晶体的宏观对称

关于晶体的宏观对称一、对称的概念Symmetry是宇宙间的普遍现象是自然科学最普遍和最基本的概念是建造大自然的密码是永恒的审美要素

晶体学第2页,共33页，2024年2月25日，星期天物体(或图形)中相同部分之间有规律的重复。对称的概念晶体学第3页,共33页，2024年2月25日，星期天二、晶体对称的特点

由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的。晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律”。晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。因此，由以上可见：格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。晶体学第4页,共33页，2024年2月25日，星期天对称操作(symmetryoperation)能够使对称物体(或图形)中的等同部分作有规律的变换动作(对称操作)someactsthatreproducethemotif

tocreatethepatternMotif：thefundamentalpartofasymmetricdesignthat,whenrepeated,createsthewholepattern三、晶体的宏观对称

要素和对称操作

晶体学第5页,共33页，2024年2月25日，星期天对称要素对称要素(symmetryelement)：在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素——点、线、面等。对称要素种类对称中心(centerofsymmetry)对称面(symmetryplane)对称轴(symmetryaxis)旋转反伸轴(rotoinversionaxis)旋转反映轴(rotoreflectionaxis)对称要素的符号

晶体学第6页,共33页，2024年2月25日，星期天晶体学对称要素之对称操作

对称操作＝对应点的坐标变换

(x,y,z)

(X,Y,Z)

or对称变换矩阵

第7页,共33页，2024年2月25日，星期天对称要素符号宏观晶体的对称要素晶体学晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称

操作如下：第8页,共33页，2024年2月25日，星期天对称面—P

操作为反映。可以有多个对称面存在，如3P、6P等。

对称面晶体学第9页,共33页，2024年2月25日，星期天对称面(m)

对称操作之平面图解

对称面(mirror)Reflectionacrossa“mirrorplane”reproducesamotif=symbolforamirrorm晶体学第10页,共33页，2024年2月25日，星期天对称面(m)之对称操作

对称面(mirror)

变换矩阵m(m包含x、y轴)晶体学第11页,共33页，2024年2月25日，星期天☆对称轴—Ln

操作为旋转。其中n代表轴次，意指旋转360度相同部分重复的次数。旋转一次的角度为基转角

，关系为：n=360/

。

对称轴晶体学第12页,共33页，2024年2月25日，星期天对称轴(Ln)之对称操作

对称轴二次(two-foldrotation)=360o/2rotationtoreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPattern66晶体学第13页,共33页，2024年2月25日，星期天对称轴(Ln)之对称操作

对称轴二次(two-foldrotation)=360o/2rotationtoreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPatternMotifElementOperation66=thesymbolforatwo-foldrotation晶体学第14页,共33页，2024年2月25日，星期天对称轴(Ln)之对称操作

对称轴二次(two-foldrotation)=360o/2rotationtoreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPatternMotifElement66=thesymbolforatwo-foldrotation第一步第二步晶体学第15页,共33页，2024年2月25日，星期天对称轴(Ln)之对称操作

对称轴二次(two-foldrotation)变换矩阵

ASymmetricalPattern66第一步第二步晶体学第16页,共33页，2024年2月25日，星期天对称轴(Ln)对称操作之平面图解(没有5-fold和>6-fold的)66666666666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold晶体学变换矩阵：第17页,共33页，2024年2月25日，星期天晶体的对称定律：

由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体中只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。为什么呢？1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。晶体学第18页,共33页，2024年2月25日，星期天晶体对称定律2、数学的证明方法为：

A1、A2、A3、A4、B1、B2为晶体中的阵点，相隔为a。若B1B2=maa+2acosa=macosa=(m-1)/2

1 m=3,2,1,0,-1 a=0,60,90,120,180 n=1,6,4,3,2

（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）晶体学第19页,共33页，2024年2月25日，星期天☆对称中心—C操作为反伸。只可能在晶体中心，只可能一个。

总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平行、同形等大。对称中心晶体学第20页,共33页，2024年2月25日，星期天对称心之对称操作

对称心(C,1)假想的几何点，相对于这个点的反伸(x,y,z)(-x,-y,-z)

变换矩阵：晶体学第21页,共33页，2024年2月25日，星期天☆旋转反伸轴

–Lin

操作为旋转+反伸的复合操作。具体的操作过程：旋转反伸轴晶体学第22页,共33页，2024年2月25日，星期天晶体学第23页,共33页，2024年2月25日，星期天旋转反伸轴(Lin)之对称操作

旋转反伸轴围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸=对称轴＋对称心

变换矩阵：

种类Li1

=CLi2

=PLi3

=L3

+CLi4Li6

=L3

+P晶体学第24页,共33页，2024年2月25日，星期天旋转反伸轴(Lin)对称操作之图解晶体学第25页,共33页，2024年2月25日，星期天值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：

Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，

Li6=L3+P但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4

和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4

不能被代替，Li6在晶体对称分类中有特殊意义。

旋转反伸轴晶体学第26页,共33页，2024年2月25日，星期天四、32个对称型

晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。

根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。第27页,共33页，2024年2月25日，星期天晶族(crystalcategory)的划分

根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族高级晶族(highercategory)中级晶族(intermediatecategory)低级晶族(lowercategory)问题:什么是高次轴?最多有多少高次轴?晶体学五、晶体的对称分类1、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-4。第28页,共33页，2024年2月25日，星期天晶体的对称分类晶系(crystalsystem)的划分 根据对称轴或旋转反伸轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系,分属于三个晶族等轴晶系(isometricsystem),又称立方晶系(cubicsystem)六方晶系(hexagonalsystem)四方晶系(tetragonalsystem)三方晶系(trigonalsystem)斜方晶系(orthorhombicsystem),亦称正交晶系单斜晶系(monoclinicsystem)三斜晶系(triclinicsystem)晶体学第29页,共33页，2024年2月25日，星期天第30页,共33页，2024年2月25日，星期天2、对称型的国际符号

对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对称要素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方向性,3）但它不容易看懂.

特点：凡是可以派生出来的对称要素都省略了。对称轴以1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示(由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。晶体学第31页,共3