广东省东莞市海德实验中学2023-2024学年九年级下学期一模考试数学试卷(含答案)

年九年级下学期模拟试卷一．选择题（共10小题）1．下列四个图案中是轴对称图形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（）A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣93．如图，直线l1∥l2，在l1，l2之间放置一块直角三角板，使三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1，l2上．若∠1＝65°，则∠2等于（）A．115° B．65° C．26° D．25°4．将抛物线y＝x2+2的图象向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝x2 B．y＝x2 C．y＝（x-2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+15．下列命题中真命题是（）A．一个角的补角一定大于这个角 B．两点之间，直线最短 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．相等的角是对顶角6．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为（）A．540° B．720° C．900° D．1080°7．化简结果正确的是（）A．1 B．a C． D．8．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．65°9．已知二次函数y＝2x2+m，如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（）A．2 B．4 C．8 D．1810．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点（不与点B，C，D重合），且∠EAF＝45°，AE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，连接EH、EF，则下列结论：①△ECF的周长不变；②△AGE是等腰直角三角形；③当EF∥BD时,CE＝2BE.其中正确的有（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共6小题）11．分解因式：a2﹣a＝；12．计算：-（3﹣π）0＝．13．已知近视眼的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足的关系为y＝，则当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为m．14．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是．15.如图，已知矩形OABC,OA=2,分别以OA,OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，反比例函数y=2x(x＞0)的图象经过点B,延长AB,CB,与反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别交于点D,E,若△16．如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，把边长分别为x1，x2，x3，…xn的n个正方形依次放在△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…其他正方形依次放入，则第2022个正方形的边长x2022为．三．解答题（共7小题）17．解不等式组：．18．求代数式2x−y2+−4x19．为保护耕地，某地需要退林还耕1500亩．已知甲施工队每天退林还耕的亩数是乙施工队的1.2倍；若单独完成退林还耕任务，甲施工队会比乙施工队少用5天．求甲、乙两队每天完成退林还耕多少亩．20.如图，已知平行四边形ABCD,AC为对角线.(1)请用尺规作图法，过点D作AC的垂线，交AC于点E;(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若∠ACB=30°,AD=4,求点D到线段AC的距离.21．甲，乙两名队员参加训练，每人射击10次的成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩环众数/环中位数/环方差/环2甲a771.2乙7bc4.6（1）写出表格中a，b，c的值：a＝，b＝，c＝；（2）根据以上统计数据，你会选择谁参加比赛，请说明理由．22．如图，抛物线y＝ax2+3ax+c经过点B（1，0）、C（0，﹣3），交x轴于另一点A（点A在点B点的左侧），点P是该抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线AC下方且S△PAC＝时，请求出点P的横坐标；23．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察证明．如图1，当α＝60°时①猜想BD与CP的数量关系为，并说明理由．②直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比猜想如图2，当α＝90°时，请直接写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．24.如图1,点E在正方形ABCD的边CD上，延长BC至点F,使得CF=CE,连接DF,BE,延长BE交DF于点G.(1)求证：BE⊥DF;(2)如图2,连接AG交CD于点H,以AH为直径作圆O,连接BD,若BE平分∠DBC.①求证：DF为圆O的切线；②若正方形ABCD的边长为1,求GH·GA的值.参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列四个图案中是轴对称图形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：左起第2、4共3个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，第1、3个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（）A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．如图，直线l1∥l2，在l1，l2之间放置一块直角三角板，使三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1，l2上．若∠1＝65°，则∠2等于（）A．115° B．65° C．26° D．25°【分析】根据平行线的性质可得∠ADB＝65°，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长AC交l2于点D，∵l1∥l2，∴∠1＝∠ADB＝65°，∵∠ACB是△BCD的一个外角，∴∠2＝∠ACB﹣∠ADB＝25°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．将抛物线y＝x2+1的图象向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝x2-1 B．y＝x2+3C．y＝（x-2）2+1 D．y＝（x+2）2+1【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】故选：C．