重构核粒子法在二维及三维势问题中的应用

目录TOC\o"1-3"\h\u摘要 第一章绪论研究背景数值计算是通过使用智能计算器等工具来实现数学计算，从而获取数值结果的过程。在数学发展的早期阶段，针对解决各种实际问题的需求，人们便开始着手进行数值计算的研究。然而，想要获得高效率和精准度的数值计算结果，离不开先进的计算工具的支持。计算方法是一种数学方法，如今，在众多科学研究和工程领域中，这种方法被广泛运用于多个行业、领域和应用场景中。其中包括：在航天器的设计、发射和飞行过程中，计算方法可以通过模拟和分析来优化设计和提高性能；利用计算方法对地球物理信号进行处理和解释，来获取更准确、可靠的地质信息；在现代天气预报中，此法可以利用数值模型对大气环境进行数值模拟和预测，提高天气预报的准确度等等。帮助科学家和工程师们有效的解决各种实际的问题，推动社会向前进步。随着社会的飞速发展，计算机技术的不断进步，数值计算方法也在发生着迅速的变化。比如，优化算法和模拟计算等新兴技术正在越来越多地应用于广泛领域。因此，未来数值计算将会变得更加有效、精确并且强大。目前来看，有很多数值方法得到了发展，例如：无网格法、多重网格法、近似求解误差估计法、加权残数法、边界元法、有限差分法、多尺度计算方法、有限体积法。其中，有限元法是目前发展前景较为可观的数值方法，并扮演重要角色于科学研究和社会发展中。有限元法作为一种前期发展的数值计算方法，被广泛应用于工程、物理和力学等领域。它将一个连续的问题转化为一个离散的问题，在每个小区域内建立一组方程，通过求解这些方程集得到整个问题的解。有限元法的长处包括通用性强、精度高、适用范围广等。但是，针对特定领域的问题，其他数值方法可以取得更好的效果和更大的成果。多重网格方法，其优点包括函数逼近速度快、计算精度高等。多重网格方法的基本原理是通过多级网格迭代算法，将一个大规模的问题转化为若干个小规模的问题。多重网格方法与其他数值方法相比，其最大优越性在于，它适用于求解“局部平稳”问题。在这种类型的问题中，整个区域或者物理场可能存在某种固有的“尺度”，而且只有很少的这样的尺度范围才对结果产生明显的影响。相反，如果仅仅是小尺度问题，那么使用多重网格方法也许就没有必要了。因此，多重网格方法在模拟材料科学和图像处理等领域得到了广泛的应用。总之，该法是一种多应用于工程学科中的有效数值解法，能够解决遇到的各种问题。边界元法可以吸收借鉴有限元法离散化技术，并应用到岩石力学分析、矿山环境模拟等的求解中。这些优点引起了研究人员的兴趣和信心。不同于有限元法的是，该方法将求解范围离散化，在边界处进行数值计算。这使得其具备有限元法没有的优点。以网格方法为基础，有限元法和边界元法等被得到了广泛的应用，在处理大变形、非静态裂纹扩展、流体和固体相互作用影响等问题时，由于网格很有可能会发生畸变，因而，在数值模拟过程中需要重新调整网格，这就指出了此法会浪费掉许多时间以及降低计算的效率，而且还会降低计算结果的精度。为了避免对单元或网格内容的依赖，从最近几年发展趋势来看，人们正在尝试使用一种新颖的数值计算方法——无网格方法。因为有了无网格法的一系列优势，因此不会受到网格或单元的限制，当涉及到网格的畸形变化、网格移动等的相关问题时，这种方法就会显露出明显的优势。无网格法被研究的时间尚晚，是在二十世纪后期才发展研究的，存在着较多未解决的问题，因此，对其进行相关的研究和应用是非常重要的。相比于有限元法，它含有某些相似的特点，但又有其独特的优点，主要体现在以下几方面：无网格法摒弃了对单元或网格的依赖，能够处理裂纹扩展问题、弹性动力学问题、塑性流动问题和大变形等的问题，因此不需要进行网格改造，从而显著提升了计算的精度和效率；在模拟分析功能梯度材料时，无网格法可以方便地施加材料参数，并且适合实际工程中参数连续变化的要求；无网格法中的基函数可以表现待求问题的特殊性质，在解决工程问题过程中，具有很大优势；最后，无网格法计算得到的结果是平滑连续的，由于后处理工作较为简单，因而不需要进行应力光顺滑等后处理。无网格法的发展目前发展的有无网格方法有无单元Galerkin法、重构核粒子法、有限点法、有限点法、光滑粒子法（SmoothParticleHydrodynamicMethod，简称SPH）、多尺度重构核粒子法以及移动粒子有限元法等[1]。