2023-2024学年河北省邯郸市高三（上）第一次调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省邯郸市高三(上)第一次调研数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合4=<1},B=[x\x24-2%<0},则AUB=()

A.(-1,2]B.{0}C.[-2,1)D.(-oo,1)

2.已知命题p：VxE[0,+oo),ex>1,则"为()

A.3%E(—8,0),ex>1B.3%6[0,+oo),ex<1

C.Vx6(—oo,0),ex<1D.VxG[0,4-oo),ex<1

3

3.已知i是虚数单位，若复数z满足：z(l-i)=l-if则z+W=()

A.0B.2C.2iD.-2i

4.设函数f(%)=ln(x4-Q)在％=1处的切线与直线y=]+1平行，则Q=()

A.-2B.2C.-1D.1

5.设F「F2是双曲线5—，=13>0)的左、右焦点，过网的直线Z交双曲线的左支于A,B两点，若直线y=

为双曲线的一条渐近线，\AB\=2b2,则IAF2I+的值为()

A.11B.12C.14D.16

6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正六棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱

的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为()

A.(35/-3+37r)cm3B.(6V~-3+37r)cm3C.+Sit^cm3D.(^6y/-3+^it')cm3

7.甲口袋中有“3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋,

分别以4表示从甲口袋取出的球是红球、白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B表示从乙口袋

取出的球是红球的事件，则P(&|B)=()

A.B.鲁C.HD.|

2323408

8.设函数f(x)的定义域为R,f(x-l)为奇函数，f(x+l)为偶函数，当工时，/(x)=-ex,则()

A./(3)=-1B./(-2)=-1

C.f(x+6)为奇函数D./(2x)=/(2x+8)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.设a,小两个非零向量，且叩+方|<同+加,则下列结论中正确的是()

A.\a-b\<|a|+|K|

B.\a-b\<\a+b\

c.a,族的夹角为钝角

D.若实数2使得益=AB成立，则；l为负数

10.记%为数列｛册｝的前n项和，若数列｛个｝是首项为1,公差为2的等差数列，贝义）

2

A.数列｛加｝为递减数列B.Sn=2n-n

C.=4n-3D.数列｛a“+S”｝是等差数列

1.已知函数/（为=25讥（5+8）（3>0,|刎<》的图象过点（0,1）,最小正周期为（则（）

A.f（x）在吗,m上单调递减

B.f（x）的图象向右平移5个单位长度后得到的函数为偶函数

C.函数/（x）在（0,兀）上有且仅有4个零点

D.函数中）在区间亭居）上有最小值无最大值

12.已知棱长为2的正方体ABCD-4R,E,F分别是4B,A^,CG的中点，连接RE,EF,RF,

记R,E,F所在的平面为a,则（）

A.a截正方体所得的截面为五边形B.B、D1a

C.点。到平面a的距离为CD.a截正方体所得的截面面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.竺2-的展开式的常数项是____.

X4

14.写出函数/■（>）=（第的一个对称中心：.

15.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线W：y=%2+*若等腰直角三角形/BC三个顶点均在W上且直角

顶点B与抛物线顶点重合，则△力BC的面积为.

16.过圆。：/+y2=2上一点p作圆c：（%-4）2+（y—4/=2的两切线，切点分别为Q,R,设两切线的

夹角为仇当|PQ|+|PR|取最小值时，sind=.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知等比数列｛a。｝的前n项和为无，an>0,且满足%+a2=6,S4=30.

（1）求｛a"的通项公式；

（2）设%=（71-1）/„,｛%｝的前《项和为7；,求使7；<196成立的n的最大值.

18.(本小题12.0分)

暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水

认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

⑴估计这100名居民成绩的中位数(保留一位小数)；

(2)在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[40,50),[50,60),[60,70)的三组中抽取12人，再从这

12人中随机抽取3人，记f为3人中成绩在[50,60)的人数,

19.(本小题12.0分)

在△力BC中，内角2,B,。所对的边分别为a,b,c,已知c=2asinC—2ccosA.

