2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高三（±）开学数学试

卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设全集U=R,Λ={x∣0<x≤3},B=（x∖x<1},则图中阴影

部分表示的集合为（）

A,{x∣l≤X<3}B.[x∣l<X<3}C.[x∣l<x<3}D.{x∣l≤%≤3}

2.已知αeR,z=黑（i为虚数单位）是纯虚数，则α=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.已知双曲线C：l（b>0）的一条渐近线方程为y=则C的焦距为（）

A.y∕~3B.√^5C.2y∏>D.2√^5

4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直

角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若4B,CD都是直角圆锥S。底面圆的直径，且乙4。。=宗

则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（）

D,包

式可能为（）

AX一％3

ʌ-f(X)=子

2

B./(χ)=eW∙(x-1)

C.f(x~)=X3-ln∣x∣

X3-X

d∙/(X)=

e∣M

6.已知集合A={x∈N∖X2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则8U(CAc)=()

A..{2,3,4,5}B..{2,3,4,5,6}

C..{L2,3,4,5,6}D.,{1,3,4,5,6,7}

7.已知复数Z=岛，则复数Z的虚部为()

4444

ʌ-sB--57D--r

2

8.已知集合4={y∣y=√/一”,B=[x∖y=lg(x-2x)),则CRG4nB)=()

11

A.[O,-)B.(-∞,0)U[-,+∞)

11

c.(θ,ʌ)D.(-∞,0]U[i,+∞)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.近年来，新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了

观众空闲时娱乐活动的首选，某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各

大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如

图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是()

A.图中α=0.028

B.在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10〜20岁的有1320人

C.估计短视频观众的平均年龄为32岁

D.估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁

10.已知函数/。)=5也(3万+9)(-9<0<勺的图象关于直线》=[对称，贝∣J()

ZL4

A./(x)满足/■给+x)=-/(ɪ-%)

B.将函数f(x)的图象向左平移,个单位长度后与g(x)=cos3x图象重合

C.若If(XI)—/(X2)I=2,则IXl-gI的最小值为方

D.若y=Ifa）I在［α,b］上单调递减，那么b-α的最大值是守

11.已知直线Z：%-y+5=0,过直线上任意一点M作圆C：（X-3>+y?=4的两条切线,

切点分别为4B,则有（）

A.∣M4∣长度的最小值为4l∑-2

B.不存在点M使得NAMB为60°

C.当IMCl∙MB∣最小时，直线AB的方程为X-2y-1=0

D.若圆C与X轴交点为P,Q,则称.质的最小值为28

12.已知直三棱柱48。一力/16中4B1BC,AB=BC=BB1=2,

。是AC的中点，。为&C的中点.点P是BCi上的动点，则下列说法正确

的是（）

A.无论点P在BCl上怎么运动，都有&P1OB1

B.当直线AlP与平面BBlCl所成的角最大时，三棱锥P-BCO的外接

球表面积为4兀

C.若三棱柱4BC-4BιG内放有一球，则球的最大体积为学

D.∆OPBi周长的最小值为C+。+1

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.If易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、

兑八卦），每一卦由三根线组成（“一“表示一根阳线，”表示一根阴线），从八卦

中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.

丙午丁

14.设直线［过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，/与C交于A,B两点，MBl为C

的实轴长的2倍，则C的离心率为.

15.已知椭圆C：捻+，=l(α>b>0)的离心率是好,若以N(0,2)为圆心且与椭圆C有公共

点的圆的最大半径为小，此时椭圆C的方程是.

16.已知f(χ)=梵宵,若对任意的正实数X1，X2,无3,均存在以/01)，/(X2)./。3)为

三角形三边的三角形，则实数k的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设等差数列｛an｝的前n项和为%,已知a3+α7=l8,α1+α5=10,各项均为正数的等比数

列｛b7l｝,各项满足63+生=小⅛1⅛5=表.

(1)求数列｛αll｝与｛4｝的通项公式；

(2)设Cn=①手A.bn,求数列｛7｝的前Tl项和%.

18.(本小题12.0分)

己知数列｛a7t｝中，%=1，｛号｝是公差为义的等差数列.