无网格方法具有独特优势，是其他方法所无法比拟的，因此，可以预见该方法是一种非常有效求解复杂问题的方法。其中，本文用到的方法为重构核粒子法，以下介绍了重构核粒子法的发展史，以及此方法的应用和改进。研究无网格法就要追溯到1970年，那时，有限元法的研究正处于兴盛阶段，无网格法并没有引起人们的注意，直到1990年初，在移动最小二乘法研究成熟之后，在此之上提出了扩散单元法，其中Nayroles等人在此方法的研究和应用方面做出了突出重要贡献[2]。基于此，Belytschko等人对该方法进行了内容和理论方面的改进，最后才提出了无单元Galerkin方法，这使得无网格方法得以迅猛发展。1996年，Liu和Li提出了关于重构法改进的两个方法。同年，Liu还提出了多尺度重构核粒子法[3]。在2001年，Han等人对研究内容主要集中在理论分析和误差估计框架建立起来的重构核粒子法进行了理论分析，并引入了粒子分布正则族的新概念，推导出了粒子分布正则族上重构核粒子法插值的最优阶误差估计。这一成果不仅提高了重构核粒子法的精确度，还为解决力学中的复杂问题提供了有效方法[1]。2003年，陈等人提出了重构核插值公式，引入了Kroneckerdelta性质，构建了重构条件，实现了混合插值和严格误差分析。这个公式能够有效地实现对于采样信号的重建，并且具备一定的稳定性和精度。此外，陈等人还在研究中采用了一系列计算方法和优化策略，进一步提升了插值效果和计算速度。这些成果的提出，为数字信号处理和图像处理等领域的实际应用提供了稳固的理论基础和技术支撑[4]。2004年，Lee等提出了一种耦合方法。此外，还分析了耦合过程的收敛速度。2007年，王琥等人讨论了三维重构核粒子法体积成形模拟系统的并行算法[5]。2010年，郑保敬等人创造了新方法无网格Petrov-Galerki法，在处理一般性无网格问题时具有较高计算精度和效率[6]。对重构核粒子法的进行应用，这里介绍一下当时比较具有突破性的，被创造出来的新方法—Hermit-type重构核粒子法[7]，对该方法进行应用，研究者在公式推导过程中得出了相应的计算公式，该方法是一种纯无网格方法，只需节点信息即可，不需要背景网格积分。相对于传统的重构核粒子法，该方法在计算边界处节点值时，计算精度更高，因此具有更好的稳定性和精度。此外，该方法还能够有效地处理含多物理场或多场耦合的问题，在物理问题的建模和仿真等方面具有广泛的应用前景。这项工作为力—电耦合问题的研究提供了新的思路和方法，同时也为无网格方法的发展做出了重要贡献。同年，Bui和Nguyen等在分析几种材料结合在一起的层合板的振动时，应用了滑动Kriging插值方法[2]。2018年，Sun等人研究了求解浅水方程组，这是利用重构核粒子法进行的[5]。近几年来，对重构核粒子法进行了应用，如：Xiong及其团队也利用重构核粒子法模拟解决金属在轧制过程中的加工参数，如温度、变形等级，使材料发生变形，从而得到金属所需的大小和尺寸，以及二维锻粗和利用挤压设备进行人为的挤压过程等的问题，取得了一定的成果。此外，Khoei等人将重构核粒子法应用到通过金属粉末压制成型再进行煅烧、热加工等工艺实践中，研究了加工之中材料在变形过程中对应力的响应的敏感度而发生的塑性变形，这为该领域的研究提供了有效的数值模拟手段。总的来说，重构核粒子法在金属塑性成型中的应用为该领域的研究提供了新思路和新方法，有望在未来得到更广泛的应用和推广。由于重构核粒子法的大量使用，许多学者对该法进行了进一步完善。比如，2000年，陈等在研究中提出了一种改进的重构核粒子法。更具体地说，由于传统的重构核粒子法涉及的计算量很大，所以陈等人提出了一种改进的方法，这种改进方法的优点包括可以精确捕捉材料变形行为，提高了计算效率，使得这种方法更适合于实际工程问题的求解。通过采用这种改进的重构核粒子法，陈等人成功地模拟了将金属环件放入壳体内，施加压力使其发生变形的过程、轴对称冷墩粗和未装饰完成的区域或室内空间等过程，使用了弹塑性模型，这种模型是用于描述材料变形行为的模型，分成弹性阶段和塑性阶段。最终数据表明：数值计算结果与实验数据相符。因此，该改进方法在金属塑性成型以及其他工程领域中的应用具有广阔的前景。1.3无网格方法的发展趋势存在问题：1.