2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》提升训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)

1.如图，已知/ZMC=90°,AABC是等边三角形，点尸为射线上任意一点(点尸与

点A不重合)，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连接QB并

延长交直线AD于E.

(1)如图1,猜想；

(2)如图2,若当/D4c是锐角时，其他条件不变，猜想/QE尸的度数，并证明；

2.如图1,在等腰△ABC中，AB=AC,为中线，将线段AC绕点A逆时针旋转90°,

得到线段AE,连接BE交直线于点凡连接CF.

(1)若NBAC=30°,贝°；

(2)若N8AC是钝角时，

①请在图2中依题意补全图形，并标出对应字母；

3.在△ABC中，AB^AC,90°,点。在射线BC上(不与点2、点C重合)，将

线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE,作射线BA与射线CE,两射线交于点F.

(1)若点。在线段上，如图1,请直接写出CD与EF的关系.

(2)若点。在线段8c的延长线上，如图2,(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

(3)在(2)的条件下，连接。E,G为。E的中点，连接GR若tan/AEC=1，AB=

我，求GF的长.

4.已知△ABC中，NA2C=90°,将△ABC绕点8逆时针旋转90°后，点A的对应点为

点。，点C的对应点为点E,直线DE与直线AC交于点F,连接FB.

(1)如图1,当/BAC<45°时，

①求证：DFXAC；

②求/。尸8的度数；

(2)如图2,当NBAC>45°时，

①请依意补全图2；

②用等式表示线段FC,FB,BE之间的数量关系，并证明.

如图，ZVIBC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,BD、

【问题发现】

(1)把△ABC绕点A旋转到图1,BD、CE的关系是(“相等”或“不相等”),

请直接写出答案;

【类比探究】

(2)若4B=3,AD=5,把△ABC绕点A旋转，当NEAC=90°时，在图中作出旋转后

的图形，并求出此时尸O的长；

【拓展延伸】

(3)在(2)的条件下，请直接写出旋转过程中线段尸。的最小值为.

6.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A(0,3)与点8关于x轴对称，点

C(m0)为x轴的正半轴上一动点.以AC为边作等腰直角三角形ACD,ZACD=90°,

点。在第一象限内.连接交x轴于点八

(1)如果NOAC=38°,求/QCF的度数；

(2)用含n的式子表示点D的坐标；

(3)在点C运动的过程中，判断在的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说

明理由.

7.［问题背景］如图1所示，在中，AB^BC,/A2C=90°,点。为直线BC上的一

个动点(不与8、C重合)，连接A。，将线段AD绕点。按顺时针方向旋转90°,使点

A旋转到点E,连接EC.

［问题初探］如果点。在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路:

过点E作M_LBC交直线BC于尸，如图2所示，通过证明,可推证

［继续探究］如果点D在线段C8的延长线上运动，如图3所示，求出NOCE的度数.

［拓展延伸］连接8E,当点。在直线BC上运动时，若AB=&，请直接写出BE的最小

值.

8.如图，在等边△ABC中，点。为BC的中点，点E为AD上一点，连EB、EC,将线段

EB绕点E顺时针旋转至EF,使点F落在BA的延长线上.

(1)在图1中画出图形：

①求NCEF的度数；

②探究线段AB,AE,AF之间的数量关系，并加以证明；

(2)如图2,若A8=4,点G为AC的中点，连。G,将△CDG绕点C顺时针旋转得到

△CMN,直线BM、AN交于点尸，连CP,在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△8CP

的面积最大值为.

图1图2

9.在△ABC中，点尸为BC边中点，直线。绕顶点A旋转，直线。于点CN,直

线a于点、N,连接PM,PN.

(1)如图1,若点B,尸在直线a的异侧，延长交CN于点E.求证：PM=PE；

(2)若直线。绕点A旋转到图2的位置时，点8,尸在直线。的同侧，其它条件不变,

此时SABMP+SACNP—7,BM—1,CN—3,求MN的长度.

(3)若过尸点作PGL直线。于点G,试探究线段尸G、8M和CN的数量关系.

10.在RtZXABC中与Rt^QCE中，ZACB=ZDCE=90°,ZBAC=ZDEC=2>0°,AC=

DC=M，将Rt^OCE绕点C顺时针旋转，连接2。，A£,点凡G分别是8。，AE的

中点，连接CF,CG.