【点评】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．5．下列命题中真命题是（）A．相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．5是有理数D．若α=1,则α【解答】故选：B．6．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为（）A．540° B．720° C．900° D．1080°【分析】由一个多边形的每一个外角都是72°，可求得其边数，然后由多边形内角和定理，求得这个多边形的内角和．【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数为：360÷72＝5，∴这个多边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．故选：A．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°；多边形的外角和等于360°．7．化简结果正确的是（）A．1 B．a C． D．【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．【解答】解：由题意，原式＝＝＝1．故选：A．【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．8．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．65°【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴．解法二：因为AB是直径，所以∠ACB＝90°所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．9．已知二次函数y＝2x2+m，如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（）A．2 B．4 C．8 D．18【分析】先把函数图象经过的点（0，﹣4）代入解析式求出m的值，再根据抛物线和正方形的对称性求出OD＝OC，并判断出S阴影＝S矩形BCOE，设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可．【解答】解：∵二次函数y＝2x2+m的图象经过点（0，﹣4），∴m＝﹣4，∵四边形ABCD为正方形，又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，∴OD＝OC，S阴影＝S矩形BCOE，设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），∵点B在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，∴2n＝2n2﹣4，解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负），∴点B的坐标为（2，4），∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝8．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，（2）根据对称性设出点B的坐标并判断出阴影部分的面积的和等于矩形BCOE的面积是解题的关键．10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点（不与点B，C，D重合），且∠EAF＝45°，AE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，连接EH、EF，则下列结论：①△ECF的周长不变；②△AEH是等腰直角三角形；③当EF∥BD时,CE＝2BE.其中正确的有（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，此时AB与AD重合，由旋转可得AB＝AD，BM＝DF，∠1＝∠2，∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AF，∴∠ABM+∠ABE＝90°+90°＝180°，因此，点M，B，E在同一条直线上．∵∠EAF＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAE＝90°﹣45°＝45°．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°．即∠MAE＝∠FAE．在△AME与△AFE中，∴△AME≌△AFE．∴ME＝EF，故EF＝BE+DF，∴C△CEF=2BC故①正确，∵∠EAF＝∠DBC＝45°，∴A，B，E，H四点共圆，∵∠AEH＝∠EAH＝45°，∴△AEH是等腰直角三角形，故②正确；∵EF∥BD∴BD=FD又∵BE+DF=2BE=EF=2∴CE=2BE故③正确；答案选D【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆．二．填空题（共6小题）11．分解因式：a2﹣a＝a（a+1）（a﹣1）；12．计算：-（3﹣π）0＝3．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：-（3﹣π）0＝4-1＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．13．已知近视眼的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足的关系为y＝，则当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0.5m．【分析】令y＝200，求得x的值即可．【解答】解：令y＝200，即：200＝，解得：x＝0.5，故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5米．故答案为：0.5．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，本题已经给出了解析式就使得难度大大降低．14．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是0（答案不唯一）．．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．【解答】解：a＝1，b＝﹣2．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，∴c＜1．故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．15．如图，已知矩形OABC,OA=2,分别以OA,OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，反比例函数y=2x(x＞0)的图象经过点B,延长AB,CB,与反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别交于点D,E,若△【解答】k=616．如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，把边长分别为x1，x2，x3，…xn的n个正方形依次放在△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…其他正方形依次放入，则第2022个正方形的边长x2022为（）2022．