计算效率问题。由于要计算函数和导数。因此，当前亟需解决的问题是怎么能够提高计算效率，那么，为了提高计算效率以及满足大量计算的需求，我们需要从多方面进行考量。2.节点布置问题。怎样合理地选择节点进行放置以达到最佳的计算精度还要进行深入的研究。3.数学理论支撑问题。此方法还有许多不完善的地方，因此，需要在该方法方面进行适当地拓展，以促进理论和实践的应用。此外，还需要解决的问题包括无网格方法的计算负担更重、需要针对不同问题单独编程、处理复杂边界、界面、多材料、多组分、特别是多场问题的工作量相对较大，求解复杂结构的电磁场、温度场的有效性还处于研究阶段，需要进一步提高方法的精度和可靠性。发展趋势：1.无网格方法的算量较庞杂。需要修改的方面有很多很多，相比较而言，比有限元法更加的复杂，因此，计算量也更大。可以通过优化算法、加速计算等方式提高计算效率，同时也需要研究新的计算方法和技术。这样可以使无网格方法在实际应用中更加高效、精确地完成各种科学和工程计算任务。2.无网格方法的应用。用此法来求解工程在当今社会来看情况较少，因此该法需要进行一步研究。3.无网格方法并行算法研究非常重要。可惜的是，到目前来讲，关于该法这方面的研究还很少。1.4小结本章节对无网格方法进行了简单的介绍，介绍了数值方法的重要性，到无网格方法，再到由无网格方法延续发展出的各种方法，主要介绍了重构核粒子法和关于此方法的应用以及对该方法的改进。最后，上文对无网格方法后续发展提供了一定的建议。第二章重构核粒子法2.1引言重构核粒子法是一种在日常生活中常用的粒子方法。此方法是在光滑粒子法的基础之上延续发展而来的一种形成方法，借鉴了光滑粒子法的部分内容和方法，这种形成方法是关于逼近函数的，也是无网格方法中使用逼近函数进行建模的重要方法之一，因而，重构核粒子法在无网格方法中具有广泛的应用。重构核粒子法在构造逼近函数时，利用光滑粒子法的核函数引入修正项来满足再生条件；在构造插值形函数时，在光滑粒子法的核函数中引入了修正项，理论上，在有限域内对近似函数进行精准重构是有可能的。重构核粒子法形成的形函数具有良好的光滑性等优点，可以计算出插值点处多项式的高精度值，在数学理论支持下，构造出的逼近函数具有较高的精度。重构核粒子法的一个缺点在于，选用不同的核函数可能导致计算精度的下降，并且会有配点过多、计算量大等问题。重构核粒子法在当代是一项新技术，它通过减去核外电子来改善粒子间相互作用，使得分子模拟从数值精度上得以显著提高。最近几年，重构核粒子法也被广泛应用于各种物理系统，其有效性受到业界认可。总之，重构核粒子法是一项针对分子模拟领域的新技术，它的有效性已经受到越来越多人的认可。重构核粒子法的发展将有助于粒子系统中粒子间相互作用的研究，使研究者能够更好地理解复杂的物理系统，从而更好地探索系统中的内在规律。重构核粒子法对于当今分子模拟领域的研究和应用具有十分重要的意义。2.2重构核粒子法重构核粒子法在重构核粒子法中，近似函数构造的重要点是通过修改和更正核函数ϖ(x−x)来构造函数u(x)的逼近函数uℎx=式中，ϖ(x−xϖx;x−其中C(x;x−xCx;x−其中pi线性基：pT=（1,x1）pT=（1,二次基：pT=（1,pT=（1,m是个数,是关于基函数的；bibx通过使用梯形积分法,可以获得与式（2.1）中核函数相关的近似结果,并将其转化为离散形式：uℎ其中,ωx−xI是一种权函数,带有带紧支集特性,它是通过影响一片区域内分布的点xI为中心对x节点进行加权,∆I=1n在二维方面,V代表的是包括求解域Ω在内的面积。式（2.9）可用矩阵形式表示为uℎ其中u=(WxV=Δ令Cx则CxP=p在重构条件下,系数bi(x),是依照逼近函数来确定的,与此同时也要满足逼近函数相匹配精度的前提下才能得以实现。将uℎuℎ其中mi式子（2.18）推导得来,通过改进的重构核函数的条件为：m0mi即Mx其中Mx=H=(1,0,⋅⋅⋅,0)T即得bx所以,逼近函数uℎuℎ其中Φ(x)为形函数,Φx从以上算式可以看出矩阵W是具有可逆性质的,所以,躲开了移动最小二乘法构造函数形成方程组的问题。