(1)观察猜想

如图1,当点。与点A重合时，CF与CG的数量关系是，位置关系是；

(2)类比探究

当点。与点A不重合时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证

明；如果不成立，请说明理由.

(3)问题解决

在RtADCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值.

11.如图1,Rt^ABC中，NC=90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、2重合，ED

LAC于点D.

(1)当sin8=』时,

2

①求证：BE=2CD；

②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时(60°<ZCAD<9Q°),2E=2C。是否成立?

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(2)当sin8=与时，将△AOE绕点A旋转到/DEB=90°,若AC=10,AD=2爬,

请直接写出线段CD的长.

12.如图，已知点A(0,8),B(16,0),点尸是x轴上的一个动点(不与原点。重合),

连接AP，把△OAP沿着AP折叠后，点。落在点C处，连接尸C,BC,设尸G,0).

(1)如图1,当A尸〃BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由.

(2)在点尸的运动过程中，当NPCB=90°时，求/的值.

(3)如图2,过点2作28,直线CP,垂足为点从连接在点尸的运动过程中，

是否存在A”=BC?若存在，求出r的值：若不存在，请说明理由.

13.如图，点8,C,。在同一条直线上，△8CF和△ACD都是等腰直角三角形.连接A8,

DF,延长。尸交AB于点E.

(1)如图1,若AD=BD,是△A3。的平分线，BC=1,求C£)的长度；

(2)如图2,连接CE,求证：DE=MCE+AE；

(3)如图3,改变的大小，始终保持点F在线段AC上(点厂与点A,C不重合).将

ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取A。的中点O,连接OP.当AC=2时，直接写

出。尸长度的最大值.

14.综合与实践

问题情境

从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法

可以发现一般图形具有的普遍规律.

如图1,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,4D为BC边上的中线，E为AD上一点，

将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△3PC,AD的延长线交线段BF于点

P.探究线段EP,FP,8尸之间的数量关系.

图1图2

数学思考

(1)请你在图1中证明AP_L8F；

特例探究

(2)如图2,当CE垂直于时，求证：EP+FP=2BP；

类比再探

(3)请判断(2)的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明

理由.

15.在RtZXABC中，AB=AC,OB=OC,ZA=90°,ZMON=a,分别交直线AB、AC于

点M、N.

(1)如图1,当a=90°时，求证：AM=CN；

(2)如图2,当a=45°时，求证：BM=AN+MN；

(3)当a=45°时，旋转NMON至图3位置，请你直接写出线段8M、MN、AN之间的

数量关系.

16.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.

2.线段垂直平分线

我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图，直线

是线段的垂直平分线，尸是上任一点，连接小、PB.将线段沿直线对

折，我们发现以与尸8完全重合.由此即有：

线段垂直平分线的性质定理线段：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

己知：如图，MNLAB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线上的任意一点求证：PA

=PB.

分析：图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等，便可证得如

=PB.

(1)请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明

过程；

(2)如图②，在△ABC中，直线/,〃分别是边AB,BC,AC的垂直平分线.

求证：直线/、，仄“交于一点；(请将下面的证明过程补充完整)

证明：设直线/,机相交于点。

(3)如图③，在△ABC中，AB=BC,边AB的垂直平分线交AC于点。，边BC的垂直

平分线交AC于点E，若NA8C=120°,AC=15,则DE的长为______.

17.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A(x,y)中的横坐标x与纵坐标y

满足心工+ly-8|=0,过点A作x轴的垂线，垂足为点。，点E在x轴的负半轴上，且

满足AD-OD=OE,线段AE与y轴相交于点F,将线段向右平移8个单位长度，得

到线段BC.

(1)直接写出点A和点E的坐标；

(2)在线段8C上有一点G,连接。凡FG,DG,若点G的纵坐标为如三角形。尸G

的面积为S,请用含m的式子表示S(不要求写m的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，当S=26时，动点尸从。出发，以每秒1个单位的速度沿着线

段D4向终点A运动，动点。从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB-BC向终

点C运动，P,。两点同时出发，当三角形尸GP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求

出P点坐标

18.如图1,在RtZXACB中，AC=BC,过8点作BO_LC。于。点，AB交CD于E.

(1)如图1,若AC=6,tanZACD=2,求。E的长；

(2)如图2,若CE=2BD,连接AD,在A£＞上找一点凡®CF=DF,在尸。上取一点

G,使/EGF=NCFG,求证：AF=EG；

(3)如图3,。为线段8C上方一点，且/8Z)C=90°,AC=6,连接A。，将绕A

点逆时针旋转90°,。点对应点为E点，H为DE中点,求当AH有最小值时，直接写

出的面积.

