吉林省长春市汽开区2024年八年级下册数学期末监测试题含解析

吉林省长春市汽开区2024年八年级下册数学期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若a为有理数，且满足|a|+a=0，则（）A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤02．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．25 B． C． D．3．欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（

）A．AC B．AD C．AB D．BC4．函数y=2x﹣5的图象经过（）A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限5．下列选择中，是直角三角形的三边长的是()A．1，2，3 B．2，5，3 C．3，4，5 D．4，5，66．在中，，，，则的长是（）A．4 B． C．6 D．7．如图，过正五边形的顶点作直线，则的度数为（）A． B． C． D．8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论①BE⊥AC②四边形BEFG是平行四边形③EG=GF④EA平分∠GEF其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A． B． C． D．10．若a＞b，则下列结论不一定成立的是（）A．a-1＞b-1 B． C． D．-2a＜-2b二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知一次函数的图象经过第一、二、四象，请你写出一个满足条件的值__________.12．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____．13．如图，在中，，，，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为________.14．如图，直线、、、互相平行，直线、、、互相平行，四边形面积为，四边形面积为，则四边形面积为__________．15．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点.若∠BAC=30°，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④.其中正确结论的序号是______.16．在中，，，点在上，．若点是边上异于点的另一个点，且，则的值为______．17．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为______，点的坐标为______.18．计算：×＝____________.三、解答题(共66分)19．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段OA为边作等边三角形，使点B落在第四象限内，点C为x正半轴上一动点，连接BC，以线段BC为边作等边三角形，使点D落在第四象限内.（1）如图1，在点C运动的过程巾，连接AD．①和全等吗？请说明理由：②延长DA交y轴于点E，若，求点C的坐标：（2）如图2，已知，当点C从点O运动到点M时，点D所走过的路径的长度为_________20．（6分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．21．（6分）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，2），B（﹣4，﹣2）．（1）分别作点A，B关于原点的对称点C，D，并写出点C，点D的坐标；（2）依次连接AB，BC，CD，DA，并证明四边形ABCD是平行四边形．22．（8分）阅读材料，解答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为1．”上述记载说明：在中，如果，，，，那么三者之间的数量关系是：．（2）对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整：∵，（用含的式子表示）又∵．∴∴∴．（3）如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长．23．（8分）为了迎接“六一”国际儿童节，某童装品牌专卖店准备购进甲、乙两种童装，这两种童装的进价和售价如下表：价格甲乙进价（元/件）mm+20售价（元/件）150160如果用5000元购进甲种童装的数量与用6000元购进乙种童装的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种童装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于8980元，且甲种童装少于100件，问该专卖店有哪几种进货方案？24．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5，BC=1．（1）求OD长的取值范围；（2）若∠CBD=30°，求OD的长．25．（10分）如图，小明家所在区域的部分平面示意图，请你分别以正东、正北为轴、轴正方向，在图中建立平面直角坐标系，使汽车站的坐标是，（1）请你在图中画出所建立的平面直角坐标系；（2）用坐标说明学校和小明家的位置；（3）若图中小正方形的边长为，请你计算小明家离学校的距离．26．（10分）解下列不等式或不等式组（1）；（2）

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】试题解析：即为负数或1．故选D．2、D【解析】

本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．【详解】由勾股定理可知，∵OB=，∴这个点表示的实数是．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．3、B【解析】

解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论.【详解】x2+ax＝b2,即x2+ax-b2=0,∴∵∠ACB=90°，∴AB=，则故答案为：B.【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，与勾股定理，解题关键在于能够求出AB的长度.4、A【解析】

先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可．【详解】∵一次函数y=2x-5中，k=2＞0，

∴此函数图象经过一、三象限，

∵b=-5＜0，

∴此函数图象与y轴负半轴相交，

∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．

故选A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．5、C【解析】

根据勾股定理的逆定理，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】∵12+22≠32，∴1，2，3不是直角三角形的三边长，∴A不符合题意，∵22+32≠52，∴2，5，3不是直角三角形的三边长，∴B不符合题意，∵32+42=52，∴3，4，5是直角三角形的三边长，∴C符合题意，∵42+52≠62，∴4，5，6不是直角三角形的三边长，∴D不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．6、C【解析】

根据勾股定理计算即可.【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，c＝10，∴b＝＝6，故选C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7、A【解析】

