2023-2024学年天津市高二年级上册期末数学模拟试题二（含答案）

2023-2024学年天津市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

TT

1.直线X=Tan7的倾斜角是()

4

八C"c3πC乃

A.0B.—C.—D.一

244

【正确答案】B

【分析】由倾斜角的概念求解

TTTT

【详解】x=-tan-,即X=-1,直线的倾斜角为彳.

故选：B

2.两直线3x+4y-3=O与“ir+8y+l=0平行，则它们之间的距离为()

A.4B.-C.—D.—

51010

【正确答案】C

【分析】先根据直线平行求得加，再根据平行线间的距离公式求解即可.

【详解】因为直线3x+4y—3=0与，HX+8y+l=0平行，故3x8—4m=0,解得m=6.

故直线6x+8y—6=0与mr+8y+l=0间的距离为=

√62+8210

故选：C

3.设椭圆£+《=1(%>0,”>0)的右焦点与抛物线√=8x的焦点相同,离心率为;,则此椭

m"n

圆的方程为

12166448

【正确答案】B

【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求

得m,最后根据m、n和C的关系求得n.

【详解】，抛物线丁二以，

P=4,焦点坐标为(2,0)

椭圆的右焦点与抛物线丁=8x的焦点相同

22

椭圆的半焦距c=2,即m-n=4

2I

e=~m=2'

m=4,n=√16-4=26,

23

椭圆的标准方程为2r+±=1,

1612

故选B.

本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和C的关系,求桶圆的方

程时才能做到游刃有余.

椭圆与抛物线的标准方程，及性质.

点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而〃=因而椭圆

方程确定.

4.已知点尸(-3,-1),向量W3=(6,7),过点P作以向量用为方向向量的直线L,则点A(3,-l)

到直线心的距离为()

A.OB.-s∕6C.D.-Jj

【正确答案】B

【分析】根据题意得直线Z,为x+逐y+3+石=0,再由点到直线距离公式解决即可.

【详解】由题知点P(-3,T),向量〃?=(右,T),过点尸作以向量加为方向向量的直线L,

所以直线乙的斜率为人=-丧，

所以直线L为y+l=-5(x+3),即x+6y+3+石=0,

因为43,—1)

所匕空叫=6

√6

故选：B

5.己知三棱柱ABC-ABG,点P为线段Bc上一点，且B∣P=；BC…则AP=()

A.-AB+AC+-AA

22"B-通+3配+J羽

ɪ221

C.-AB+-AC-AA.D.-AB+-AC+AA

33"33’

【正确答案】D

【分析】根据空间向量的运算，利用基底表示向量AP∙

【详解】由题意得AP=AB+8P=Λβ+8B∣+4P,

因为=gAG,BB1=AA,,所以AP=AB+A4,+g用G=AB+AA+gbC

1ɔ1

ɪAB+AAI+-(AC-ΛB)=-AB+AAI+-AC.

故选：D.

6.若点P(Ll)在圆C:/+y2+x-y+&=0的外部，则实数Z的取值范围是()

A.(-2,-κo)B.-2,-g]C.,2,g)D.(-2,2)

【正确答案】C

/、ʌʌ/1+1+1—1+Z>O

【分析】由于点P(U)在圆Cd+y2+χ-y+Z=0的外部，所以1+j4%>0，从而可

求出女的取值范围

fl+I+l-l+⅛>0]

【详解】解：由题意得I八，解得

[l+l-4k>02

故选：C.

7.已知直线x-y+m=O与圆¢:/+^+4^=0相交于A、B两点，若CAJ_C8，则实数机

的值为()

A.T或0B.T或4C.0或4D.T或2

【正确答案】A

【分析】分析可知一ASC为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心C到直线AB的距离,

再利用点到直线的距离公式可得出关于机的等式，即可解得加的值.

【详解】圆C的标准方程为f+(y+2)2=4,圆心为C(0,-2),半径为厂=2,

因为C4,CB且|。I=IeBl=2,故..ABC为等腰直角三角形，且∣A3∣=正∣C4∣=2后，

则圆心C到直线AB的距离为d=∣∣AB∣=√2,

由点到直线的距离公式可为"=44=√2,解得fn=T或0.

√2

故选：A.

8.已知空间中四点A(T,1,O),B(2,2,1),C(l,l,l),O(0,2,3),则点O到平面ABC的距离

为()

A.√6B.正C.—D.O

36

【正确答案】A

【分析】根据题意，求得平面ABC的一个法向量”=(1,-1,-2),结合距离公式，即可求解.