19.(1)问题发现：

如图1,△ACB和△ZJCE均为等边三角形，当△QCE旋转至点A,D,E在同一直线上，

连接3E.贝U：

①NAEB的度数为0；

②线段A。、8E之间的数量关系是.

(2)拓展研究：

如图2,△ACB和△ZJCE均为等腰三角形，且/ACB=NOCE=90°,点A、Q、E在同

一直线上，若A£)=a,AE=b,AB=c,求a、b、c之间的数量关系.

(3)探究发现：

图1中的△AC8和△OCE,在△OCE旋转过程中，当点A,D,E不在同一直线上时，

设直线AO与BE相交于点。，试在备用图中探索/AOE的度数，直接写出结果，不必说

明理由.

20.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到.小明在数学学

习中遇到了这样一个问题：”如图1,RtZVIBC中，90°,ZCAB^a,点尸在

AB边上，过点尸作尸QLAC于点Q,AAPQ绕点A逆时针方向旋转，如图2,连接CQ.O

为8c边的中点，连接P。并延长到点使。M=OP,连接CM.探究在△AP。的旋

转过程中，线段CM,C0之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方

法探究这个问题.

特例探究：

(1)填空：如图3,当a=30°时，舁=_______,直线CQ与CM所夹锐角的度数

CM

为；如图4,当a=45°时，国=，直线C。与CM所夹锐角的度数

--------CM-----------

为；

一般结论：

(2)将AAP。绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ,CM之间的数量关系如何(用

含a的式子表示)？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明

理由；

问题解决

(3)如图4,在中，若A8=4,a=45°,AP=3,将△AP。由初始位置绕点

A逆时针方向旋转0角(0°<P<180°),当点。到直线AC的距离为2时，请直接写

出线段CM的值.

图3图4

参考答案

1.解：(1)/QEP=60°；

证明：如图1,QE与CP的交点记为M,

图1

：PC=CQ,且NPCQ=60°,

：.ZPCQ^ZACB^6Q0,

J.ZBCQ^ZACP,

则△CQB和中，

rPC=CQ

-ZBCQ=ZACP)

AC=BC

.♦.△CQB0△(?m(SAS),

:./CQB=/CPA,

在△PEM和△CQW中，ZEMP=ZCMQ,

；.NQEP=NQCP=60°.

故答案为：60°；

(2)/QEP=60°.

理由如下：如图2,

,/AABC是等边三角形，

：.AC=BC,ZACB=60°,

•.•线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,

：.CP=CQ,ZPCQ=6O°,

：.ZACB+ZBCP=ZBCP+ZPCQ,

即ZACP=ZBCQ,

在△ACP和△BCQ中，

CA=CB

<NACP=/BCQ，

CP=CQ

:.△NCP经XBCQ(SAS),

...NAPC=NQ,

'：ZBOP^ZCOQ,

:.NQEP=NPCQ=60°；

(3)作CH±AD于H,如图3,

图3

与(2)一样可证明△ACP之△BCQ,

J.AP^BQ,

VZZ)AC=135°,ZACP=15°,

：.ZAPC=30°,ZPCB=45°,

：.ZHAC=45°,

△ACH为等腰直角三角形，

；.AH=CH=与AC=3近,

在RtZW/C中，PH=MCH=3遍,

:.PA=PH--3&,

，BQ=3瓜-3近.

2.解：(1)如图1中，

E

图1

'：AB=AC,ZBAC=30°,

：.ZABC=ZACB=^-(180°-30°)=75°,

2

\'AE±AC,

：.ZEAC=90°,

AZBAE=30°+90°=120°,

'：AB=AE,

：.ZABE=ZE-(180°-120°)=30°,

2

：.ZFBC=ZABC-ZABF^15°-30°=45°.

故答案为：45.

（2）①图形如图2所示.

图2

②结论：△BCF是等腰直角三角形

理由如下：如图2中，

\'AB^AC,BD=CD,

C.ADLBC,

：.AD是BC的垂直平分线，

；.FB=FC,

又AB=AC,AF^AF,

：.AABF^AACF(SSS),

；.Nl=/2,

由旋转可知AE=AC，又AB=AC,

：.AB^AE,

••.Z1=Z3,

.\Z2=Z3.