(I)求｛αn｝的通项公式；

(2)若勾=^,7；为数列｛%｝的前几项和，证明：Tn<2.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=)X+(α——2ακ,a€R.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若/Q)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数Xi，型使得f(xι)+f(x2)=-3,证

明：Xl+%2>2.

20.(本小题12.0分)

在44BC中，内角4B,C的边长分别为Q,b,c,且c=2.

(1)若4=*b=3,求SinC的值；

(2)若sinAcos??+SiziBcos2?=3s讥C,且△4BC的面积S=ɪsinɛ,求α和b的值.

21.(本小题12.0分)

己知函数/(x)=Tnx2(Znx+ɪ).

(I)若m=1,求曲线y=/(x)在(1,/(1))处的切线方程；

(H)当HiWl时，要使/(x)>x/nx恒成立，求实数m的取值范围.

22.(本小题12.0分)

某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种

植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE将AABC分成面积之比为2：1的两部分(点D,E分

别在边4B,AC上)；再取DE的中点M,建造直道AM(如图).设AD=X,DE=y1，AM=丫2(单

位：百米).

(1)分别求为，及关于X的函数关系式；

(2)试确定点Z)的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

BC

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：图中阴影部分表示的集合为4nCuB,

全集U=R,A=[x∣0<X≤3},B=[x∣x<1},CUB={x∣x≥1},

则AncUB={x∣l≤x≤3},

故选：D.

图中阴影部分表示的集合AncUB，结合己知中的集合4B,可得答案.

本题考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：Z=罂=铝揩义=早+&押i为纯虚数，

管l=o

则，J，解得α=-L

l⅛2≠o

故选:A.

根据己知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由双曲线的方程C：9一，=l(b>0)可知，双曲线的焦点在X轴上，α2=4,即α=2,

所以，双曲线的渐近线方程为y=±?x=±gx,

因为双曲线的一条渐近线方程为y=iχ,

所以b=1,

所以¢2=a2+b2=5,

所以双曲线C的焦距为2c=2√-5∙

故选：D.

由题知双曲线的焦点在X轴上，b=l,进而得c2=α2+∕√=5,再求焦距即可.

本题考查了双曲线的性质，属于基础题.

4.【答案】C

S

【解析】解:连接AC,AD,

^]AC∕∕BD,

则异面直线Sa与BD所成角的平面角为ZSaC(或其补角),

设48=2,

由题意可得：AS=SC=y∕-2fAC=ʌ/-3,

立+"2一5。2_R

贝IJCoSN∙S∕C

2×AS×AC-4'

故选：C.

先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可.

本题考查了异面直线所成角，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意，对于4/(x)=≡∑≠,其定义域为R,有f(-χ)=袋，不是奇函数，不

符合题意；

2

对于B,/(x)=eM∙(x-l),其定义域为R,有/(一X)=e∣M∙(χ2-i)=f(χ),f(χ)是偶函数,

符合题意；

对于C,f(x)=x3ln∣x∣,其定义域为{x∣x≠0},不符合题意；

故选：D.

根据题意，用排除法分析：分析函数的奇偶性排除4B,利用函数的定义域排除C,即可得答案.

本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：集合4={x∈N∖x2<8x}={x∈W∣0<X<8}={1,2,3,4,5,6,7},

B={2,3,6},C={2,3,7),

CIe)=",4,5,6},

所以BU(C4C)={1,2,3,4,5,6}.

故选：C.

化简集合4根据补集与并集的定义，计算即可.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

7.【答案】B

5(3-4Q34.

【解析】解：Z=言7

(3+4ι)(3-4i)5-5i

则复数Z的虚部为T

故选：B.

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：集合4=(y∖y=Vx2-l}=(y∖y≥0}=[0,+∞):

B={x∖y=Ig(X-2x2)}=[x∖x-2x2>0}={x∣0<x<ɪ)=(0,ʌ),

.∙.4ClB=(θ,ɪ),

∙∙∙CRG4nB)=(-∞,0]u[∣,+∞)∙

故选：D.

求函数的值域得集合4求定义域得集合B,

根据交集和补集的定义写出运算结果.

本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了集合的运算问题，是基础题.

