线段CE上，且,所以EC=√EAD=√ZCD-2√Z所以DE²+CD²=EC²,即DE⊥CD又平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE1平面ABCD=CD,DEC平面所以DE⊥平面ABCD.(2)设三棱锥G-BCD的体积为1,连接EB,AE.因为EG=2GC,所以所以Vr-p=3Vc-cp=3.又Vg-ABE=V-ABD=3,所以Vg-AEp=6故故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11:1.【题型十四】体积4:难题---动点型【典例分析】是边长为3的等边三角形，四边形ABCD是边长为3的等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD.点E,F分上的点，且G为棱AB上一点，且上的点，且G为棱AB上一点，且(Ⅱ)已知三棱锥A-EFG的体积为√3,求久的值.进而可得出结论成【分析】(I)先连接CG,根据面面平行的判定定理，先证明平面PCGP平面AEF,立；(Ⅱ)取AD的中点为O,连接PO,证明PO⊥平面进而可得出结论成平面AEG,再由V₄-EFG=Vr-AGE求出AG,进而可得出结果.Q∴EFPPC,QAEIEF=E,PCI∴平面PCGP平面AEF,又PGC平面PCG,∴PGP平面AEF.(Ⅱ)取AD的中点为O,连接PO,则PO⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.过点F作FH⊥AD于点H,则POPFH,FH⊥【变式演练】1.如图，四边形ABCD为矩形，△BCF为等腰三角形，且∠BAE=∠DAE=90°,EA//FC.(1)证明：BF//平面ADE.(2)设问是否存在正实数λ,使得三棱锥A-BDF若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在正实数λ=2.【解析】【分析】的高恰好等于(1)通过证明平面ADE//平面BCF来证明BF//平面ADE;(2)设AB=a,BC=b,则b=λa,利用等体积法，则V₄-BDF=VF-ADB,可得关于λ的方程，求解可得.【详解】(1)因为AD//BC,ADC平面ADE,BC平面ADE,所以BC//平面ADE,因为EA//FC,AEC平面ADE,FC平面ADE,所以FC//平面ADE,又BC∩FC=C,所以平面ADE//平面BCF故BF//平面ADE(2)∵∠BAE=90∴AE⊥AB,又EA//FC,CD/IAB,∴CF⊥CD设AB=a,BC=b,则b=λa,所以，由等体积法所以存在正实数λ=2,使得三棱锥A-BDF的高恰好等于.(1)证明：CD⊥平面PAC;(2)若N为棱AD的中点，点M为棱PD上一点，且三棱锥N-MCD的位置.PA⊥CD,由此根据线面垂直的判定定理，即可证明结果；(2)在RtVPAD中，由勾股定理，易求得PA=2,根据'根据三棱锥的体积公式可,再根据由此即可求出结果.∴AC²+CD²=AD²,∴AC⊥CD.又PA⊥平面ACD,∴PA⊥CD,又PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.(2)在RtVPAD中，由勾股定理，易求得,过M点作ME垂直于AD于E点，如下图所示：CC又ME⊥AD,所以RfVPAD:RfVMED,∴点M为棱PD上靠近点D的三等分点.【题型十五】体积5:难题--最值型【典例分析】平面ABD⊥平面BCD,把平面ACD沿CD旋转至平面PCD的位置，记点A旋转后对应的点为P(不在平面BCD内),M、N(2)求三棱锥C-APD的体积的最大值.【分析】(1)连接AM、MC,利用面面垂直的性质定理得出AM⊥平面BCD,可得出AM⊥MC,利用勾股定理计算出MC=1,推导出。BCD是以∠BCD为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出MN//BC,AN,推导出PN^平面ACD,计算出AN、PN以及△ACD的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果【详解】(1)如图，连接AM、MC,因为AB=AD,M是BD的中点，所以AM⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AM二平面ABD,所以AM⊥平面BCD,∵MCC平面BCD,所以AM⊥MC.又M、N分别是BD、CD的中点，所以MN//BC,所以MN⊥CD(2)如图，连接AN、PN,因为三棱锥C-APD与三棱锥P-ACD为同一C个三棱锥，且△ACD的体积最大时，则平面PCD个三棱锥，且△ACD的体积最大时，则平面PCD⊥平面ACD,∵AC=AD,则PC=PD,QN为CD的中∵平面PCD⊥平面ACD,平面PCD∩平面ACD=CD,PNC平面PCD,∴PN⊥平面ACD,此时点P到平面ACD的陆离为在△ACD中，因为AC=AD=2,CD=1,所以所以三棱锥C-APD【变式演练】中，底面ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E中点.(1)若F为线段BC上的动点，证明：平面AEF⊥平面PBC;(2)若F为线段BC,CD,DA上的动点(不含A,B),PA=2,三棱锥A-BEF最大值?