(1)求s出24

(2)若a=2,求AABC面积的最大值.

20.(本小题12.0分)

如图，几何体由四棱锥B—HEFC和三棱台EFG—ACD组合而亦四边形力BCD为梯形，且AD=2BC,

AD1CD,CD=2FG,DG1平面4BCD,DA=DC=2,平面EBC与平面4BCD的夹角为45。.

(1)求证：平面BCE平面COGF；

(2)求三棱台EFG-4CD的体积.

E

21.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=Q•2%—xln2.

(1)讨论/(%)的单调性;

(2)当a>0时，证明：不等式f(x)<2"a+§有实数解.

22.(本小题12.0分)

221

已知椭圆E：混x+刍v=l(a>b>0)的焦点分别为Fi(-l,0)和尸2(1,0)，离心率为:不过F2且与％轴垂直的直线

交椭圆于4,M两个不同的点，直线NF2与椭圆的另一交点为点从

(1)求椭圆E的方程；

(2)①若直线MB交x轴于点N,求以。N为直径的圆的方程；

②若过尸2与48垂直的直线交椭圆E于D,G两个不同的点，当|4B|2+|DG|2取最小值时，求直线4B的方程.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A={x\\Tx<1}={x|0<x<1},F=[x\x2+2x<0}={x|—2<x<0].

则4UB={x|-2Wx<1}.

故选：C.

先求一元二次不等式得8={x|-2<x<0},再根据集合运算法则求解AUB即可.

本题考查了一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：因为命题p：VxG[0,+co),ex>1,所以-ip：3xG[0,+oo),ex<1.

故选：B.

利用含有全称量词的命题的否定判断.

本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题.

3.【答案】A

2

【解析】解：由复数=l-可得z===坦=.、•=一i，贝匹=i，

1-i3l+i(l+i)(l-0

所以z+z=—i+i=0.

故选：A.

根据复数的运算法则，求得z=-i,得到W=i,即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及共辄复数的定义，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：函数/'(x)=ln(x+a)的定义域为(一a,+8),

由已知1>-a,故a〉一1,

由f(x)=ln(x+a),得/(%)=+，

1

,<,/⑴="

•.•函数"X)=In(x+a)在X=1处的切线与直线y=]+1平行，

.•.六=〈，解得a=l,经验证，此时满足题意.

1+Q2

故选：D.

由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a.

本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线平行与斜率的关系，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据双曲线的标准方程%*l(b>0),得a=2,'T

由直线y=?X为双曲线的一条渐近线，得”攀出1

解得b=V-3)得|4B|=2b2=6.

由双曲线的定义可得MF2I—MFJ=2a=4①，/'

IBF2I-|BF1|=2a=4②,

①+②可得|4七1+\BF2\-(|叫|+IBFil)=8,

因为过双曲线的左焦点&的直线，交双曲线的左支于4,B两点,

所以|4Fi|+IBFJ=\AB\=6,得民|+\BF2\=|XB|+8=6+8=14.

故选：C.

根据双曲线的标准方程可得a=2,再由双曲线的定义可得MF2I-NF/=2a=4,旧尸2|-|B0|=2a=4,

得到|倜+|BF2|-(I^FJ+IBF1I)=8,再根据|AB|=6得到答案.

本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意，钻头的前段正六棱锥的体积匕=gx3x；x2x2x?x6=6q(CTn3),

因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，

作出以下图形，

所以圆柱的底面圆的半径r=2sin60°=V_5(cm)，

所以圆柱的体积彩=1xyrx(V-3)2=37r(cm3),

所以此钻头的体积为％+/=(6<^4-37r)cm3.

故选：B.

根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.

本题考查简单几何体的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：P(B)=P(4)P(B|&)+P(&)P(B|4)=|x|+1x"兼

P(A2)=|，P(B4U

P(Am一P(42B)_P(A2)P(B|42)_W_A

〃⑸⑺--―磊-亚

故选：A.