【详解】由题意,空间中四点A(T/,0),8(2,2,1),C(l,l,l),£>(0,2,3),

可得AB=(3,1,1),AC=(2,0,1),AO=(1,1,3),

n-AB=3x+y+Z=O

设平面ABC的法向量为"=(χ,y,z)则

n-AC=2x+z=0

令X=1,可得y=-l,z=-2,所以"=(1,-1,-2),

∖n-AD∖∣1-1-6∣

lλr

所以点。到平面ABC的距离为-π-='=√6.

∣∕z√l+l+4

故选：A.

9.使得“直线0r+2y-l=0与直线(α+l)x-2αy+l=0垂直”的充分不必要条件是()

A.a=]B.a=2C.α=3D.α=3或α=0

【正确答案】C

【分析】求得直线以+2y-1=0与直线(α+l)x-2少+1=0垂直时，α的值，由此确定充分

不必要条件.

【详解】直线0r+2y-l=0与直线(α+I)X-2αy+l=0垂直时，α(α+l)+2(-2α)=0,

/-34=0,解得α=0或α=3.

所以使得“直线5+2y-l=0与直线(α+l)x-2少+1=0垂直，，的充分不必要条件是C选项.

故选：C

10.若直线/:丘-y+4+2Z=o与曲线y="Ξ，■有两个交点，则实数上的取值范围是()

ɔ

A.1⅛∣⅛=±1}B.{k∖k<--}

33

C.伙|-1≤Z<-/D.{ΛI-1≤Zc<—}

【正确答案】C

【分析】根据直线/和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.

【详解】由题意，直线/的方程可化为(x+2)Z-y+4=0,所以直线/恒过定点A(-2,4),

y=√4≡√，可化为f+y2=4(y≥0)其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.

∣4÷2⅛∣3

当/与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离d==2,解得左=—；.

y∣H+l4

设B(2,0),则原8=;Fg=-I.由图可得，若要使直线/与曲线V=有两个交点，则

-2—2-

3

-l<k<--.

4

故选：C.

11.若数列{%}的通项公式是=(T)"(3〃一2),则4+生++%o=

A.30B.29C.-30D.-29

【正确答案】A

【详解】试题分析：由数列通项公式可知

+

aλ+a2++α20=（tzl÷⅛）+（49+%））=1°。=1。乂3=30

分组求和

12.已知抛物线C：V=8x的焦点为尸，过点尸且倾斜角为;的直线/与抛物线C交于A,B

两点，则IABI=（）.

A.8B.8√2C.16D.32

【正确答案】C

【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案.

【详解】焦点F（2,0）,直线/的方程为y=x-2,

y=x-2.

由｛2C，消去N并化简得X-I2X+4=0,A=144-16=128>0,

y=8x

设4（内,y）,8（孙％），所以X∣+*2=12,

所以IASl=xλ+x2+p=12+4=16.

故选：C

13.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为LP为抛物线上一点,PALI,A为垂足.如

果直线AF的斜率为-√L那么IPFl=

A.4√3B.8C.8√3D.16

【正确答案】B

【详解】设A（-2,t）,人“∖3∙"∙/-4\3,∙,∙∕,（6,4γ3），归尸|=8

一4

14.若数列｛%｝满足q+4+4++4=3〃-2,则这个数列的通项公式为（）

A.a,=2×3n-'B.a,,=3×（∣Γ1

fl,H=I

C.凡=3〃-2D.〃”=<.

w〃[3?Γ,nr≥

【正确答案】D

【分析】根据递推数列的性质，可以得到4+出+/++α,,τ=3"T-2,两式相减，即可得

到的表达式；此时要注意首项是否符合通项公式.

【详解】因为％+%+%++%=3"-2,

所以4+/+/++a%1=3"T-2,〃≥2,

两式相减，得∕=2x3"τ,且当〃=1时，4=2,

在原式中，首项q=3∣-2=1,

二者不相等，所以4,=[τ∕,t=[

[3;,〃衣

故选：D

在抛物线V=4√7X的准线上，则双曲线的方程为

【正确答案】D

【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是y=2χ,则石=土①，抛物线y=4"x的准

线是x=-√f,因此c=√7,即合+〃=Ο2=7②，由①②联立解得,所以双曲线方

程为《-21=1.故选D.

双曲线的标准方程.

16.圆C:(x-l)2+(y-l)2=2关于直线/：y=x-l对称后的圆的方程为()

A.(X-2)2+∕=2B.(X+2)^+y~=2

C.x2+(y-2)2=2D.X2+{y+2)2=2

【正确答案】A

【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.

【详解】圆C：(X-I)2+(y-l>=2的圆心(1,1)半径为痣，由/:y=x-l得勺=1,

设圆心关于直线对称点的坐标为(肛〃)，则

-----------------I=U、

22

所以对称圆的方程为(x-2f+y2=2.

故选：A.

17.设S,为等比数列｛%｝的前〃项和，若―12,-6,则率=()

33

【正确答案】C

【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为。，

q=2

a3-a]=%q--aλ=6q=2

2×(l-26)

则5=

6126，S3

故选：C.