在构造过程中,形函数ΦI(x)的光滑性对应着权函数w(x−xI)的光滑性,比如,若w(x−因为ΦI(xJ)≠δIJ,则uℎ(重构核粒子法关于形函数的导数由式(2.9)和式(2.27)可知ΦI由式（2.16）可知Cx;x−xI结合式（2.25）可得ΦIx一维情况时,取ΔVI可得形函数的导数dΦ其中dC(x;x−xI由式（2.22）可得dMx因此db(x)dx将式（2.33）和（2.35）代入式（2.32）即可以得到一维情况下形函数的导数。对于二维情况,基函数向量p(x−xpT未知系数组成的向量b(x)可写为bTx则修正函数可表示为Cx;x−二维情况下,利用乘法规则来定义粒子体积是最方便的,如ΔV形函数的一阶偏导数如下：ΦI,1式中C,jb,j其中j=1,2。通过相似的方法,可以得出三维重构核粒子法中形函数的导数。2.3小结本章节的2.1,详细介绍了重构核粒子法的定义,以及该方法的固有缺陷。本章2.2,对重构核粒子法进行公式推导,得到了Φ(x)和重构核粒子法的导数。第三章势问题3.1势问题中的重构核粒子法考虑如下的Poisson方程：∇2u边界条件为ux=qx=这里的Ω是对应于x的定义范围，Γ是Ω内部和外部之间的分界线,并且在此基础之上有这样的条件：Γ=Γu∪Γq,Γu∩Γq=∅；显而易见,根据算式我们可以知道,b(x)是已知的函数,通过推断可知,符号u代表的是场点的位势,称为源函数,很显然,在自然系统内部的边界Γq上,经过发展的移动最小二乘法获得的形函数不满足Kroneckerδ函数的性质,这是由于对形函数进行了延续,即ΦI(xJ)≠δIJ∫Ωδ其中L(·)为微分算子,L⋅=α为罚因子,一般取为一大正数。将计算范围分散到M个节点,利用重构核粒子法建立区域内随便场点的位势为u(x)的逼近函数,由以下式子：uℎ可得ux=Φ其中,符号n表示的是作用于将求解范围离散划分后,覆盖到位置场点x的节点个数,即u=(u那么Lux=L其中BxBI将式(3.6)和(3.8)代入式(3.4)可得∫Ωδ由式(3.11)可得最终的求解方程为K+Kα其中KIJ=KIJαFI=FIαI,J=1,2,…,M,u与式（3.7）形式相同,n=M。以上描述即为势问题方面的重构核粒子法。为了计算式子（3.12）中的矩阵或向量元素,采用Gauss积分进行运算。在进行数值积分运算时,需要使用布景积分网格。为了更容易确定Gauss积分点的信息,往往会将背景积分网格布置成有序的网格。要说明的是,无网格方法与有限元法在使用上的一个显著不同是网格的使用方式。在无网格方法中,规则网格只被用来计算数值积分结果,它们与影响域和节点没有必然的联系；但在有限元法中,网格与形函数之间有严格的对应关系,计算结果与网格的质量有很大关系。若网络划分得不足,将会影响结果的精确度或者致使不能求解。因此,在无网格方法中,规则网格的大小和形状可以根据需要随意设置,并且与形函数无关,只要能够轻松地计算数值积分即可。第四章数值算例本节采用势问题的重构核粒子法对2个算例进行计算,并用解析解进行了比较。在数值计算中,通常需要离散化求解区域以建立求解方程。在以下算例中,借鉴了均匀节点分布的方法将计算区域划分为许多小单元,为了建立相应的求解方程,常常需要通过积分等方式来描述部分区域内的解。在这个过程中,布局背景网格是一种有效的方法。改进的移动最小二乘法逼近函数中使用了加权正交基和三次样条权函数。在每一个积分单元中,二维问题采用4×4点的Gauss积分,三维问题则是采用3×3×3点的Gauss积分计算数值积分。4.1二维势问题二维环形区域内的Poisson方程考虑圆环上的控制方程：∇2和Dirichlet边界条件ua,θub,θ其中,求解域Ω=r,θ该问题的解析解为：ur,θ相对误差值：uℎ应用重构核粒子法求解该问题,求解域内的节点分布是如图4.9所示的环形区域。首先对算例进行误差分析,表4.10和表4.11为不同影响域比例参数dmax和罚因子α对应的相对误差值。图4.9环形区域内的节点分布dmax(比例参数)error(相对误差)1.010.00151.110.00271.210.00151.310.00111.410.00121.510.00151.710.0018表4.10不同的dmax对应error的变化根据表4.10所示,固定α,对dmax的值进行调整,选取不同的影响域比例参数值（dmax）对应不同的误差（error）。根据上表的数据显示：当dmax取1.31时,误差最小。