如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.【分析】(1)利用AE⊥PB,AE⊥BC,可得AE⊥平面PBC,根据面面垂直的判定定理可证平面AEF⊥平面PBC;(2)由PA⊥底面ABCD,得平面PAB⊥平面ABCD.将问题转化为点F到直线AB的距离有无最大值因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以BC⊥PA,又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥ABPA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,因为AEC平面PAB,所以AE⊥BC,因为PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,因为AEC平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC.所以点F到平面ABE的距离(三棱锥F-ABE的高)等于点F到直线AB的距离，因此，当点F在线段BC,AD上运动时，三棱锥F-ABE的高小于或等于2,所以当点F在线段CD上，三棱锥F-ABE的体积取得最大值，最大值由于三棱锥A-BEF的体积等于三棱锥F-ABE的体积，所以三棱锥A-BEF体积存在最大值2.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2,E为边AB的中点，将。ADE沿直线DE翻折为△A'DE,若F为线段A'C的中点.在。ADE翻折过程中，(Ⅱ)求多面体CDEF体积的最大值.【分析】(I)取CD的中点G,连接FG,BG,证明GF//平面A'DE,BG/|平面A'DE,得到平面A'DE//平面BFG,则BF//面A'DE;(Ⅱ)多面体CDEF体积等于三棱锥F-CDE的体积，要使三棱锥F-CDE的体积最大，则需F到底面距离最大，即平面BGF⊥底面BCD.此时平面A'DE⊥底面BCD,求出A'到底面BCD的距离，可得F到底面的距离，再由棱锥体积公式求解.【详解】(I)证明：取CD的中点G,连接FG,BG,∵F为线段A'C的中点，∴GF//A'D,∵FG平面A'DE,A'DC平面A'DE,∴GF/|平面A'DE,又DG//BE,DG=BE,∴四边形BEDG为平行四边形，则BG//DE.可得BG//平面A'DE,又BG∩GF=G,可得平面A'DE//平面BFG,则BF/|面A'DE;(Ⅱ)解：多面体CDEF体积等于三棱锥F-CDE的体积，而底面三角形CDE的面积为定值要使三棱锥F-CDE的体积最大，则需F到底面距离最大，即平面BGF⊥底面BCD.此时平面A'DE⊥底面BCD,由A'D=A'E=1,则F到底面BCD的距离为∴多面体CDEF可得A'到底面BCD的距离为模拟题PA=PB=AD=2,BC=4.(2)若PB与底面ABCD所成的角为60°,求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值.【分析】(1)取PC的中点F,连接EF,DF,推导出四边形ADFE是平行四边形，DF//AE,面PCD;直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值.如图，取PC的中点F,连接EF,DF,∵E,F分别为PB,PC的中点，由此能证明AE//平∵AD//BC且AD=2,∴EF//AD且EF=AD=2,∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF//AE,∵AE平面PCD,DFC平面PCD,∴AE//平面PCD.2.(广东省潮州市2022届高三上学期期末数学试题)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,(2)若PA⊥PD,且PA=PD,面PAD⊥面ABCD,求二面角C-BE-F的余弦值.【分析】(1)连接AC,交BE于H,连接FH,易证△ABH≥△CEH,故AH=CH,即点H为AC的中点，从而得FH//PC,再由线面平行的判定定理即可得证；和AD=AB,可证得OB⊥AD,故以OA,OB,OP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质可求得面BEF的法向量n₂,再由即可得解.(1)证明：连接AC,交BE于H,连接FH,∵点E为CD的中点，AB//CD,∴△ABH≥△CEH,∴AH=CH,即点H为AC的中点，又F为AP的中点，∴FH//PC,∵FHC面BEF,PC面BEF,∴PC//面BEF3.在四棱锥中P-ABCD,AB⊥PA,AB//CD,AB<DC,PA=PD,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD;(2)在棱PA上是否存在点Q,使DQ/l平面PBC,若存在，求P的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在；详见解析【分析】(1)取AD中点为O,连接PO,可得PO⊥AD,再由平面PAD⊥平面ABCD则CD⊥PA,由此可得结论；(2)任取PA上一点Q,连接DQ,过Q作直线QF平行于AB交PB于F,连接CF,设DQ/l平面PBC,可得QF=DC与已知QF<AB<DC矛盾，由此得出结论.