专题23 投影与视图（教师版）

知识点01：几何体的三视图【高频考点精讲】1、三视图（1）从正面得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。（从前往后看）（2）从水平面得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。（从上往下看）（3）从侧面得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。（从左往右看）2、三视图的画法（1）主视图与俯视图的长相等；（2）主视图与左视图的高相等；（3）俯视图与左视图的高相等。3、正方体、长方体、圆柱、圆锥的三视图（正视、侧视、俯视）知识点02：投影与视角【高频考点精讲】1、平行投影（1）用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，例如物体在太阳光的照射下形成的影子。2、中心投影（1）由同一点发出光线形成的投影叫做中心投影，例如物体在灯光的照射下形成的影子。（2）中心投影光线特点：物体与投影面平行时，物体与投影是位似变换的关系。3、视点、视角和盲区（1）观察物体时，从物体两边（上下或左右）引出的光线与人眼的夹角就是视角。（3）盲区：视线到达不了的区域。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.58一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A．2．（2分）（2023•枣庄）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A． B． C． D．解：如图所示的几何体的主视图如下：．故选：C．3．（2分）（2023•辽宁）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．解：从正面看，图形的下面是3个正方形，上面1个正方形，．故选：C．4．（2分）（2023•日照）如图所示的几何体的俯视图可能是（）A． B． C． D．解：从上面看得该几何体的俯视图是：．故选：C．5．（2分）（2023•泸州）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三边形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：D．6．（2分）（2023•齐齐哈尔）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：从左边看，共有2层，底层有3个正方形，上层中间有1个正方形，共4个正方形，因为棱长为1，所以面积为4，故选：C．7．（2分）（2023•襄阳）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（）A． B． C． D．解：这个立体图形的主视图为：故选：B．8．（2分）（2023•湖北）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（）A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥解：根据三视图的知识，正视图和左视图都为一个三角形，而俯视图为一个圆，故可得出这个图形为一个圆锥．故选：D．9．（2分）（2023•海南）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．解：俯视图如选项C所示，故选：C．10．（2分）（2023•广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（）A． B． C． D．解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合．故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021•云南）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为3π．解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是1，高是3，∴这个几何体的体积为：π×12×3＝3π．故答案为：3π．12．（2分）（2023•越秀区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为6．解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．∴PM＝1，PE＝2，AB＝3，∵AB∥CD，∴∴∴CD＝6，故答案为：6．13．（2分）（2023•新吴区二模）某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和4，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为4π．解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是1，高是4，∴这个几何体的体积为：π×12×4＝4π．故答案为：4π．14．（2分）（2023•齐河县模拟）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是15π．解：由勾股定理可得：底面圆的半径＝＝3，则底面周长＝6π，由图得，母线长＝5，侧面面积＝×6π×5＝15π．故选：15π．15．（2分）（2023•泰安模拟）如图是某圆锥的主视图和左视图，则该圆锥的表面积是36π．解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，∴圆锥的底面周长为8π，圆锥的母线长为＝5，∴圆锥的侧面积＝×8π×5＝20π，底面积为42π＝16π，∴表面积为20π+16π＝36π故答案为：36π．16．（2分）（2023•南海区校级模拟）如图是某几何体的三视图，根据图所给各边长度算出该几何体的体积是24πcm3．（结果保留π）解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个圆柱体，依题意可求出该几何体的体积为：π×22×6＝24π（cm3）．故答案为：24π．17．（2分）（2022•青海）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是5．解：由三视图可得，构成这个几何体的小正方体的个数是：1+2+1+1＝5．如图：故答案为：5．18．（2分）（2023•祁阳县一模）已知圆锥的主视图是底边长为12cm，底边上的高为8cm的等腰三角形，则这个圆锥的侧面积是60πcm2．（结果保留π）解：依题意底面周长是12πcm，底面积是：π×（12÷2）2＝36πcm2．母线长是：，则圆锥的侧面积是：π×（12÷2）×10＝60πcm2．