由两直线平行，内错角相等及正五边形内角的度数即可求解.【详解】解：由正五边形ABCDE可得,又故答案为：A【点睛】本题主要考查了正多边形的内角及平行线的性质，掌握正多边形内角的求法是解题的关键.正n边形每个内角的度数为.8、B【解析】

由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=CD，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=AB=AG=BG，∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．9、D【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使各函数在实数范围内有意义，必须：A、分式有意义，x﹣1≠0，解得：x≠1；B、二次根式和分式有意义，x﹣1＞0，解得x＞1；C、函数式为整式，x是任意实数；D、二次根式有意义，x﹣1≥0，解得x≥1．故选D．10、C【解析】

不等式两边同时加减一个数，或同时乘除一个不为0的数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘除一个不为0的数，不等号改变方向，根据不等式的性质判断即可．【详解】A．不等式a＞b两边同时减1，a-1＞b-1一定成立；B．不等式a＞b两边同时除以3，一定成立；C．不等式a＞b两边同时平方，不一定不成立，可举反例：，但是；D．不等式a＞b两边同时乘以-2，-2a＜-2b一定成立．故选C．【点睛】本题考查不等式的性质，熟记不等式两边同时加减一个数，或同时乘除一个不为0的数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘除一个不为0的数，不等号改变方向，是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、答案不唯一【解析】

一次函数的图象经过第一、二、四象限，说明x的系数小于1，常数项大于1，据此写出一次函数．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，

∴函数x的系数小于1，常数项大于1．又∵常数项是3，

∴这个函数可以是y=-x+3等．故答案为：-1【点睛】本题考查了一次函数的系数与图象的关系，涉及到的知识点为：一次函数图象经过第一、二、四象限，说明x的系数小于1，常数项大于1．12、x≠1【解析】【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得答案.【详解】由题意得：1-x≠0，解得：x≠1，故答案为x≠1.【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键.13、或或【解析】

由已知得出∠B=60°，AB=2BC=18，①当∠BQP=90°时，则∠BPQ=30°，BP=2BQ，得出18-3t=2t，解得t=；②当∠QPB=90°时，则∠BQP=30°，BQ=2BP，若0＜t＜6时，则t=2（18-3t），解得t=，若6＜t≤9时，则t=2（3t-18），解得t=．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=9，∴∠B=60°，AB=2BC=18，①当∠BQP=90°时，如图1所示：则AC∥PQ，∴∠BPQ=30°，BP=2BQ，∵BP=18-3t，BQ=t，∴18-3t=2t，解得：t=；②当∠QPB=90°时，如图2所示：∵∠B=60°，∴∠BQP=30°，∴BQ=2BP，若0＜t＜6时，则t=2（18-3t），解得：t=，若6＜t≤9时，则t=2（3t-18），解得：t=；故答案为：或或．【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．14、1【解析】

由平行四边形的性质可得S△EHB＝S△EIH，S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，由面积和差关系可求四边形IJKL的面积．【详解】解：∵AB∥IL，IJ∥BC，∴四边形EIHB是平行四边形，∴S△EHB＝S△EIH，同理可得：S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，∴四边形IJKL面积＝四边形EFGH面积−（四边形ABCD面积−四边形EFGH面积）＝11−（18−11）＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得出S△EHB＝S△EIH是解题的关键．15、①②③④【解析】

首先证明证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DF∥AE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确.【详解】∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．

∵F是AB的中点，∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB．

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AD=2AF．

∴BC=AB，∠ADF=∠BAC，

∴AF=BF=BC．

在Rt△ADF和Rt△BAC中

AD＝BA，AF＝BC，

∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），

∴DF=AC，

∴AE=DF．

∵∠BAC=30°，

∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，

∴∠DFA=∠EAB，

∴DF∥AE，

∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确；∴AD=EF，AD∥EF，设AC交EF于点H，

∴∠DAC=∠AHE．

∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，

∴∠AHE=90°，

∴EF⊥AC．①正确；

∵四边形ADFE是平行四边形，

∴2GF=2GA=AF．

∴AD=4AG．故③正确．

在Rt△DBF和Rt△EFA中

BD＝FE，DF＝EA，

∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确，

故答案为：①②③④．【点睛】本题解题的关键：运用到的性质定理有，直角全等三角形的判定定理HL，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形对应边与对应角相等的性质，平行四边形对角线互相平分与两组对边平行且相等的性质.16、24或21或【解析】

情况1：连接EP交AC于点H，依据先证明是菱形，再根据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=10°，然后依据SAS可证明△ECH≌△PCH，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据EP=2EH=2sin10°•EC求解即可．情况2：如图2所示：△ECP为等腰直角三角形，则=EC=2．此时，=24