9.【答案】CD

【解析】解：对于4,(0.015+0.033+α+0.011+0.011)X10=1,

解得α=0.03,故A错误；

对于8,由频率分布直方图知：短视频观众年龄在10〜20岁的人对应频率为0.15,

二短视频观众年龄在20〜30岁的有4000X0.15=600人，故8错误；

对于C,平均年龄工=(0.015×15+0.033×25+0.03×35+0.011×45+0.011X55)×10=

32,故C正确；

对于。，设75%分位数为X,则0.015X10+0.033X10+(x-30)x0.03=0.75,

解得：x≈39,故力正确.

故选：CD.

根据频率之和为1求出ɑ的值，可判断4由频率和频数的关系可求出观众年龄在10〜20岁的人数,

可判断B,由平均数和百分位数的估计方法可判断CD.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的定义，属于基础题.

10.【答案】ABCD

【解析】解：函数/(x)=sin(3x+(p)(-≡<φ<方的图象关于直线X=:对称，

••・函数/(x)的最小正周期为?且3x*+9=k7r+*kez,

0=-；，f(x)=sin(3x一5.

根据fa+X)=Sinx,/(ɪ-X)=Sin(-x)=-sinx=-/(x),可得/"舄+x)=-/(ɪ-x),故

A正确；

将函数f(x)=Sin(3%-力的图象向左平移3个单位长度后,可得y=sin(3x+/)=cos3x=g(x)的

图象，故8正确；

若1/(与)-〃久2)1=2,则出一切的最小值为半个周期，即TX与=基故C正确；

若y=If(X)I=∣sin(3x-幼在［α,b］上单调递减，那么b-α的最大值是半个周期，即TX空=*

故。正确，

故选:ABCD.

由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.

本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：由题知圆C的圆心为(3,0),半径为r=2,

对于力：因为圆心(3,0)到直线1：刀一丫+5=0的距离为6«=言=4，1，所以IMCImin=4/2，

所以|帆4|向”=JIMW=2/7,

对于B：假设存在点M使得NAMB为60。，如图，则乙4MC=30°,

∆AMCΦ,IMCI=2r=4,

由A知IMClrn讥=>4,故矛盾，即不存在点M使得乙4MB为60。，故8正确；

对于C：由于MCIaB,故四边形MACB的面积为SΛMCB=T∣MQ•1倜=2SOMC=河川∙r=

2∖MA∖,

所以IMCI∙∣AB∣=4∣M川,故当IMCI∙∣4B∣最小时,IMAl最小,由力选项知IMAlmin=

JIMCl篇lf2=2∕7,

此时MCIZ,l//AB,即直线AB的斜率为1,由于直线x-2y-1=0的斜率为热故C错误；

对于。：由题知IP(1,0),(2(5,0),设M(X+5),

MP-MQ=(1—x,—x—5)∙(5—x,—x—5)=(5—x)(l—%)+(x+5)2=2x2+4x+30=

2(X+1)2+28≥28,

当且仅当x=-l时等号，故而•丽的最小值为28,故O正确.

故选：BD.

由题知圆C的圆心为(3,0),半径为r=2,进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得到答案.

本题考查了直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：因为直三棱柱ACB-Icl中，BBIl平面ABC,

因为平面所以

AB,BCU4BC,BBC4B,BB1LBC,

因为AB1BC,

所以48,BC,BBI两两垂直，故以B为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

因为48=BC=BBi=2,。是AC的中点，点P是BCl上的动点，

则

B(0,0,0),C(2,0,0),4ι(0,2,2),Bl(0,0,2),C1(2,0,2),O(l,l,l),D(1,1,0),P(α,0,α)(0≤α≤2),