又/4=N5,

：.ZCFE=ZCAE=90°

即NCFB=90°,

又FB=FC,

••.△Bb为等腰直角三角形.

③如图3中，作EHLDF交DF的延长线于H.

图3

：AB=AC=5,BD=CD=4,

：.AD±BC,

：.ZADB^9Q°,

•"•^=VAB2-BD2=^52-42=3)

VZADC=ZEAC^ZH=90°,

：.ZDAC+ZACD^90°,ZDAC+ZHAE=90°,

ZACD=ZHAE,

VAE=AC,

AADC^AEHA(AAS),

:・EH=AD=3,

•・・△3。尸是等腰直角三角形，FD±BC,

：.ZDFB=^-ZBFC=45°,

2

・・・NHEF=NHFE=45°,

VZH=90°,

：.ZEHF=ZHFE=45°,

:,EH=FH=3,

：.EF=42EH=342^

故答案为：3M.

3.解：(1)CD=EF,CDLEF,

理由如下：9：AB=AC,ZBAC=90°,

AZABCZACB=45°,

•・,将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE

：.AD=AE,NDAE=90°=NBAC,

：.ZBAD=ZCAE,且A8=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS)

:・BD=CE,ZABD=ZACE=45°,

AZBCF=ZACB+ZACE=90°,

：.CD±EF,

又・・・NA3C=45°,

AZBFC=ZABC,

:・BC=CF,

：.CD=EF；

(2)结论仍然成立，

9

理由如下：：AB=ACfZBAC=90°,

AZABCZACB=45°,

•・•将线段A。绕A逆时针旋转90°得到线段AE,

：.AD=AE,ZDAE=90°=ZBAC,

：.ZBAD=ZCAE,且A3=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS)

:,BD=CE,ZABD=ZACE=45°,

AZBCF=ZACB+ZACE=90°,

：.CDLEF,

XVZABC=45°,

・•・ZBFC=AABC,

:,BC=CF,

：.CD=EF；

(3)如图，过点A作AN_LCE于点N,过点G作GH_LCE于",

图3

,：AB=AC=y/2^

：.BC=CF=2,

*：AN±CEfZACF=45°,

:.AN=CN=\,

:.EN=2,

:.EC=CN+EN=3,

：.EF=EC-CF=1=CD,

•：GH_LCE,ZECD=90°,

J.HG//CD,

.EGHG

=—,且EG=DG,

..丽CDEC

：.HG=^,EH=3,

22

：.FH=EH-EF=L

2

=22

•，.GFVHG+FH=点==隼

4.解(1)①由旋转知，ZABD=ZABC=90°,ZD=ZA,

：.ZD+ZBED=9Q°,

ZA+ZBE£)=90°,

•:/BED=/AEF,

：.ZA-^ZAEF=90°,

AZAFE=90°,

：.DF±AC；

②如图b

过点B作BGLBF交。尸于G,

：.ZFBG=90°,

由旋转知，ND=NA,BD=AB,ZABD=90°,

:・/FBG=/ABD,

：.ZDBG=/ABF,

:•△BDGQ4BAF(ASA),

:.BG=BF,

VZFBG=90°,

：.ZBFD=45°；

(2)①如图2所示，

@CF-EF=y[2BF.

过点B作BGLBF交AC于G,

：.ZFBG=90°,

由旋转知，ZC=ZE,BC=BE,

VZABC=90°,

；・NFBG=/ABC,

:・NCBG=/EBF,

:・ABCG义ABEF(ASA),

:・CG=EF,BG=BF,

VZFBG=90°,

：.ZBFD=45°,

:・FG=®BF,

•：CF=FG+CG,

：.FG=CF-CG=CF-EF=®BF,

即：CF-EF=MBF.

5.解：（1）BD、CE的关系是相等.

理由：:△ABC和△AOE是有公共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

：.AB=AC,

NBAD=NCAE,

DA=EA,

：.AABD^AACE（SAS）

：.BD=CE.

故答案为：相等.

（2）如图2,3即为旋转后的图形.

B

①如图2,当C在AD上时，

由（1）知△A3。丝△ACE,

ZADB=ZAEC

又,：/PCD=/ACE,

:.△PCDsXACE,

•.•-P-D---C-D

AECE

又C£=VAE2+AC2=正+/=相

CD^AD-AC^5-3=2

.PDP

5V34

解得PD百伊；

如图3,当C在AO反向延长线上时，

同理△PEBS/VIB。

PB=BE

ABBD

VB£）=V34

BE=AE-AB=5-3=2

.PB_2

解得尸2=芭&1

17__

PD=DB+PB=V341.

