重庆市南开中学2023-2024学年数学九年级上册期末调研试题含解析

重庆市南开中学2023-2024学年数学九上期末调研试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知：m=y[2+1>n=y/2-1，则JW+〃2+3mn=（）

A.±3B.-3C.3D.V5

2

2.关于反比例函数丁=-一图象，下列说法正确的是（）

x

A.必经过点（2,1）B.两个分支分布在第一、三象限

C.两个分支关于X轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称

3.如图，ABC的面积为12,点E分别是边48、AC的中点，则石的面积为（）

A.6B.5C.4D.3

4.如图，线段是。。的直径，弦丄AB,ZCAB=20°,则等于（）

A.20°B.30°C.40°D.60°

5.二次函数尸a/+h+c（a,b,c为常数且存0）的图象如图所示，则一次函数片ax+b与反比例函数y=工的图象可

X

能是

X

7.共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分,某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据,

并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样

可保证不少于50%的骑行是免费的.制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调査所得数据的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

8.已知sina=@,且a是锐角，则a的度数是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.不确定

9.已知2x=3y,则下列比例式成立的是（)

x2C

A.»B.一=£冷D.子|

23y3

10.如图所示,A6C的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

2Vio

A.——1RB.—石「班n

25510

11.方程x2-2x+3=0的根的情况是（

A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根

C.没有实数根D.有两个不相等的实数根

12.如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（）

正面

二、填空题（每题4分，共24分）

13.2sin450+6cos60°-垂>tan60°=.

14.已知XI、X2是关于x的方程x2+4x-5=0的两个根，贝!|xi+X2=.

15.二次函数'=（0+1）-一8+/一1的图像经过原点，则a的值是.

16.已知点A（a,1）与点A，（5,b）是关于原点对称，贝！Ia+b=.

17.二次函数y=（x+3>-5的顶点坐标是.

18.抛物线y=-/+如+〃的对称轴过点厶（_1,5）,点A与抛物线的顶点3之间的距离为4,抛物线的表达式为

三、解答题（共78分）

..3一

19.（8分）计算：2cos45。-tan30°cos30°+sin260°.

2

20.（8分）如图1,在平面直角坐标系中，函数y=?（"为常数，，”>1,x>0）的图象经过点P（私1）和。（1,加），

直线PQ与x轴，丁轴分别交于C,D两点.

（1）求NOCD的度数；

（2）如图2,连接OQ、OP,当NOOQ=NOCO—NPOC时，求此时〃?的值：

（3）如图3,点A,点3分别在x轴和）'轴正半轴上的动点.再以。4、08为邻边作矩形0AMB.若点M恰好在函数

772

）=—为常数，m>\,%>0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时Q4、0B的长度.

x

21.（8分）如图，在直角坐标系中，A（0,4）,B（-3,0）.借助网格，画出线段A3向右平移6个单位长度后的对应

线段。C,若直线y=履平分四边形ABC。的面积，请求出实数攵的值.

22.（10分）如图，。。是AA8C的外接圆，P4是。。切线，PC交。。于点。.

(1)求证：ZPAC=ZABC；

(2)若NBAC=2NACB,ZBCD=90°,AB=243,CD=2,求。。的半径.

3k

23.（10分）如图，已知一次函数y=—3与反比例函数>=一的图象相交于点44,〃），与％轴相交于点儿

（D填空："的值为,4的值为；

（2）以A3为边作菱形ABC。，使点。在x轴正半轴上，点。在第一象限，求点。的坐标；

24.（10分）已知，在平面直角坐标系中，二次函数.y=/f+法+C的图象与X轴交于点AB,与y轴交于点C,

点A的坐标为（一3,0）,点3的坐标为（1,0）.

(1)如图I,分别求。、C的值；

(2)如图2,点。为第一象限的抛物线上一点，连接。。并延长交抛物线于点E,OD=3OE,求点E的坐标;

(3)在(2)的条件下，点P为第一象限的抛物线上一点，过点P作P"丄x轴于点H,连接£P、EH,点。为第

二象限的抛物线上一点，且点。与点P关于抛物线的对称轴对称，连接PQ,设ZAHE+NEPH=2a,

PH=PQ.tana,点M为线段PQ上一点，点N为第三象限的抛物线上一点，分别连接M"、NH,满足

NMHN=60°,MH=NH,过点N作PE的平行线，交y轴于点/，求直线FN的解析式.