对于4选项，不=(α,-2,α-2),西=(-1,-审•西=-α+2+α-2=0>故审_L

故正确；

^OB^,A1P1OB1,A

对于B选项，由题已知平面BBICl的法向量为元=(0,1,0),中=(α,-2,α-2),

设直线4P与平面BBlCl所成的角为。，

所以M'=而丽==E赢=H而，亏,当且仅当α=l时等号成

立，

此时P是8C］的中点，BD=CD=CP=DP=y∏,,BC=2,

此时方。中点E到B,C,D,P点的距离均为1,故三棱锥P-BCD的外接球心为E,半径为1,

所以三棱锥P-BCD的外接球表面积为4兀，故B正确；

对于C选项，三棱柱ABC-ABiG，内放有一球，当球的体积最大时，为该三棱柱的内切球，

由于RtAABC内切圆的半径为r=2-y∏2.<1>故三棱柱ABC-&B1C1内切球的半径为r=2-

√^7.其体积不等于手故C错误；

对于。，当P是BCl的中点时，此时前=(0,-1,0),瓦户=(1,0,-1),跖=(2,0,2)，

此时前•殖=0，而•帝=0,即前1跖，方1帝，

所以当P是BCl的中点时，OPIBC1,OPlB1P,即。P,BlP取得最小值，

分别为OP=1，BlP=I∑,因为OBl=C，

所以△OPBi周长的最小值为门+/1+1,故。正确.

故选：ABD.

由题知AB,BC,BBl两两垂直，故以B为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，进而利用中.西=

0判断4根据向量求解线面角得P是BCl的中点时直线4P与平面BBICl所成的角最大，进而求解

几何体的外接球判断B；根据Rt△4BC内切圆的半径为r=2-√^I<1判断C;根据P是BG的中

点时求解判断D.

本题考查了空间中的直线与直线的垂直判断，考查了线面角的求法，考查了空间想象能力与逻辑

推理能力，属中档题.

13.【答案】⅛

14

【解析】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，

还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，

.•・从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为：

p_£|±£i_A

Cl-14∙

故答案为：ɪ.

14

含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根

阳线的共有3卦，由此能求出从八卦中任取两卦,这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】V?

【解析】【分析】

本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线通径的求法，考查计算能力，属于基础题.

2

设双曲线方程，由题意可得IABl=组=2X2a，求得炉=2。2,根据双曲线的离心率公式e=

L,即可求得C的离心率.

【解答】

解：设双曲线方程：卷一，=l(α>0,b>0),

由于直线E过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线，的方程为：X=C或x=-c,

代入与―4=1,解得：y=+—>

则IaBI=空,

a

由IABI=2×2α,

则炉=2a2,

•••双曲线离心率e=£=J1+,=√~3,

故答案为

15.【答案】哈+4=1

【解析】解：由e=£=与，得七Q=L即α2=2∕A

a2a22

得椭圆C的方程为W+4=l.

2bzbz

设P(X,y)是椭圆上任一点，依题意，IPNl的最大值为√^^,

则∣PN∣2=x2+(y-2)2=(2b2-2y2)+(y-2)2=-(y+2)2+2b2+8(-/?≤y≤b).

2

若b≥2,则y=-2时，∖PN∖max=√2b+8=√^26.

∙∙∙b=3,此时椭圆方程为《+4=1；

189

若0<b<2,则y=-b时，∖PN∖max=b+2=√^26,

.∙.b=√^6-2>2,矛盾.

综上可得椭圆方程为蒋+q=1∙

故答案为：2∣+^=ι.

由题意离心率可得α与b的关系，设P(X,y)是椭圆上任一点，依题意，IPNl的最大值为√^∕,由两

点间的距离公式写出|PN『=X2+(y-2)2=(2b2-2y2)+(y-2)2=-(y+2)2+2b2+

8(-b≤y≤b).分类讨论求解b值，则椭圆方程可求.

本题考查椭圆标准方程的求法,考查圆与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，

是中档题.

16.【答案】一g≤k≤4

【解析】解：因对任意实数%1、乂2、%，都存在以f(Xl)、f(X2)、f(X3)为三边长的三角形，故/(Xl)+

xe

/(x2)>f(%3)对任意的%1、％2、3R恒成立.

2

/C(fX.)t日-ix环+k用x+^l=14+,菽fc-可1令At=γ+^1+123,则rty=l+?k-(1t≥3),

当k—l>0,即Zc>1时，该函数在(3,+8)上单调递减，当t=3时，y值最大，y=ι+与I=竽

则ye(1,争，

当k-l=O,BPfc=1时，y∈｛1),

当kT<0,即k<l时，该函数在［3,+8)上单调递增，

当k>1时，,；2</(Xi)+f(%2)-2"：、且1<f(X3)≤~y->故≤2>1</c≤4：

当k=1时，∙.∙∕(尤1)=/(小)=∕Q⅛)=1，满足条件；

当k<l时，Vɪ<<(Xi)+/(x2)<2,且警≤∕(>3)<1,故等≥1，∙∙∙-2≤k<1;

综上所述：—g≤/c≤4.