【详解】(1)证：取AD中点为O,连接PO,可得PO⊥CD,因为PA=PD,所以PO⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD且相交于AD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO⊥CD,因为AB//CD,AB⊥PA,所以CD⊥PA所以平面PCD⊥平面PAD;任取PA上一点Q,连接DQ,过Q作直线QF平行于AB交PB于F,连接CF,则QFIIDC.假设DQ//平面PBC,所以DQ//CF,所以QF=DC与已知QF<AB<D所以棱PA上不存在点Q,使DQ//平面PBC.平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分别是CE和CF的中点.(I)求证：平面BDGH//平面AEF;(Ⅱ)求二面角H-BD-C的大小.【解析】试题分析：第一问根据三角形的中位线找到平行线，利用面面平行的判定定理，在另一个平面平行的两条相交直线，证得结果，第二问先在几何体中找到结合二面角的取值范围，求得二面角的大小.所以GH//EF,又因为GH±平面AEF,EFC平面AEF,所以GH//平面AEF.设AC∩BD=O,连接OH,因为ABCD为菱形，所以O为AC中点在△ACF中，因为OA=OC,CH=HF,所以OH//AF,又因为OH平面AEF,AFC平面AEF,所以OH//平面AEF.又因为OH∩GH=H,OH,GHC平面BDGH所以平面BDGH//平面AEF.(1)求证：EF//平面BDD₁B.(2)在棱CD上是否存在点G,使得平面GEF//平面BDD₁B₁?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用三角形中位线及线面平行的判定定理证明线面平行；(2)找CD的中点，作辅助线，证明平面GEF//平面BDD₁B.【详解】(1)如图，连接BM,在△BCM中，E,F分别是BC,CM的中点，∴EF//BM.又BM平面BDD₁B,EF平面BDD₁B,∴EF1/平面BDD₁B.(2)如图，在棱CD上存在点G,点G为CD的中点，使得平面GEF//平面BDD₁B.理由如下：∵点E是BC的中点，点G是DC的中点，∴EG//BD,由(1)知EF//平面BDD₁B,且EG∩EF=E,AACC⊥平面ABC,AE⊥AC.【详解】(1)∵D,E分别是AC,CC的中点∴DE//AC∵DE平面AB₁C,AC平面ABCAACC∩平面ABC=AC,BDC平面ABC∴BD⊥平面AACC∵AEC平面AACC∴BD⊥AE∴A,E⊥平面BDE(2)若AF⊥EF,求证：平面PAD⊥平面ABCD.【详解】又AB平面PDC,CDC平面PDC,所以AB//平面PDC.因为AF⊥EF,AB//EF,所以AB⊥AF.又AB⊥AD,点E在棱PC上(异于点C),所以F点异于点D,所以AF∩AD=A.又AF,ADC平面PAD,所以AB⊥平面PAD.又ABI平面ABCD,(2)在棱CC₁上存在一点P,P为CC₁的中点，使直线PB₁⊥平面AC₁为CD的中点，9.已知四边形ABCD是梯形(如图1),为CD的中点，(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE;(2)求点C到平面PBE的距离.【分析】由面面垂直的判定定理得证.根据AP=PE=1,易得PM⊥AE,利用线面垂直的判定定理得到PM⊥再利用平面几何知平面ABCE,进而【详解】(1)证明：连接BE,所以四边形ABED是边长为1的正方形，且BE=EC.因为∠MBE=∠EBC=45°,所以BM⊥BC.所以如图，取AE的中点M,连接PM,BM,CM, 所以PM²+MC所以PM²+MC²=PC²,所以PM⊥MC.因为AE∩MC=M,所以PM⊥平面ABCE.所以平面PAE⊥平面ABCE.(2)由(1)知，PM⊥平面ABCE,BE⊥EC,且BE=EC=1.因为PMC平面PAE,因为PB=√PM²+BM²=1,所以△PBE则为正三角形且边长为1.设点C到平面PBE所以△PBE则,所以点C到平面PBE的距离为PC的中点，平面ABE交侧棱PD于点F,且四边形ABEF为平行四边形.(1)求证：平面PBD⊥平面PBC;(2)当PC=CD时，求四棱锥P-ABEF的体积.【分析】(1)要证平面PBD⊥平面PBC,只需证明BD⊥平面PBC,即可求得答案；(2)由(1)可知CD=2AB=2,PC=2,即EF=PE=1,可得结合已【详解】(1)∵ABEF为平行四边形∴AB//EF且AB=EF∵AB//CD,∴EF1ICD∵点E为PC得PC⊥BD-PC∩BC=C,PC,BCC平面PBC∴BD⊥又∵BDC平面PBD,∴平面PBD⊥平面PBC(2)由(1)可知CD=2AB=2∴PC=2,即EF=PE=1,∴平面PBC可得AD⊥PC,∴AD⊥平面PCD,又∵AD=1(1)求证：AB//平面ABC;【分析】ABC,∵面ABC⊥面ACC,12.如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6,点E为线段AB上一点.