25.(12分)计算：

(1)(-1)2017-2'+sin30°+(rt-314)°；

(2)cos245°+sin60°tan450+sinl.

26.如图，四边形ABCD内接于0O,AC为。O的直径，D为AC的中点，过点D作DE〃AC,交BC的延长线于

点E.

(1)判断DE与。O的位置关系，并说明理由;

(2)若CE=S,AB=6,求。O的半径.

3

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】先根据题意得出机-”和〃?〃的值，再把式子化成含俏-〃与根〃的形式，最后代入求值即可.

【详解】由题得：〃=2、mn-\

\lm2+n2+3nm=+5mn=v22+5x1=也=3

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.

2、D

【分析】把（2,1）代入即可判断A,根据反比例函数的性质即可判断B、C、D.

【详解】A.当x=2时，y=-lWL故不正确；

B.•••-2V0,.•.两个分支分布在第二、四象限，故不正确；

C.两个分支不关于x轴成轴对称，关于原点成中心对称，故不正确；

D.两个分支关于原点成中心对称，正确；

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数V=±（A是常数，际0）的图象是双曲线，当々＞0,反比例函数图象

X

的两个分支在第一、三象限；当AV0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限.反比例函数图象的两个分支关于

原点成中心对称.

3、D

【分析】先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得DE〃BC,从而得△ADEsaABC,根据相似三角形的面积比等

于相似比的平方及△ABC的面积为12,可得SA»E=1.

【详解】解：•••点D、E分别是边AB、AC的中点，

AD1

**.DE/7BC»--=—,

AB2

/.△ADE^AABC,

•"«SADE:SAABC=1：4

•••△ABC的面积为12

••SADE=1-

故选D.

【点睛】

本题考査了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的

关键.

4、C

【解析】试题分析：由线段AB是。。的直径，弦CD丄AB,根据垂径定理的即可求得：BC=BD，然后由圆周角

定理可得NBOD=2NCAB=2X20°=40。.

故选C.

考点：圆周角定理；垂径定理.

5、C

【分析】根据二次函数^=“必+加+。的图象，可以判断4、b、C的正负情况，从而可以判断一次函数了="+方与反比

c

例函数y=—的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题.

x

【详解】解：由二次函数7=。好+加什。的图象可知，«>0,6<0,c<0,

则一次函数,="+方的图象经过第一、三、四象限，

反比例函数y=±的图象在二四象限，

x

故选C.

【点睛】

本题考査反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形

结合的思想解答问题.

6、D

【分析】把X=1代入*2+px+l=0,即可求得p的值.

【详解】把X=1代入把X=1代入*2+px+l=0,得

l+p+l=O,

p=-2.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二

次方程解得定义是解答本题的关键.

7、B

【分析】根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调査的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.

【详解】因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，

所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，

故选B.

【点睛】

本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列

的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性.

8、C

【分析】根据sin6（F=且解答即可.

2

【详解】解：•.'a为锐角，sina=?5,sin60°=—,

22

.•,a=60°.

故选：C.

【点睛】

本题考査的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

9、C

【分析】依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论.

【详解】解：A.由5=］可得，2y=3x,不合题意；

x2

B.由一二;可得，2y=3x,不合题意；

y3

XV

C.由二二不可得，3y=2x,符合题意；

32

D.由=9可得，3x=2y,不合题意；

x2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积.

10、B

【分析】连接CD,求出CD丄AB,根据勾股定理求出AC,在RtZkADC中，根据锐角三角函数定义求出即可.

【详解】解：连接CD（如图所示），设小正方形的边长为1,

VBD=CD=712+12=72»NDBC=NDCB=45。，

:.CD丄AB,

在Rt_A£>C中，AC=V1O,CD=6,则sin4=%=£=走.

ACVio5

故选B.

【点睛】

本题考査了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角

形.

11、C

【解析】试题分析：利用根的判别式进行判断.