【分析】由四边形CDEF是正方形，即可得CD＝CF＝DE＝EF＝x1，DE∥AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由BC＝1，AC＝2，即可求得x1的值，同理求得x2，x3的值；观察规律即可求得第n个正方形的边长xn＝（）n．【解答】解：如图，∵四边形CM1P1N1是正方形，则CN1＝CM1＝P1N1＝M1P＝x1，P1N1∥AC，∴，即，∴x1＝，同理：x2＝（）2，x3＝（）3，…∴xn＝（）n．∴x2022＝（）2022．故答案为：（）2022．【点评】此题考查了正方形的性质，规律型：图形的变化类．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．三．解答题（共7小题）17．解不等式组：．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由①得x≤2，由②得，∴不等式组的解集为：．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．18．求代数式2x−y2+−4x【解答】原式=2x2-4xy+2y2-2x2+3xy=2y2-xy由题意得,x=3,y=-3所以原式＝18+9=2719．为保护耕地，某地需要退林还耕1500亩．已知甲施工队每天退林还耕的亩数是乙施工队的1.2倍；若单独完成退林还耕任务，甲施工队会比乙施工队少用5天．求甲、乙两队每天完成退林还耕多少亩．【分析】根据题意“单独完成退林还耕任务，甲施工队会比乙施工队少用5天”列出方程即可得答案．【解答】解：设乙队每天退林还耕x亩，根据题意得．解得x＝50．经检验，x＝50是原方程的解．甲队每天退林还耕的亩数是1.2×50＝60（亩）．答：甲队每天退林还耕60亩，乙队每天退林还耕50亩．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意“单独完成退林还耕任务，甲施工队会比乙施工队少用5天”列出方程是解题的关键．20．如图，已知平行四边形ABCD,AC为对角线.(1)请用尺规作图法，过点D作AC的垂线，交AC于点E;(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若∠ACB=30°,AD=4,求点D到线段AC的距离.【解答】(1)解:过点D作AC的高如图；①任意取一点F,使点D和点P在AC的两侧；②以点D为圆心，DP的长为半经作圆，交对角线AC于F,G两点：③分别以F，G为圆心,大于12(2)解：因为ABCD是平行四边形，∴AD∥AC∴∠DAC=∠ACB=30°。由(1)知DE⊥AC,∴在直角三角形ADE中,DE=AD·sin3021．甲，乙两名队员参加训练，每人射击10次的成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩环众数/环中位数/环方差/环2甲a771.2乙7bc4.6（1）写出表格中a，b，c的值：a＝7，b＝6，c＝6.5；（2）根据以上统计数据，你会选择谁参加比赛，请说明理由．【分析】（1）根据平均数、中位数、中位数的定义分别计算即可解决问题；（2）甲选手的稳定性较好，乙选手得高分的可能性较大，所以从保名次上说，应该派甲选手；从争取更高的名次来说，应该派乙选手（答案不唯一）．【解答】解：（1）（环）；乙的成绩从小到大排列：3，5，6，6，6，7，8，9，10，10，∴b＝6（环）（环）．故答案为：7，6，6.5；（2）应派甲选手参赛．理由：由上一问可知，从众数来说，甲选手高于乙选手；从中位数来说，甲选手好于乙选手；从方差来说，甲选手的稳定性较好；综合以上情况，应该派甲选手参赛．【点评】本题考查条形统计图、折线统计图、平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22．如图，抛物线y＝ax2+3ax+c经过点B（1，0）、C（0，﹣3），交x轴于另一点A（点A在点B点的左侧），点P是该抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线AC下方且S△PAC＝时，请求出点P的横坐标；（3）在抛物线的对称轴l上是否存在点Q，使得QC+QB最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）若点E在x轴上，是否存在以P、A、C、E为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接将点B，C的坐标代入关系式得出方程组，再求出解即可；（2）先求出点A，C的坐标，进而求出直线的关系式，再求出S△AOC，可知S△PAC，作PK∥y轴，交AC于点K，设P，K的坐标，并表示出PK，然后根据面积相等列出方程，并求出解；（3）先确定QC+QB最小时Q的位置，再根据勾股定理求出答案；（4）①当点P在x轴下方时，有P1C∥AE1，根据yp＝﹣3可求出答案；②当点P在x轴上方时，PC与AE是平行四边形的对角线，设点E，P的坐标，再根据对角线交点的坐标相同得出方程，求出解可得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3ax+c经过点B（1，0）、C（0，﹣3），代入得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）令y＝0，则，则x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），设直线AC表达式为yAC＝kx+b，把A、C（0，﹣3），代入得：，解得，∴，∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴OA＝4，OC＝3，∴S△AOC＝6，∴当时，，作PK⊥x轴，交AC于点K，如图1，设，则，则，则，m2+4m+3＝0，∴m1＝﹣1，m2＝﹣3，即点P的横坐标为﹣1或﹣3；（3）在抛物线的对称轴l上存在点Q，使得QC+QB最小，理由如下：∵点A与点B关于对称轴l对称，∴当点Q在直线AC与对称轴l交点处时QC+QB最小，此时QC+QB＝QC+QA＝AC，由（2）知OA＝4，OC＝3，∴AC＝5，所以这个最小值为5；（4）存在以P、A、C、E为顶点且以AC为一边的平行四边形，理由如下：设，①当点P在x轴下方时，如图2，有P1C∥AE1，∵C（0，﹣3），∴yp＝﹣3，则，∴m1＝0（舍去），m2＝﹣3，∴P1（﹣3，﹣3）；②当点P在x轴上方时，PC与AE是平行四边形的对角线，如图2，设，∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴，则，又，∴，即yP＝3，∴．综上所述，存在3个点：P1（﹣3，﹣3），．【点评】本题主要考查了求二次函数的关系式，求一次函数的关系式，解一元二次方程，勾股定理，根据轴对称求线段和最小，平行四边形的性质，解答本题的关键要注意多种情况讨论，不要丢解．23．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察证明．如图1，当α＝60°时①猜想BD与CP的数量关系为PC＝BD，并说明理由．②直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比猜想如图2，当α＝90°时，请直接写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵CA＝CB，∠ACB＝60°，∴∧ABC是等边三角形．∴CA＝BA．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CA