2024年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校中考数学一模试卷（含答案）

年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）计算（x5）2的结果是（）A．x3 B．x7 C．x10 D．x252．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．3．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜04．（3分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．（3分）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，若AC＝PC＝3，则PB的长为（）A． B． C． D．38．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，大于的长为半径画弧，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，GC长为半径画弧，交BC于点H，AH．则下列说法错误的是（）A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．△ACG∽△BCA9．（3分）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C（）A．（2，0） B．（2，0） C．（2+1，0） D．（2+1，0）10．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）函数的自变量x的取值范围是．12．（3分）分解因式：m2+m＝．13．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．15．（3分）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1），则x的值为．16．（3分）如图，在△ABC中，边AB在x轴上（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，S△ABC＝6，则k＝．三、解答题（共7道题，共计72分）17．（8分）（1）计算：；（2）化简：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）．18．（8分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，1.1，1.1，1.7，1.9八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.2．七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级1.31.1a0.2640%八年级1.3b1.00.23m%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a，b，m的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．19．（8分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）20．（11分）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润21．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，OE＝3，求GC和OF的长．22．（12分）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD的值．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝，CE．①求的值，交AB于点G．求sin∠BFC的值．23．（13分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）计算（x5）2的结果是（）A．x3 B．x7 C．x10 D．x25【解答】解：（x5）2＝x4×2＝x10．故选：C．2．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，底层有三个小正方形，∴它的主视图是：．故选：D．3．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0【解答】解：由数轴可知，a＜﹣2，不符合题意；a＜﹣2，7＜b＜1，故B结论正确；a＜0，b＞5，a+b＜0，不符合题意；a＜0，b＞3，故D结论错误．故选：B．4．（3分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故选：A．5．（3分）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：设A，B，C，D分别代表交通安全、饮食安全．画树状图如图：共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，则两人恰好选中同一主题的概率为＝．故选：D．6．（3分）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，故不符合题意．B、将函数y＝ax3+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，故不符合题意．C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠3）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，则y随x的变化情况不变．D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位．故选：D．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，若AC＝PC＝3，则PB的长为（）A． B． C． D．3【解答】解：如图，连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∵AC＝PC，∴∠P＝∠A，设∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，∴x+x+90+x＝180，∴x＝30，∴∠P＝30°，∵∠PCO＝90°，∴OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，tanP＝，∴＝，∴r＝3，∴PB＝OP﹣OB＝2r﹣r＝r＝3．故选：D．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，大于的长为半径画弧，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，GC长为半径画弧，交BC于点H，AH．则下列说法错误的是（）A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．△ACG∽△BCA【解答】解：由作图得DE垂直平分AC，HG＝CG，∴AG＝CG，故A不符合题意；∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠C＝∠B＝36°，∴∠C＝∠GAC＝36°，∴∠GAC＝∠B，∵∠C＝∠C，∠GAC＝∠B，∴△ACG∽△BCA，故D不符合题意；∵HG＝CG＝AG，∠AGH＝∠C+∠GAC＝72°，∴∠GAH＝∠GHA＝×（180°﹣72°）＝54°，∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，∴∠HAB＝∠BAC﹣∠GAC﹣∠GAH＝108°﹣36°﹣54°＝18°，∴∠B＝7∠HAB，故B不符合题意；∵∠CAH＝∠GAC+∠GAH＝90°，∴△CAH是直角三角形，∵∠GAB＝∠BAC﹣∠GAC＝72°，∠AGB＝72°，∴△BAG不是直角三角形，∴△CAH与△BAG不全等，故C符合题意，故选：C．9．（3分）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C（）A．（2，0） B．（2，0） C．（2+1，0） D．（2+1，0）【解答】解：延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，如图，∵A（1，2），∴AD＝4，OD＝2，∴OA＝．由题意：△OA′D′≌△OAD，∴A′D′＝AD＝6，OA′＝OA＝，∠A′D′O＝∠ADO＝90°．则OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，∴△A′OE为等腰三角形．∴OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝3．∵EO⊥OC，OD′⊥EC，∴△OED′∽△CEO．∴．∴．∴OC＝2．∴C（8，0）．故选：B．10．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确；由图6知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确；由图5知，当K＝10时﹣3＝22（mg/100mL），∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，符合题意；由图2知，当R8＝20时，K＝40，∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL），∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确；故选：C．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）函数的自变量x的取值范围是x≤2．【解答】解：根据题意得：4﹣2x≥5，解得x≤2．12．（3分）分解因式：m2+m＝m（m+1）．【解答】解：m2+m＝m（m+1）．故答案为：m（m+6）．13．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝5．【解答】解：∵x1，x2是方程x3﹣2x﹣3＝2的两根，∴x1+x2＝8，x1•x2＝﹣7，所以x1+x2﹣x3x2＝2+3＝5．故答案为：5．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为π﹣（结果保留π）．【解答】解：连接CE，∵∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π，∵S△BCE＝BC2＝，∴阴影部分的面积为π﹣．故答案为：π﹣．15．（3分）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1），则x的值为﹣．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x+x+5＝（2x+1）（x+5），解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠7，∴原方程的解为：x＝﹣．故答案为：﹣．16．（3分）如图，在△ABC中，边AB在x轴上（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，S△ABC＝6，则k＝．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝2m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝2，∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．三、解答题（共7道题，共计72分）17．（8分）（1）计算：；（2）化简：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）．【解答】解：（1）原式＝﹣2+1+2＝﹣2+4＝4；（2）原式＝x2﹣1+4x﹣x2＝2x﹣5．18．（8分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，1.1，1.1，1.7，1.9八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.2．七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级1.31.1a0.2640%八年级1.3b1.00.23m%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a，b，m的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【解答】解：（1）由题可知：a＝0.8，b＝5.0．（2）∵八年级抽测的10个班级中，A等级的百分比是20%．∴估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）．答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为4个．（3）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数6.0．②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的20%．八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：“①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.3低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1．②八年级各班餐厨垃圾质量的方差2.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．”19．（8分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）【解答】解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15，在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20，∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．20．（11分）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，由题意可得：，解得，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，∴w随a的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的3.5倍，∴a≤1.6（40﹣a），解得a≤24，∴当a＝24时，w取得最大值，40﹣a＝16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润．21．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，OE＝3，求GC和OF的长．【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，∴BE＝＝4，∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BC＝2BE＝5，∵BG是⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴GC＝＝4，∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，∴＝，即＝，解得：OF＝．22．（12分）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD的值．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝，CE．①求的值，交AB于点G．求sin∠BFC的值．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝＝；（3）解：①∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝＝，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴＝＝；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC＝＝．23．（13分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，6），0），3），∴设y＝a（x+2）（x﹣3），将C（0，得a（4+1）（0﹣8）＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+6）（x﹣3）＝﹣x2+5x+3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+3；（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，∴△PEH∽△OEC，∴＝，∵＝k，∴k＝PH，设直线BC的解析式为y＝kx+n，∵B（3，3），3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（t，﹣t2+6t+3），则H（t，∴PH＝﹣t2+4t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t5+3t，∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，∵＜6，∴当t＝时，k取得最大值，P（，）；