解：VA=(-2)2-4xlx3=-8<0

...此方程无实数根.

故选C.

12、D

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【详解】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形，

故选:D.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、V2

【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可.

【详解】2sin450+6cos600-百tan60。

=0+3-3

=y/l•

故答案为：V2.

【点睛】

本题考査了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

14、-1

【分析】根据根与系数的关系即可求解.

【详解】•••xi、X2是关于X的方程x2+lx_5=()的两个根，

4

/.X1+X2=-Y=-l,

故答案为：-1.

【点睛】

此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知Xl+X2=-2.

a

15、1

【分析】根据题意将(0,0)代入二次函数y=(a+l)x2—x+4—],即可得出a的值.

【详解】解：..•二次函数了=3+1)/一%+/一1的图象经过原点，

ci~—1=0,

:.a=±L

Va+1^0,

的值为L

故答案为：L

【点睛】

本题考査二次函数图象上点的特征，图象过原点，可得出x=0,y=0,从而分析求值.

16、-1

【解析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知。=-5,力=一1,

所以«+b=(—5)+(—1)=—1,

故答案为一1.

17、(-3,-5)

【分析】因为顶点式y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k),直接求二次函数y=(x+3)2-5的顶点坐标即可.

【详解】•••y=(x+3)2—5是顶点式，

顶点坐标是(-3,-5).

故答案为：(-3,-5)

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键.

18、y=-x2-2x或y=-x2-2x+8

【分析】根据题意确定出抛物线顶点坐标，进而确定出m与n的值，即可确定出抛物线解析式.

(详解】•••抛物线y=-X2++〃的对称轴过点A(-1,5),

...设顶点坐标为：(T，k),

根据题意得：卜一5|=4,

解得：％=9或%=1

抛物线了=--+，211+〃的顶点坐标为(-1,1)或(-1,9),

22

bm4ac—h—An—tn<f—4〃—nr八

可得：----=——二-I，=1或--------=9,

2a24。-4-4

解得：m--2,〃=0或〃=8,

则该抛物线解析式为：y=-x2-2x^,y=-x2-2x+8,

22

故答案为：y=-x-2x^(ly=-x-2x+S.

【点睛】

本题考査了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

三、解答题(共78分)

19、V2

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.

【详解】解：原式=2x也-，走

2232

=^2♦

【点睛】

本题考査了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值.

20、(1)ZOCD=45°；(2)W=V2+1;(3)OA=OB=^^-

【分析】(1)根据点P、Q的坐标求出直线PQ的解析式，得到点C、D的坐标，根据线段长度得到NOCD的度数；

(2)根据已知条件求出NQOP=45。，再由。。2+pc2=P02即可求出m的值；

(3)根据平行四边形及矩形的性质得到NB4O=NDCO=45°,设设。4=QB=〃，得到点M的坐标,

又由A8=PQ两者共同求出n,得到结果.

【详解】(1)由。(1,根)，得=-x+(m+l),

/.Z)(O,m+1),C(m+l,0)

：.OC^OD=m+\,

:.△<%>/)为等腰直角三角形，

：.ZOCD=45°；

(2)VZDOQ=ZOCD-ZPOC,

AZDOQ+ZPOC=ZOCD=45°,

/.NQOP=90°-(ZDOQ+NPOC)=90°-45°=45°

22

易得。。2+PC=PQ,

.,.12+12+12+12=(m-1)2+(m-l)2,

.,•加=行+1(舍负)；

(3)•.•四边形ABPQ为平行四边形，

：.AB!JPQ,

又ZDCO=45°,ZBAO=ZDCO=45°,

:.OA=OB.

设OA=OB=n.

则M为(〃,〃)代入y=..机=〃2,

xn

又AB=PQ,：.6n=仪m-1),

由加=〃2,得几=上卢(舍负)，

二当OA=OB=L域时，符合题意.

2

【点睛】

此题是反比例函数与一次函数的综合题，考查反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，矩形的性质，平行四

边形的性质.

21、-

3

【分析】根据平移变换即可作出对应线段。C,根据平行四边形的性质，平分平行四边形面积的直线经过平行四边形

的中心，然后求出AC的中点，代入直线计算即可求出k值.