答：此时尸。的长为旦^20/34.

(3)如图4所示,

图4

以点A为圆心，AC长为半径画圆，

当CE在圆A下方与圆A相切时，尸。的值最小.

在RtAACE中，CE=yj_虹2=«52-32=4

在RtAADE中，£>£=7AD2+AE2=752+52=蚯

•••四边形A8PC是正方形，

.•.PC=AB=3

：.PE=PC+CE=3+4=1

在RtADEP中，PD=\/FE2_DE2=V50-49=1

线段的最小值为1.

故答案为：1.

6.解：(1)VZAOC=90°,

：.ZOAC^ZACO=90°,

VZACD=90°,

：.ZDCF+ZACO=90°,

：.ZDCF=ZOACf

*：ZOAC=38°,

:.NDCF=38°；

(2)如图，过点。作轴于H,

；・/CHD=90°

：.ZAOC=ZCHD=90°,

・・,等腰直角三角形AC。，ZACD=90°

：.AC=CDf

由(1)知，ZDCF=ZOAC,

:•△AOSACHD(AAS),

：・OC=DH=n,A0=CH=3,

・••点£＞的坐标(n+3,〃)；

(3)不会变化，理由：

•・,点A(0,3)与点5关于x轴对称，

：.AO=BO,

又〈OCLAB,

Ax轴是AB垂直平分线，

：.AC=BC,

：.ZBAC=ZABCf

又・・・AC=CZ),

:・BC=CD,

：.ZCBD=ZCDB,

VZACD=90°,

：.ZACB+ZDCB=270°,

AZBAC+ZABC+ZCBZ)+ZCr)B=90°,

AZABC+ZCBD=45°,

VZBOF=90°,

；・/OFB=45°,

：.ZOBF=ZOFB=45°,

JOB=OF=3,

・・・O/的长不会变化.

7.解：［问题初探］

如图2,过点E作石厂，8。交直线于尸,

；・NDFE=90°=NABD,

:・/EDF+/DEF=90°,

由旋转知，AD=DEfZADE=90°,

AZADB+ZEDF=90°,

NADB=/DEF,

：.AABD^ADFE(AAS),

：.BD=EF,DF=AB,

・：AB=BC,

：.BC=DF,

:・BD=CF,

：・EF=CF,

:•丛CEF是等腰直角三角形，

AZECF=45°,

：.ZDCE=135°,

故答案为：ADB,等腰直角，135；

［继续探究］

如图3,

过点E作EFLBC^F,

:・NDFE=9U°=ZABD,

：.ZEDF+ZDEF=90°,

由旋转知，AD=DE,ZAZ)E=90°,

AZADB+ZEDF=90°,

JNADB=/DEF,

：.AABD^ADFE(AAS),

:・BD=EF,DF=AB,

•：AB=BC,

・・・BC=DF,

；・BD=CF,

；.EF=CF,

:ACEF是等腰直角三角形,

.\Z£CF=45°,

.•./OCE=45°；

［拓展延伸］

如图4,

在△ABC中，ZABC=90°,AB=BC=^,

：.ZACB=45°

当点。在射线8C上时，

由［问题初探］知，ZBCM=135°,

J.ZACM^ZBCM-ZACB=90°,

当点。在线段CB的延长线上时，

由［继续探究］知，NBCE=45°,

：./ACN=ZACB+ZBCM=90°,

点E是过点C垂直于AC的直线上的点，

当BELMN时，BE最小，

'：ZBCE=45°,

.\ZCB£=45°=ZBCE,

：.BE=CE,

:.BE最小=零2。=我,

即：3E的最小值为6.