故答案为：60π．19．（2分）（2023•巧家县一模）如图，这是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的等腰三角形．若主视图的腰长5cm，俯视图是直径为6cm的圆，则这个几何体的高为4cm．解：由这个几何体的三视图的形状可知，该几何体是圆锥体，如图，由题意可知，AB＝6cm，SA＝SB＝5cm，∴OA＝3cm，在Rt△SOA中，SO＝＝＝4（cm），故答案为：4．20．（2分）（2023•通辽）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为（100+）cm2．解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，且△PAB为等边三角形，∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣120°＝240°，AB＝OA＝10（cm），∴扇形AMB的面积是：＝（cm2），S△PAB＝×（10）2＝75（cm2），S△AOB＝×102＝25（cm2），∴主视图的面积＝+75+25＝（100+）（cm2），故答案为：（100+）．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•未央区校级三模）李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，底面直径分别是2cm和4cm，高分别是4cm和1cm，∴体积为：4π×22+π×12×1＝17π（cm3）．答：该工件的体积是17πcm3．22．（6分）（2023•萧县一模）如图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．（1）这个几何体的名称为正三棱柱；（2）求该几何体的左视图中a的值．解：（1）这个几何体的名称为正三棱柱．故答案为：正三棱柱；（2）如图，由图形中所标识的数据可知，在俯视图中，AB＝6，△ABC是正三角形，过点C作CM⊥AB于M，∴AM＝BM＝AB＝3，∴CM＝AM＝3，故左视图中的a的值为3．23．（8分）（2023•东洲区模拟）（1）计算：．（2）如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．①这个几何体的名称是圆锥；②根据图上的数据计算这个几何体的表面积（结果保留π）．解：（1）原式＝＝＝﹣4；（2）①圆锥．②由三视图知，圆锥底面面积为：π×22＝4πcm2，圆锥底面周长为：2×π×2＝4πcm，圆锥侧面展开扇形面积为：＝16π（cm2），几何体的表面积为：4π+16π＝20πcm2．24．（8分）（2023•晋州市模拟）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的个数的关系如表所示．菜碟的个数菜碟的高度（单位：cm）1323+1.833+3.643+5.4……（1）把x个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度（1.8x+1.2）cm（用含x的式子表示）；（2）如图所示，是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是多少．解：（1）由题意得，这一摞菜碟的高度为：3+1.8（x﹣1）＝（1.8x+1.2）cm；故答案为：（1.8x+1.2）cm；（2）由三视图可知，共有7+4+3＝14个菜碟，所以叠成一摞的高度为1.8×14+1.2＝26.4（cm）．25．（8分）（2023•蒲城县二模）夏天到了，姗姗的妈妈买了一个防蚊罩以保护饭菜（如图1），将罩子开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形．姗姗测得罩子的直径OA为40厘米，罩子内壁的最大高度为20厘米，她以罩子左边缘点O为原点、OA所在的水平线为x轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）某天，姗姗将一盘菜沿水平线OA（圆形盘子直径与OA重合）放置在罩子下，盘子左侧边缘离O点的水平距离为4厘米，她想在盘子右侧紧挨盘子沿水平线OA再放置高度为6厘米的一碗稀饭（碗的俯视图也是圆形，其直径与OA重合），已知盘子和碗的直径分别为20厘米、12厘米，要使罩子紧贴水平桌面，请通过计算说明：她这样放，罩子能否接触到碗？解：（1）由题意可知，点A的坐标为（40，0），点O的坐标为（0，0），抛物线的顶点坐标为（20，20），设抛物线的关系式为y＝ax2+bx+c，则，解得，所以抛物线的关系式为y＝﹣0.05x2+2x；（2）当x＝4+20＝24时，即y＝﹣0.05×24×24+2×24＝19.2＞6，当x＝24+12＝36时，即y＝﹣0.05×36×36+2×36＝7.2＞6，所以她这样放，罩子不会接触到碗．26．（8分）（2023•盐都区三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了两个实验小组，在某天下午3时，同时进行了两项实验：实验一：测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m．实验二：探究长方体的影子．如图1是该长方体在当天下午3时阳光下投影，图2是图1中长方体的俯视图．（1）该长方体的高AB＝39cm，宽BE＝22cm．①此时AB的影长BC为26cm；②此时测得CE＝40cm，求tan∠BCD；（2）某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．解：（1）①∵AB＝39cm，测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m．AB的影长是BC，∴＝，即＝，解得BC＝26cm，故答案为：26；②延长EB交CD于点H，设BH＝x，则有：在Rt△EHC中，HC2＝402﹣（22+x）2，在Rt△BHC中，HC2＝262﹣x2，则有：402﹣（22+x）2＝262﹣x2，解得：x＝10，即BH＝10，∴HC＝＝24，∴tan∠BCD＝＝．（2）如图所示，过点G作GM⊥BE于点M，由题意得：＝，∴EG＝28，Rt△EGM中，tan∠EGM＝tan∠BCH＝＝，∴设EM＝5x，GM＝12x，∴GE＝＝＝13x，∴cos∠EGM＝，sin∠EGM＝，∴MG＝28×＝，EM＝×＝．∵＞24，＜15，∴甲楼的影子落在乙楼的墙上．27．（8分）（2023•婺城区一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．（1）已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．（2）若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭3个小立方体．解：（1）如图