【详解】画图如图所示：

A点坐标为（0,4）,C点坐标为（3,0）,

.•.AC的中点坐标为（|,2）,

又直线y=依平分平行四边形ABCD的面积,

则丫=依过点,

:.2=>k,

2

.,.左=3.

3

【点睛】

本题考査的是作图-平移变换，平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式，要注意平分平行四边形面积的直线经过

平行四边形的中心的应用.

22、（1）见解析；（2）。。的半径为1

【分析】（D连接AO延长AO交。O于点E,连接EC.想办法证明：ZB+ZEAC=90°,NPAC+NEAC=90。即可解

决问题；

（2）连接BD,作OM丄BC于M交。O于F,连接OC,CF.设。O的半径为x.求出OM,根据CM2=OC2-OM2=CF2-FM2

构建方程即可解决问题；

【详解】（1）连接AO并延长交。O于点E,连接EC.

图1

：AE是直径,

.♦.NACE=90°,

.,.ZEAC+ZE=90°,

.,.ZB+ZEAC=90°,

TPA是切线，

.•.ZPAO=90°,

.,.ZPAC+ZEAC=90°,

...NPAC=NABC.

(2)连接BD,作OM丄BC于M交。O于F,连接OC,CF.设。O的半径为x.

图2

VZBCD=90°,

・・・BD是。O的直径，

VOM±BC,

.*.BM=MC,BF=CF，

VOB=OD,

1

AOM=-CD=1,

2

VZBAC=ZBDC=2ZACB,BF=CF，

AZBDF=ZCDF,

AZACB=ZCDF,

AB-CF，

.•.AB=CF=25

VCM2=OC2-OM2=CF2-FM2,

x2-12=(2^/3)2-(x-1)2,

.*.x=l或-2(舍),

.•.(DO的半径为1.

【点睛】

本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理推论，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角

三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题.

23、(1)3,12；(2)D的坐标为(4+岳,3)

3k

【分析】(1)把点A(4,n)代入一次函数y=—x-3,得到n的值为3；再把点A(4,3)代入反比例函数〉=一，得

2x

到k的值为12；

(2)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(2,0),过点A作AE丄x轴，垂足为E,过点D作DF丄x轴，

垂足为F,根据勾股定理得到AB=g,根据AAS可得AABE纟ADCF,根据菱形的性质和全等三角形的性质可得

点D的坐标.

33

【详解】(1)把点A(4,〃)代入一次函数)，二5不一3,可得及=]x4-3=3；

kk

把点A(4,3)代入反比例函数y=-，可得3=；,

X4

解得k=12.

(2)•.•一次函数y=；x—3与x轴相交于点B,

3

由为一3=0,解得尤=2,

2

.•.点B的坐标为(2,0)

如图，过点A作AE丄x轴，垂足为E,

过点D作。尸丄x轴，垂足为F,

VA(4,3),B(2,0)

.,.OE=4,AE=3,OB=2,

/.BE=OE-OB=4-2=2

在RfAABE中,AB=\lAE2+BE2=>/32+22=V13-

•.•四边形ABCD是菱形，

AAB=CD=BC=瓜ABHCD,

:.ZABE=/DCF.

丄x轴，丄x轴，

:.ZAEB=NDFC=90°.

在AABE与ADC尸中，ZAEB=ZDFC,ZABE=NDCF,AB=CD,

：.MBE^M)CF,

.♦.CF=BE=2,DF=AE=3,

：.OF=OB+BC+CF=2+y[\3+2=4+y/]3.

...点D的坐标为(4+JiX,3)

【点睛】

本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

3

24、(1)Z?=l,c=-—；(2)E(—1,—2)；(3)y-\/3x4-24-^3.