8.解：（1）如图1所示：延长BE,

图1

①：等边AABC中，点。为BC的中点，

是BC的垂直平分线，ZBAD=ZC4D=30°,

:.BE=CE,

:./EBC=NECB,

•.•将线段EB绕点E顺时针旋转至EF,

：.BE=EF,

:.NEBF=NEFB,

,：/CEF=ZFEH+ZHEC^ZEBF+ZBFE+ZEBC+ZECB=2ZABE+2ZEBC,

：.ZC£F=2ZABC=120°；

②AB=AF+6AE,

理由如下：

如图1-1,在AB上截取连接ME,过点E作EN_LAB于N,

图

,JBM^AF,ZAFE^ZEBM,BE=EF,

:.ABME沿AFAE(SAS),

:.AE=EM,

又,：ENIAB,

:.AN=MN=LAM,

2

VZBAZ)=3O0,

：.AE=2NE,AN=6NE,

a

:.AN=^-AE,

2

：.AM=y/3AE,

：.AB=BM+AM=AF-i-/3AE；

(3)如图2,

「△ABC是等边三角形，A8=4,点G为AC的中点，

：.AC=BC,ZACB=60°,CG=CD=2,

:将△CZX?绕点C顺时针旋转得到△CMN,

/.CM=CN=CG=CD=2,ZMCN=ZACB=60°,

：.ZACN=ZBCM,

:.ABCM冬AACN(SAS),

：.ZCAN=ZCBM,

...点A,点B,点C,点P四点共圆，

：.ZBPC=ZBAC=60°,

:将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CAW,

...点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，

.,.当2M与OC相切于点M时，ABCP的面积有最大值，如图所示，过点尸作尸以，BC

图3

是OC的切线，

:./BMC=90°=NPMC,

又；/BPC=60°,

.\ZPCM=30°,

:.CM=MPM=2,

3

VBM=7BC2-CM2=V16-4=2>/3,

BP=BM+MP=^Zs_,

3

VsinZPBC=—=^H.,

BCBP

:.PH』私退,

433__

：.ABCP的面积最大值=」义4义生应=苴叵,

233

故答案为雪.

9.(1)证明：如图1中，

，直线a于点M,CALL直线a于点N,

:./BMA=/CNM=90°,

C.BM//CN,

：.ZMBP=ZECP,

又•.•尸为BC边中点，

：.BP=CP,

又；NBPM=/CPE,

:.4BPM当4CPECASA),

:.PM=PE

(2)解：延长MP与NC的延长线相交于点E.

A£

BP--,•一・•<

图2比

直线a于点M,CN_L直线a于点N,

NBMN=/CNM=90°

：.ZBMN+ZCNM=180°,

J.BM//CN

：.ZMBP=ZECP,

又\•尸为8c中点，

：.BP=CP,

又,：/BPM=/CPE,

:.ABPM乌ACPE(ASA),

/.PM—PE,SAPBM=SAPCE,

：.AE=CN+CE=4,

SABMP+SACNP=7,

.*•SAPNE=7,

•'­SAMNE=2SAPNE=14,

.-.AXWX4=14,

2

：.MN=1.

(3)解：如图1-1中，当点3,尸在直线。的异侧时,

\'PG±a,CN±a,

C.PG//CN,

,:PM=PE,

:・MG=GN,

:.PG=LEN=L(CN-EC),

22

,:EC=BM,

：.PG=^-(CN-BM).

2

如图2-2中，当点,B,尸在直线a的同侧时，延长MP交NC的延长线于Q.

\'PG±a,CN±a,

C.PG//CN,

'：BM//CQ,

：.NBMP=/Q,

,：ZBPM=ZCPQ,BP=CP,

：./\PMB^/\PQCCAAS),

J.PM^PQ,BM=CQ,

：.MG=GN,

.•.PG=]AQ=3(CN+BM).

综上所述，PG=—(CN-BM)或PG=」(CN+BM).