故答案为：—"≤k≤4.

因对任意实数匕、上、％3,都存在以/QJ、/(&)、/。3)为三边长的三角形，则/01)+/(&)>/(X3)

对任意的与、X2,Λ⅛CR恒成立，将F(X)解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取

值范围，整个式子的取值范围由k的大小决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值

域，然后讨论k转化为F(Xi)+/02)的最小值与/。3)的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范

围.

本题考查了函数的单调性、基本不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属

于难题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛α7l｝的公差为d,正项等比数列｛bn｝的公比为q(q>0),

由偿费U，得产产二+力吗解得,d=2,

1

(α1÷α5=10(Ql÷α1÷4α=10

所以αrι=1+2(n-1)=2n—1,

24

(ðɪ+b6=ɪ(b1q+b1q=∙^

由1116,得116,又q>0,

〔瓦坛=正也q"=正1

解得瓦=1，Q=|>

所以bn=弓尸T；

2n1bn+2n1n

(2)由(1)可知Cn=~2∙⅛-=(3n+l)∙⅛,

23n

所以Tn=4x^+7x⅛+10×(ɪ)+∙∙∙+(3n+1)×(⅛,

112

-4XZ^+7X34n+1

2-7;L4⅛+10×φ+∙∙∙+(3n+1)×φ,

两式相减得T7；=4×∣+3[(∣)2+φ3+∙∙∙+φn]-(3n+1)×φn+1,

即=；+3X斗岸一(3n+1).(犷+1+3-尹(3n+1)∙(∣)n+1-

12

所以"=7一去一(3n+1)•(扔=7-(3n+7)∙φn.

【解析】⑴设等差数列｛斯｝的公差为d，正项等比数列也｝的公比为q(q>0),根据二常，

W=18,

[a；+^+4dll0从而求出电与d的值即可得出αn;由，+生：逐可得

(bq2+6Q4=ɪ

\1116,结合q>0即可求出瓦与q的值，从而可得“；

(^4=⅛1

2n1n+2

(2)由(1)可知Cη=-+.φn-l=(3n+1),φn,从而利用错位相减求和法即可求出

本题考查等差数列与等比数列的通项公式、错位相减求和法，考查学生逻辑推理与数学运算的能

力，属于中档题.

18.【答案】(1)解：由题意，可得?=1,

则数列｛詈｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

.∙.⅜=l+∣(n-l)=ψ,

ʌan=""丁),九∈N*•

(2)证明：由⑴可得，儿=今=嬴=2.(卜磊)，

则Tjl=瓦+力2+力3+…+

=2.(1-ɪ)+2∙(ɪ-ɪ)+2∙(ɪ-ɪ)+--•+2∙(ɪ-ɪ)

=2∙(l-i+∣-i+i-i+-+i-⅛

故不等式7；<2对任意n∈N*恒成立.

【解析】(1)由题意根据等差数列的通项公式求得数列｛詈｝的通项公式，然后由通项公式的关系即

可求得数列｛arι｝的通项公式：

(2)首先确定数列｛0｝的通项公式，再利用裂项相消即可求出〃，即可证明7；<2.