情况2：如图2：过点P′作P′F⊥BC．通过解直角三角形可以解得FC，EF，再在Rt△P′EF中，利用勾股定理可以求得.【详解】解：情况1：如图所示：连接EP交AC于点H．

∵在中，∴是菱形∵菱形ABCD中，∠B=10°，

∴∠BCD=120°，∠ECH=∠PCH=10°．

在△ECH和△PCH中，

∴△ECH≌△PCH．

∴∠EHC=∠PHC=90°，EH=PH．

∴EP=2EH=2sin10°•EC=2××2=1．∴=21

情况2：如图2所示：△ECP为等腰直角三角形，则=EC=2．∴=24

情况2：如图2：过点P′作P′F⊥BC．

∵P′C=2，BC=4，∠B=10°，

∴P′C⊥AB．

∴∠BCP′=20°．

∴FC=×2=2，P′F=，EF=2-2．∴=，

故答案为：24或21或．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形和勾股定理得结合，是综合性题目，难度较大．17、(16,32)(−21009,−21010).【解析】

根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2019=504×4+3即可找出点A2019的坐标．【详解】当x=1时，y=2，∴点A1的坐标为(1,2)；当y=−x=2时，x=−2，∴点A2的坐标为(−2,2)；同理可得：A3(−2,−4),A4(4,−4),A5(4,8),A6(−8,8),A7(−8,−16),A8(16,−16),A9(16,32)，…，∴A4n+1(22n,22n+1),A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1,−22n+2),A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数).∵2019=504×4+3，∴点A2019的坐标为(−2504×2+1,−2504×2+2),即(−21009,−21010).故答案为(16,32),(−21009,−21010).【点睛】此题主要考查一次函数与几何规律探索，解题的关键是根据题意得到坐标的变化规律.18、【解析】

直接利用二次根式乘法运算法则化简得出答案．【详解】=.故答案为.【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握二次根式乘法运算法则是解题关键.三、解答题(共66分)19、（1）①全等，见解析；②点C（1，0）；（2）1．【解析】

（1）①先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=10°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；

②由全等三角形的性质可得∠BAD=∠BOC=∠OAB=10°，可得∠EAO=10°，可求AE=2OA=4，即可求点C坐标；

（2）由题意可得点E是定点，点D在AE上移动，点D所走过的路径的长度=OC=1．【详解】解：（1）①△OBC和△ABD全等，

理由是：

∵△AOB，△CBD都是等边三角形，

∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，

∴∠OBC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；

②∵△OBC≌△ABD，

∵∠BAD=∠BOC=10°，

又∵∠OAB=10°，

∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=10°，

∴Rt△OEA中，AE=2OA=4

∴OC=OA+AC=1

∴点C（1，0）；

（2）∵△OBC≌△ABD，

∵∠BAD=∠BOC=10°，AD=OC，

又∵∠OAB=10°，

∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=10°，

∴AE=2OA=4，OE=2∴点E（0，2）

∴点E不会随点C位置的变化而变化

∴点D在直线AE上移动

∵当点C从点O运动到点M时，

∴点D所走过的路径为长度为AD=OC=1．

故答案为：（1）①全等，见解析；②点C（1，0）；（2）1．【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．20、（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则

DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键21、（1）点C，点D的坐标分别为：（1，﹣2），（4，2）；（2）见解析.【解析】

（1）直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案；（2）利用平行四边形的判定方法得出答案．【详解】（1）解：∵A（﹣1，2），B（﹣4，﹣2），点A，B关于原点的对称点C，D，∴点C，点D的坐标分别为：（1，﹣2），（4，2）；（2）证明：∵AD＝BC＝4+1＝5，∵A（﹣1，2），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣2），D（4，2）；∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点睛】此题主要考查了旋转变换以及平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．22、（1）；（2）；正方形ABCD的面积；四个全等直角三角形的面积正方形CFGH的面积；；（2）2.【解析】

（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；（2）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）在中，，，，，

由勾股定理得，，

故答案为：；（2），

又正方形的面积四个全等直角三角形的面积的面积正方形CFGH的面积，

．

．

，

故答案为：；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积正方形CFGH的面积；；（2）设，则，

由折叠的性质可知，，

在中，，

则，

解得，，

则PN的长为2．【点睛】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．23、（1）m＝100（2）两种方案【解析】

（1）用总价