22

10.解：(1)观察猜想

:在RtAABC中与RtAZ)C£中，ZACB=ZDCE=90°,ZBAC=ZDEC=30°,AC

—DC-1\[3,

：.AE=2DC=2M，AC=V3BC=V3，AB=2BC,ZCDE=60°,

：.BC=1,AB=2,

:点凡G分别是BZ),AE的中点，

：.CG=^AE=y]3,CG=AG,CF=^AB=I,CF=AF,

：.CG=MCF,NGr>C=NGCD=60°,ZACF=ZFAC^3Q0,

；.NFCG=90°,

：.CF±CG,

故答案为：CG=MCF,CF±CG；

(2)类比探究

仍然成立，

理由如下：

VZACB=Z£)CE=90°,NBAC=/DEC=30°,AC=DC=M，

：.ZBCD=ZACE,AC=[3BC,CE=RcD,

:.ABCDsAACE,

AAE^AC_fTNCAE=NCBD,

BDBC

;点F,G分别是80,AE的中点，

：.BF=^BD,AG=^AE,

22

工AE

年产一BC

△ACGsAecn

ACG_=AC_=ZBCF=ZACG,

CFBC

：.CG=yf3CF,ZACB=ZFCG=90°,

：.CF±CG；

(3)问题解决

如图，延长BC至H,使BC=CH=1,连接。H,

图3

E

:点尸是8。中点，BC=CH=1,

：.CF=^DH,

2

由(2)可知，CFLCG,

.'.△CFG的面积=1XC尸XCG=Y3cp2,

22

,'.△CFG的面积;返口好2,

8

.•.当OH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当OH取最小值时，△CFG的面积有最

小值，

,:CD=M，

...点。在以点C为圆心，正为半径的圆上，

当点。在射线HC的延长线上时，OH有最大值为/§+1,

...△C尸G的面积最大值=近(V3+D2=2愿+3,

84

当点。在射线CH的延长线上时，有最小值为百-1,

/.△CFG的面积最小值=江(73-1)2=2代告.

84

11.解：(1)•.•RtZXABC中，ZC=90°,sinB=—,

2

AZB=30°,

/.ZA=60°,

①如图1,过点E作EHLBC于点H,

'JEDLAC

：.ZADE=ZC=90°,

四边形CDEH是矩形，即EH=CD,

.•.在RtZXBEH中，NB=30°,

：.BE=2EH

：.BE=2CD；

②BE=2CD成立，

理由：:△ABC和△AOE都是直角三角形，

：.ZBAC^ZEAD=60°,

J.ZCAD^ZBAE,

v..AC1AD1

AB2AE2

,ACAD

ABAE

MACDsXABE,

•.•-B-E--A-B-,

CDAC

又•.,RtzXABC中，坦=2,

AC

.BE_

CD

即BE=2CD；

近

(2)VsinB=—,

2

AZABC^ZBAC^ZDAE^45°,

'：ED±AD,

：.ZAED=ZBAC=45°,

：.AD=DE,AC=BC,

将△AOE绕点A旋转NO£8=90°,分两种情况：

①如图3所示，过A作AP_LBE交8E的延长线于R则/尸=90°,

当/DEB=90°时，ZADE=ZDEF=90°,

又,：AD=DE,

四边形AZJEF是正方形，

：.AD=AF=EF=2>/5，

\'AC=10=BC,

根据勾股定理得，AB=10&,

在RtAABF中，BF=7AB2-AF2=正，

：.BE=BF-EF=亚,

又,:AABC和△?1£)£都是直角三角形，

且/BAC=/EAD=45°,

：.ZCAD=ZBAE,

..ACV2ADV2

'ABAE

.ACAD

••二,

ABAE

/.△ACDs^ABE,

.•・巫望=6,即还=圾，

CDACCD

:.CD=2后;

②如图4所示，过A作A凡LBE于F,贝iJ/AFE=/AF8=90°,

当/DEB=90°时，NDEB=/ADE=90°,

又,：AD=ED,

四边形AOEP是正方形，

:.AD=EF=AF=#,

XVAC=10=BC,

：.AB=10y/2>

在RtAABF中，BF—yjAB2-AF2—,

：.BE=BF+EF=^/5，

又,:△&CDs△ABE,

.•.巫望=&，即述=加,

CDACCD

，8=4715，

综上所述，线段CD的长为2y5或403.

cB

图4

A

图3

12.解：(1)等腰直角三角形，

理由如下：9：AP//BC,

：.ZAPC=ZBCP,/APO=/CBP,

尸沿着AP折叠，

ZAPO=ZAPC9OP=PC,

：.ZPCB=ZPBC,

:・PC=PB=0P=8,

•••△3C尸是等腰三角形，

,••04=0尸=8,

：.ZOPA=ZAPC=45°,

.\Z0PC=90°,

：.ABCP是等腰直角三角形；

(2)当£>0时，如图，

•/△OAP沿着AP折叠,

/.ZAOP=ZACP=90°,OP=PC=t,

：.ZACP+ZBCP=180°,

.•.点A,点C,点8三点共线,

:点A(0,8),B(16,0),

：.OA=S,OB=16,

AAB=VOA2K)B2=。64+256=8泥,

■22。谭啼，

••'8.——―---t--,

8V516-t

；.f=4旄-4；

当t<0时，如图,

同理可求：t--4A/5_4；

(3);△。4尸沿着4尸折叠,

：.AC=AO=S,ZACP=ZAOP=90°,

"：BH±CP,

AZACP=ZBHC=90°,

'."AH^BC,CH=CH,

：.RtAACH^RtABHC(HL)