2，

18.己知"、"是椭圆£+强∙=l(a>6>0)的两个焦点，过死的直线与椭圆交于A、B两

点,若|的|:|ABl:忸/=3:4:5,则该椭圆的离心率为()

√3-l

B.2-√3

2D∙T

【正确答案】D

【分析】利用勾股定理得出NKA吊=90,利用椭圆的定义求得IA制、IAgI,利用勾股定

理可得出关于〃、C的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.

【详解】如下图所示，设IA周=3/,则MM=4f,忸用=5f,所以，∖AFtf+∖ABf=∖BFl^,

所以，ZfJAF,=90,

由椭圆定义可得IM+M+∣瓯=⑵=4a,.」=*.∙.∣A用=3f=4,

所以，∣A周=为TA娟=4,

所以，“片鸟为等腰直角三角形，可得卜用2+[4闾2=忻段2,二2片=402,

所以，该椭圆的离心率为e=£=立.

a2

故选：D.

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(I)定义法：通过已知条件列出方程组，求得“、C的值，根据离心率的定义求解离心率e

的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、C的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

19.若双曲线经过点卜6,6),且它的两条渐近线方程是y=±3x,则双曲线的方程是().

A.匕-¢=1B.--y2=↑

99

【正确答案】A

【分析】由渐近线方程可设双曲线为χ2-f=m且机力0,再由点在双曲线上，将点代入求

9

参数〃3即可得双曲线方程.

【详解】由题设，可设双曲线为一一3=根且加工0,又卜行,6)在双曲线上，

所以机=3-^=-1,则双曲线的方程是[-W=].

故选：A

20.在各项均不为零的等差数列｛4｝中，若。,川-片+。,1=0(〃22),

则邑”-1-4〃=

A.-2B.OC.1D.2

【正确答案】A

【详解】试题分析:根据等差数列｛q｝性质可知&用+%τ=2%5≥2),所以2αf,-αj=0,

因为q,≠0,所以4=2,则S2,I-4〃=（2〃-1）X2—4〃=-2,故选A.

等差数列.

21.数列｛%｝满足4=Hɪ土卫士，则数列］一」|的前”项和为()

nɪʌn

A.----B.------

H+1〃+2

c∙二D.乌

72+1〃+2

【正确答案】D

【分析】利用等差数列的前”项和公式得到。“，进而得到」一=4(一=--y,利用裂

项相消法求和.

M(1+n)

【详解】依题意得：〃+1，

an=---=K

n2

；.，=4=4P---Q

("+l)("+2)∖n+∖n+2J'

22

22.已知抛物线V=4x与双曲线£-£=l(a>O,b>O)有相同的焦点F,点A是两曲线的一

个交点，且A尸_Lx轴，则双曲线的离心率为()

A.√2+2B.√5+lC.√3+lD.√2+l

【正确答案】D

【分析】由抛物线V=4x可得双曲线的右焦点为F(1,O),根据题意列式求解。，即可得双

曲线离心率.

【详解】由抛物线V=4x可得焦点厂(1,0),则双曲线/，=1的右焦点为F(l,0),即c=l,

若AF_LX轴，可设4(1,%),则巾=4,

a2+⅛2=1

由题意可得：14，解得4=√∑T,

二双曲线的离心率为e=?=7占=应+L

故选：D.

23.已知数列｛q｝的前〃项和为S”，首项4=1,且满足“e+4=3∙2",则SU的值为()

A.4093B.4094C.4095D.4096

【正确答案】A

【详解】由递推公式确定通项公式为=(T)"+2",再求SU即可.

n+

3-2-an-2"'

¾-2"

所以｛q-2"｝是首项为_1,公比为T的等比数列，所以勺=(7)"+2",

2

贝IlSU=q+4++all=-l+2'+l+2+-1+2"=-1+^^-^==4093

故选：A

24.已知函数/(x)=x+3Sin(X-；)+；,数列｛/卜满足/=［有，则

\乙)乙Zλ)Λj

/(2+/3)+…+/(%)22)=()

A.2022B.2023C.4044D.4046

【正确答案】A

【分析】先求得/(x)+∕(Jx)=2,然后利用倒序相加法求得正确答案.

［详解］∙∙∙”>x)=>x+3Sin

2TP

.∙.∕(x)+γ∙(ι)=2.

.._n2023-n_

a+a+

•n2O23-n-示应2023-'

2

∙,∙∕(⅛)+∕(⅛-n)=∙令S=∕(αJ+∕(αJ+…+/(¾β2),

则S=∕(α2022)+∕(a202])H-----b∕(aj,两式相加得2S=2x2022,

・・・S=2022.