(1)若点E是AB的中点，求证：BM//平面NDE;(2)若直线EM与平面ABCD所成的线面角的大小为求Vg=ADMN:VE-CDM·【分析】(1)连接AM,交ND于点F,连接EF,由题意结合平面几何知识可得EF//BM,再由线面(2)由题意结合面面垂直的性质、线面角的概念可得?DEM因为四边形ADMN为正方形，所以F为线段AM的中点，又点E是AB的中点，所以EF//BM,因为EFC平面NDE,BM±平面NDE,所以BM/平面NDE;(2)因为正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，所以DM⊥平面ABCD,EA⊥平面ADMN,所以∠DEM即为直线EM与平面ABCD因为AB=2AD=6,所以所成的线面角，所以?DEM AE=√DE²-AD²=3√2,所以,因为四边形ADMN为正方形，四边形ABCD为矩形，·由CD∩DM=D可得AD⊥平面MDC,所以13.如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M,N分别为BC,B₁C₁的中A,AMN=NP,MHC平面A,AMN∴MH⊥平面EB由(1)知，四边形EBCF为梯形14.如图，扇形AOB的圆心角为90°,半径为2,四边形SOBC为正方形，平面SOBC⊥平面AOB;过直线SC作平面α交AB于点M,交OA于点N.【分析】(1)利用线面平行的性质，证过OB的平面AOB/la即可；【详解】(1)因为SC//OB,SCCa,OBa又OBC平面AOB,α∩平面AOB=MN,所以MN//OB.(2)因为平面所以SOBC⊥平面AOB,平面SOBC∩平面AOB=OB,SO⊥OB,...所以，当且仅当x=√2时，1.基本事实1:过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.图形语言符号语言公共点直线与平面aaC1个平行0个在平面内无数个平行0个无数个如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'lla,b'llb,我们把直线a'连接BN,DM,易知DM与BN是异面直线，故D正确.则allb,与已知a,b为异面直线相矛盾.答案(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD探究核心题型题型一基本事实的应用(2)若A₁C交平面DBFE于点R,则P,Q,REFIIBD,所以EF,BD确定一个平面，即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C,设Ai,C,C₁确定的平面为a,又设平面BDEF是α与β的公共点.所以a∩β=PQ.又A₁CNβ=R,所以R∈A₁C,R∈a,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.得M∈平面D₁DCC,所以DE,BF,CCi三线交于一点.跟踪训练1(1)如图，a∩β=l,A,B∈a,C∈β,且A,B,Cl,直线ABNl=M,过A,B,CC.点C但不过点MD.点C和点M又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.所以y与β的交线必经过点C和点M.=90°,BCllAD且BC=AD,BEIAF且BE=AF,G,H分别为FA,FD的中点.①证明：四边形BCHG是平行四边形；②C,D,F,E四点是否共面?为什么?①证明由题设知，因为G,H分别为FA,FD的中点，所以GHIIAD且GH=AD,又BCIIAD且BC=AD,故GHIBC且GH=BC,所以四边形BCHG是平行四边形.②解C,D,F,E四点共面.理由如下：由①知BGIICH,所以EFIICH.题型二空间位置关系的判断命题点1空间位置关系的判断A.M∈a,M∈β,aNβ=l>M∈l解析对于A,因为M∈a,M∈β,aNβ=l,由基本事实3可知M∈l,A正确；对于B,A∈a,A∈β,B∈a,B∈β,故直线ABCa,ABCβ,对于C,若I∩a=A,则有Ha,A∈l,但A∈a,A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、平行或异面解析如图，在长方体ABCD-A1B₁C₁D₁①若直线AA₁记为直线a,直线BC记为直线b,直线B₁A₁记为直线c,②若直线AA₁记为直线a,直线BC记为直线b,直线DD₁记为直线c,③若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线C₁D₁记为直线c,命题点2异面直线所成的角例3(1)如图所示，圆柱O₁O₂的底面半径为1,高为2,AB是一条母线，BD是圆O₁的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD=30°,则异面解析连接AO₂,设AO₂的延长线交下底面圆周上的点为E,连接CE,易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，连接CD(图略),在Rt△BCD中，∠BCD=90°,BD=2,∠cos∠CAE===,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为.BB₁上一点，平面AECi将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AE与B₁Ci所成角的余弦解析如图，作CiH⊥A1B₁于点H,设B₁E=x:易得AC⊥平面BB₁CiC,平面AEC1将三棱柱分为两个体积相等的四棱锥Ci-A₁AEB₁和A-BCC₁E,即I-42=lxar,取CC₁中点为F,连接EF,则EFIIB₁C,∠AEF(或其补