；.AC=BH,

，四边形AHBC是平行四边形，

如图2,当0W/W16时，点反在PC上时，连接AB交CH于G,

,/四边形AHBC是平行四边形，

，AG=8G=4遥，HG=CG,AC=BH=8,

：,HG=VBG2-BH2=480-64=4,

在RtZXPHB中，PB2=BH2+PH2,

：.(16-f)2=64+(「8)2,

**•t=8；

如图3,当0W/W16时，点〃在尸。的延长线上时,

:四边形AHBC是平行四边形，

.•.AG=BG=4A/5，HG=CG,AC=BH=8,

:,HG=7BG2-BH2=V80-64=4,

在RtZXPHB中，PB2=BH2+PH1,

(16-f)2=64+(r+8)

如图4,当r<0时,

同理可证：四边形A28C是平行四边形,

又

四边形AB8C是矩形，

：.AC=BH=8,AB=CH=8疾,

在RtAPHB中，PB2^BH2+PH2,

(16-/)2=64+(Z+8A/5)2,

：.t=\6-8遥；

当t>16时，如图5,

•.•四边形A8HC是矩形，

：.AC=BH=S,AB=CH=8泥,CP=OP=t,

在RtzXP/ffi中，PB2=BH2+PH2,

Ct-16)2=64+(t-8^5)2,

.,./=16+8,/5.

综上所述：当f=8或当或16-4或16+逃时，存在A”=8C.

3

13.(1)解：•••△8CT和△ACD都是等腰直角三角形，

：.AC=CD,FC=BC=1,FB=M，

"：AD=BD,OE是△A3。的平分线，

...OE垂直平分AB,

：.FA=FB=\&

：.AC^FA+FC=42+1，

：.CD=42+1；

(2)证明：如图2,过点C作CHLCE交££»于点X,

VABCF和△ACD都是等腰直角三角形，

J.AC^DC,FC=BC,ZACB^ZDCF^90°；

.♦.△ABC当ADFC(SAS),

；./BAC=/CDF,

:NECH=90°,

：.ZACE+ZACH^90°,

VZAC£>=90",

：.ZDCH+ZACH^90°,

NACE=/DCH.

在△ACE和△OCH中，

，ZBAC=ZCDF

«AC=DC，

ZACE=ZDCH

AACE^ADCH(ASA),

；.AE=DH,CE=CH,

:.EH=MCE.

,:DE=EH+DH=A/2CE+AE-,

(3)解：如图3,连接OE,将OE绕点£顺时针旋转90°得到E。，连接。。，PQ,则

OQ=42OE.

由(2)知，ZAED=ZABC+ZCDF=ZABC+ZBAC=90°,

在RtaAE。中，点。是斜边4。的中点，

：.OE=OD=^-AD=AC=x9=Jp，

222V

：.OQ=42OE=42X&=2，

在△OE。和△QEP中，

rOE=QE

-ZOED=ZQEP-

DE=PE

:.XOED名(SAS),

：.PQ=OD=yf2-

：OPWOQ+PQ=2W^，当且仅当0、P、Q三点共线时，取“=”号,

.,.OP的最大值是2

图2

14.证明：（1）如图1,:将以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得至•△BFC,

AAEC^ABFC,

：.ZCAE=ZCBF,

VZACB=90°,

ZCAE+ZEAB+ZCBA=90°,

ZCBF+ZEAB+ZCBA=90°,

ZAPB=9Q°,

：.AP.LBF；

(2)如图2,9：CE±AD,

：.ZAEC=90°=/CEP,

・・,将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到尸C,

AAEC^ABFC,ZECF=90°,

AZAEC=ZBFC=90°,CE=CF,

・・・四边形CE尸尸是正方形，

；・EP=PF=CE=CF,NE尸尸=90°,

・・・AO为5c边上的中线，

:・CD=BD,

又•・,NCDE=NBDP,ZCED=ZBPD=90°,

・MCDE沿ABDP(AAS),

:・CE=BP,

：・EP=PF=BP,

:・EP+FP=2BP；

(3)结论仍然成立，

理由如下：如图1,过点。作CALLAO于N,作CM_L8/，交3尸的延长线于

图1

・・,将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到43尸C,

：.ZCAE=ZCBF,CE=CF,

VZACB=90°,

ZCAE+Z