【分析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

(2)作EK丄X轴于K,丄x轴于L,OD=3OE,贝!JOL=3OK,DL=3KE,设点E的横坐标为t,则点D的横坐

]393

标为-3t,则点E、D的坐标分别为：(t,—t~+t---)、(-3t,—1~+3tH—),即可求解；

2222

13

(3)设点尸的横坐标为加，可得PH=彳m2+m-5,过E作EF〃y轴交PQ于点T,交x轴于点丫,

131YE2fl-=——+1—=2

TE=PH+YE=—m2+m—+2=—(m+1)2,tanNAHE=-----=-------,tanZ^PET=TP1丿〃+1，而

222YHm+12(m+\y〃―丨

132

NAHE+NEPH=2a,故NAHE=NPET=NEPH=a,PH=PQ«tana,即一n?+m-二=(2m+2)X------,解得:

22m+\

m=26-l,故YH=m+l=2百，PQ=4百，点P、Q的坐标分别为：(2百-1,4)、(-273-b4),

Yp9/aDEJ/Q

tanZYHE=——=—T==—,tanZPQH=——=—；证明△PMH纟△WNH,则PH=WH,而QH=2PH,故

YH2G3PQ3

QW=HW,即W是QH的中点，则W(-1,2),再根据待定系数法即可求解.

【详解】解：⑴把4(—3,0)、3(1,0)分别代入y=+法+c得：

1,

o=—x(-3)~-3Hcb=1

1解得彳3;

O=-Xc=——

22

1.3

(2)如图2,由(1)WV=-x+x一一，作EK丄x轴于K,"丄x轴于L,

22

.♦.EK〃DL,：.OK:OL=EO:OD.

•：0D=30E,：.OL=3OK,

设点E的横坐标为f,OK=—t,OL=—3t,

1,3

•••O的横坐标为-3f,分别把x=，和x=-3/代入抛物线解析式得y=yf

・•・yy---ti2-3JIt~~•

22

AKE=--t2-t+-,DL^-t2-3t--.

2222

•••sinNKQE=sinN£>OL,

KEDLDLOD\

----=------=3,

~OE~~ODKEOE

DL=3KE,

13

22

解得4=1(舍)，t2=-\,

E（-l,-2）.

i3

(3)如图3,设点P的横坐标为"，把》=加代入抛物线得y=,m2+加—]

1,3

‘PH——m~+m——.

22

过E作EF〃y轴交PQ于点T,交x轴于点y,.•.TE丄x轴.

•••点。与点P关于抛物线的对称轴对称，；.PQ〃x轴，PT=QT,

：.ET±PQ,丫点坐标为(—1,0),

又丄x轴，AET/7PH,:.NTEP=NEPH,

：.ZPTY=NQPH=ZTYH=90,:.四边形PTYH为矩形，

:.PT=YH=m+L：.PT=QT=m+l,

1,3

APQ=2m+2,PH^-nr+m--,YE=2,

22

1,31,1

：.TE^TY+TE^-m2+m--+2=-m2+m+-=*+1）2.

2222

m+12

YE2tanZP£7=—=

AtanZAHE=—何，TE；（加+1『〃2+1，

YH

:.tanZAHE=tanZPET,:.ZAHE=NPET=ZEPH.

又•；ZAHE+/EPH=2a,：.ZAHE=ZPET=ZEPH=«.

■:PH-PQana,

；.一加~+in——2（m+l）-------,解得m=±2A/3-1,

22''m+]

Vm>0,二机=2百一L

•,•阳=m+1=2百-1+1=2百，PQ=2YH=4x/3,

把加=2百—1代入抛物线得y=4,PH=4,•••川2百—1,4卜

Yp2h

:.tanNYHE=—=—==—,：.ZYHE=3Q=a，:.NPQH=NEPH=NYHE=30,

YH2g3'

AZPHQ=90-30=60,HQ=2PH,；.ZPRH=180—NEPH—NPHQ=180-30-60=90.

若NF交QH于点W,

NF〃PE,J.ZNWR=ZERQ=90，,ZNWR=ZQPH,

V4MHN=60,:.NPHM+4MHQ=NMHQ+ZQHN=60,

/.ZPHM=ZQHN,MH=NH,ZHWR=ZQPH,

：.APMH^/^WNH,：.PH=WH,：.WH=QW.

作WS〃PQ,交PH于点S,交y轴于点G,

WHWSHS

.•.△WSHS^QPH,.•.西=而

PH

WSHS1

QH=2WH,—=——=—,

PQPH