α(罚因子)error(相对误差)1×0.62181×0.06321×0.00681×0.00111×0.00331×0.00841×0.0215表4.11不同的α对应error的变化表4.11所示为dmax取为1.31时,选取不同的α（罚因子）,对应不同的误差（error）。其中当α=1e4时误差最低。当dmax=1.31,α=1e4,节点数为100×20时,可得相对误差为0.0011。图4.12解析解和数值解对比将数值解与解析解进行对比,曲线图代表解析解,节点代表数值解,节点与解析解曲线基本相符。图中的数值解同解析解进行比较证明了重构核粒子法的有用性和正确性。以上部分进行了数值计算,结果发现该方法得出的数值解与解析解在误差允许的范围内可以高度匹配。因此,它具有极高的精确度和可靠性,可以广泛应用于不同领域的数学计算中。4.2三维势问题三维立方体内的Laplace方程,此方程是具有Neumann边界条件的考虑具有Neumann边界条件的Laplace方程∇2边界条件为∂u(0,x∂u(x∂u(x∂u(x其中,求解域Ω=0,1该问题的解析解为ux应用重构核粒子法求解该问题。首先对算例进行误差分析,表4.19为不同影响域比例参数dmax和相对误差error对应的相对误差值。dmax(比例参数)error（相对误差）1.1190.00981.1290.00911.1390.10591.1490.00881.1590.00731.1690.01171.1790.1227表4.19不同dmax对应不同error根据表4.19所示,固定α,对dmax的值进行调整,选取不同的影响域比例参数值（dmax）对应不同的误差（error）。根据上表的数据显示：当dmax取1.159时,误差最小，相对误差为0.0073。在算例运行过程中发现，当dmax固定，不管α=1.5×10图4.20沿x1图4.21沿x2图4.22沿x3将数值解与解析解进行对比,曲线图代表解析解,节点代表数值解,节点与解析解曲线基本相符。图中的数值解同解析解进行比较证明了重构核粒子法的有用性和正确性。以上部分进行了数值计算,结果发现该方法得出的数值解与解析解在误差允许的范围内可以高度匹配。因此,它具有极高的精确度和可靠性,可以广泛应用于不同领域的数学计算中。4.3小结在本章节中有俩个算例,通过算例得出了dmax、α与error的关系,并根据图像可以看出数值解和解析解的相符程度变化,数值变化清晰明了。第五章结论与展望5.1结论本文介绍了由光滑粒子法演化而来的重构核粒子法,对此方法的发展做了简要概述,并且列举部分重构核粒子法的应用,重构核粒子法用途广泛,值得我们对此法进行更深一步的钻研。由于重构核粒子法是一种新的方法,因此还存在着较多未解决和需要解决的问题需要我们后辈继续努力。5.2展望我们应该对重构核粒子法进行更广范围的推广,对方法进行更大范围的应用,以此来推动重构核粒子法向前发展,未来我们可能会发现和探索出更多有关于重构核粒子法的理论和应用,希望该方法可以对我们生活产生实实在在的用处,对社会产生更大的推动力。参考文献[1]秦义校,程玉民.弹性力学的重构核粒子边界无单元法与有限元的耦合法[J].固体力学学报,2008,(02):205-211.[2]蔡瑞环.粒料混合过程离散单元模型及数值仿真研究[D].导师：赵永志;顾超华.浙江大学,2021.[3]郭冬冬.用单位分解配点法解地下水二维非稳定流问题[D].辽宁师范大学,2016.[4]势问题的重构核粒子边界无单元法[J]秦义校,程玉民,力学学报.2009（06）.[5]田利瑞.热力耦合问题的准凸重构核粒子法[D].武汉理工大学,2019.[6]王继晨,刘飞,鲍益东,尹玉婷,史月龙.基于无网格法的镁合金等温锻造成形模拟分析[J].锻压技术,2023,48(02):10-15.[7]马吉超.Hermit-type重构核粒子法的研究及其应用[D].齐鲁工业大学,2018.[8]刘英贤.应用无网格法分析膜结构找形问题的初步研究[D].昆明理工大学,2006.[9]周德亮,李跃,王宗慧.非均质承压稳定流动问题的无单元伽辽金法[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),2019,42(04):439-4