本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题.考查了整体思想，转化与化

归思想，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

19.【答案】解：(l)∕(x)的定义域为(0,+8),因为/(x)=InX+(α-勺∕-2αχ,

所以「(X)=：+(2α—I)X-2a=Qa-D>j-20x+l=(x$(2；T)曰,

当α≤凯寸，令匕'岂>°，得0<x<l,令｛?岂(。，得x>l，

当女α<1时，则/T>1,令夕(凡>°,得O<尤<1,或%>-ɪ-,

22a-llχ>O2α-l

令y'(2<°,得ι<χ<7⅛

tχ>O2ɑ-l

当a=1时，f(x)≥0,

当a>lE⅛,则O<Qr<l,令仁(2>°，得O<x<Jπ,或x>l,

2a-llχ>O2a-l

1

令『'(*<°，得τ7<x<l,

综上，当a≤用寸，"X)在(0,1)单调递增，在(1,+8)上递减，

当"<a<l时，/(x)在(0,1),(五匕,+8)单调递增，在(1,S)上递减,

当a=1时，/Q)在(0,+8)单调递增，

当a>l时，f(x)在(0,白),(1,+8)单调递增,在(白,1)上递减，

(2)证明：f(x)在定义域内是增函数，由(1)可知a=l,

此时f(x)=Er+；/—2x,设Xl<如

因为f(%ι)+］。2)=-3=2/(1),则O<x1<1<xz,

设g(%)=f(2-%)+/(%)+3,X∈(0,1)»

223

则g'(x)=-∕,(2-x)+∕,(x)=-⅛≤-+竺3-=⅛Ξk>o，对任意尤∈((U)恒成立，

所以g(x)在(0,1)是增函数，

所以对任意X∈(0,1),有g(x)<g(l)=2/(1)+3=0,

即对任意X∈(0,1),有/(2-X)+f(x)+3<0,

因为OV%ι<l,所以f(2—x1)+f(ɪi)+3V0,

即有∕Q⅛)>/(2-Xi),又/(%)在(0,+8)单调递增，

2

所以工>2—x1,即Xl+X2>2.

【解析】(1)定义域为(0,+8),求导得广(X)=(XT)K2；I)A1],分三种情况当α≤T时，当：<α<1

时，当Q=I时，当α>l时，讨论函数f(x)的单调性.

(2)由(1)可知Q=1,此时"%—2%,设％1<%2，/(%ι)+∕Q⅛)=-3=2/(1),则

0<x1<1<x2,设g(x)=/(2一x)+f(x)+3,Xe(0,1),求导得g<χ)=釜著>0,对任意

X∈(0,1)恒成立，所以g(x)在(0,1)是增函数，所以对任意X∈(0,1),有g(x)<g(l)=2/(1)+3=

0,即对任意％∈(0,1),有f(2-X)+f(x)+3<0,因为O<x1<1,所以f(2-XI)+f(x1)+3<0,

即有>∕(2-X1)，又/(%)在(0,+8)单调递增，所以％2>2-%I,即可得出结论.

本题考查导数的综合应用，属于中档题.

20.【答案】解：⑴AABC中，c=2,A=^,/)=3；

由余弦定理得，

a2=b2+C2-2bccosA=9+4—2×3×2×CoST-7,

解得α=√^^7;…(3分)

由正弦定理后=.，

SinCr

得SMC=誓=号；...(6分)

V77

(2)由InAcos2?+SinBcos2%=3sinC,

1+cosB1+cosA

降幕得siτM-+SinB♦=3sinC，

22

化简得sin4÷SinB=SsinC,...(8分)

即α+b=5c=10①；

又S=^absinC=ysinC,

得ab=25②；...(10分)

由①②解得α=6=5....(12分)

【解析】(1)由余弦定理和正弦定理，即可求得sin。；

(2)由题意，利用降基公式和正弦定理，结合三角形的面积公式，即可求得a、b的值.

本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形的面积公式应用问题，是综合题.

21.【答案】解：(I)当Jn=I时，可得i(X)=2xbn:+2x,

则切线的斜率k=∕,(1)=2,又/■⑴=ɪ,

所以切线方程为y—ɪ=2(%—1),即为4%—2y—3=0；

(II)当Tn≤1时，要使f(%)>XznX恒成立，

等价为m%(⅛ι%÷ɪ)>"%恒成立，且Tn≤1,

当"％=-ɪ,即％=言时，0>一3恒成立;

当Lnx时，巾>:襄工恒成立,

ZX^inX+2)

1-1-11

可设C="1>一2，由-2(t+l)(2t-1)>0,可得一tv1可得g'(%)>0,g(χ)递增;

t>ɪ,可得g'(x)vθ,g(%)递减，可得g(x)在t=%%=处取得最大值，

即有2；^Vm≤1;

当"％‹一；时，HlV工岛恒成立，

zNu十刃

—lnxIfX-∣(Zmf+l)(2Znx-l)

设g⑺-χ(ta÷i)-g⑴=,婷中・，

可设£=lnx,t<-ɪ,由-