故选:A

25.在数列｛%｝中，q=2,4%="+ln(l+'),则凡等于()

n+∖nn

A.2÷wln∕ιB.2λt+(π-l)lnn

C.2n+n∖nnD.∖+n-vn∖ntι

【正确答案】C

【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答.

【详解】因&L=2+ln(l+L,则有3L-%=ln("+l)-ln”,

n+1nnn+∖n

于是得，当“≥2时,个叶+(/*)+仔号)++⅞^⅛

=2+(in2-In1)+(in3-In2)++[ln〃-ln(〃-l)]=2+ln〃，

因此，an=2n+n∖nn,显然，α1=2满足上式，

所以〃“=2〃+〃In〃.

故选：C

26.过点M（2,3）作圆/+y2=4的两条切线，设切点分别为A、B,则直线AB的方程为（）

A.x+2y-2=0B.2x÷3y-4=0C.2x-3y-4=0D.3x+2y-6=0

【正确答案】B

【分析】根据题意，可知圆/+丁=4的圆心为。（0,0）,半径r=2,由切线长公式求出M4

的长，进而可得以“为圆心，M4为半径为圆，则AB为两圆的公共弦所在的直线，联立两

个圆的方程，两方程作差后计算可得答案.

【详解】解：根据题意，可知圆f+y2=4的圆心为O（0,0）,半径r=2,

过点“（2,3）作圆χ2+V=4的两条切线，设切点分别为A、B,

而IMa=J2?+32=屈，则IMAI=JlMa、4=3,

则以Λ/为圆心，为半径为圆为(x-2y+(y-3)2=9,即圆V+/-4x-6y+4=0,

22

[χ+y=4

所以A8为两圆的公共弦所在的直线，则有2，，，，，、，

[x+y^-4x-6y+4=0

作差变形可得：4x+6y-8=0,

即直线AB的方程为2x+3y-4=0.

故选：B.

27.若函数%+∣=/(%),则称/(x)为数列｛%｝的“伴生函数”，已知数列｛《,｝的“伴生函数”

为/(x)=2x+l,q=l,则数列｛““｝的前”项和(=()

A,〃2+2一如』B,"∙2向+2一业⑴

22

C.("-l)∙2"+∣+2-及詈D.(“_1).2"+2,(7)

【正确答案】C

【分析】由已知可得数列｛%+l｝为等比数列，其首项为q+1=2,公比也为2,从而可求得

a=2',-l,则∕∞,,="∙2"-",从而可表示出(=1X2∣+2X22+令

n2

H(Λ)=1×2I+2×22++n-T,利用错位相减法可求出”5),从而可求得结果

【详解】依题意，可得4用=2q,+l("∈N*),所以〃向+1=2(q+1)>0,BPyTT=2.

故数列｛%+l｝为等比数列，其首项为q+l=2,公比也为2,

所以4,+1=22-=2",

所以α,=2"T,所以，叫,=〃-2"-〃，

所以7>lχ2∣+2χ2∣++n-2--(∖+2++»)=1×2'+2×22+.+n-2"-^^-.

令"(")=1X2∣+2X22++n-2",

则2〃(〃)=1x2?+2X2∣++(n-l)-2π+n∙2n+,,

两式相减，得一H(,)=2∣+22++2',-n-2"+'=2n+'-2-n-2n+',

所以，(")=("T∙2"+'+2,

所以T5)=(7-l>2"∣+2-,(;+”.

故选：C.

13

28.点M为抛物线y=上任意一点，点N为圆Y+y2-2y+τ=0上任意一点，若函

44

数/(x)=Iog∕x+2)+2(4>l)的图象恒过定点p,则∣MP∣+IMNl的最小值为()

A.2B.-C.3D.—

244

【正确答案】A

计算P(T,2),则Wpl+1MN曰MPl+1MFl-g≥PO-g,计算得到答案.

【详解】函数/(x)=log"(x+2)+2(α>l)的图象恒过定点(-1,2),故尸(-1,2).

y=j∙/,即¢=4,,焦点为∕7(0,l),准线为y=-l,

X2+y2-2y+^=0,即犬+(y—l)2=；.

∖MP∖+∖MN∖≥∖MP∖+∖MF∖--≥PD-^=3-^=^,当PMD共线时等号成立.

本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

29.正项数列｛a,,｝的前n项的乘积7；=（；）»"（〃∈N+）,⅛,,=Iog2«„,则数列也｝的前〃项和S,,

中的最大值是（）

A.S6B.S5C.S4D.S3

【正确答案】D

【分析】由已知，求得他“｝的通项公式，再求得数列也J的通项公式，继而求得S“中的最大

值.

【详解】由已知当〃=1时，4=Z=(J)7=4',当〃≥2时，an=ɪ=⅛2π7,〃=1时也适合