分别求出P02)，P(B|A2)，再根据全概率公式求出P(B),再根据条件概率公式即可得解.

本题考查了条件概率，全概率公式的应用，是中档题.

8.【答案】D

【解析】解：因为f(x-l)为奇函数，

所以/(一％-1)=-/(x-1),即f(x)=-/(-X-2),

则/(一1)=一/(一1),所以/(-1)=0,

因为/(x+1)为偶函数，

所以/(-X+1)=f(x+1),即f(x)=fC-x+2),

则f(3)=/(-1)=0,故A错误：

由当x6(-1,1)时，/(x)=-ex,得f(O)=-l,

则/(一2)=-/(0)=1,故8错误；

/(-X+2)=-/(-X-2),则/'(x+4)=-/(x),

所以f(x+8)=-/(x+4)=/(%),

所以/(2x)=f(2x+8),故。正确；

对于C,由f(x+8)=f(x),得f(x+6)=f(x-2),

若f(x+6)为奇函数，则/(x—2)也为奇函数，

令g(x)=f(x-2)，则g(x)为奇函数,则g(0)=0,

又9(0)=/(—2)=1h0,矛盾，

所以9。)=/。-2)不是奇函数，即/'(X+6)不是奇函数，故C错误.

故选：D.

由题意可得/'(-X-1)=-f(x-1),/(-%+1)=f(x+1),结合(-1,1)时，/(%)=-ex,可判断4B；

求出函数的周期，进而可判断CD.

本题考查函数的对称性与周期性的综合应用，属中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于4当,行不共线时，根据向量减法的三角形法则知|五一另|<|8|+|石|，

当前反向共线时，|有一石|=|初+劭,所以|五-&|4|成+|方|，故A正确；

对于B,若413,则以日范为邻边的平行四边形为矩形，

且同+山和口-瓦是这个矩形的两条对角线长，则口+瓦=恒一瓦，故8错误；

对于C,因为|苍+牛<|五|+内卜所以两边同时平方得：|五1+2五•石+|司2<|五『+2|五|0|+|石

所以方•方<|4||石|，故cos<方，石>=■^布<1,5!0<a,b>e(0,7r]>故C错误；

对于0,若存在实数；I,使得益=海成立，则五是共线，由于|五+石|<|五|+|5|，则五花反向共线，所以4为

负数，故。正确.

故选：AD.

根据平面向量的模、线性运算的概念，平面向量的夹角与数量积等逐一判断各选项即可..

本题考查平面向量的模，线性运算和平面向量共线，平面向量的夹角与数量积等知识，属于中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：由题意号=2n—l,所以Sn=2n2-n,故8正确；

当n=l时，Qi=Si=l,

当7iN2时，Q九=Sn—^n-i=2几2—n—2(n—1)2+(九-1)=4n—3,

当71=1时，上式也成立，

所以an=4n-3,故C正确；

因为册+i—an=4>0,所以数列｛Qn｝为递增数列，故4错误；

2

an4-Sn=2n4-3n—3,

因为g+S2-(%+Si)=9,%+S3—(。2+$2)=13,

所以数列｛an+Snp5是等差数列，故。错误.

故选：BC.

根据等差数列的通项即可判断8：根据an=：:n22求出数列｛即｝的通项，即可判断C；由即+1-册

的符号即可判断4根据等差数列的定义即可判断D.

本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：依题意，/(0)=2sin<p=1,即sin。=3，而则0=3，

又最小正周期为看得3=4,则f(x)=2stn(4x+J

对于4,由xe管,冷，得4x+音偌，等,则/(X)在弓片)上不单调，力不正确；

对于B,/⑶的图象向右平移汐单位长度后得函数/(x)=2s讥[4(x-*=2sin(4x-合=-2cos4x,

是偶函数，8正确；

对于C,当0<x<7T时，7<4%+7<+^,贝Ij4x+[=兀,2兀,3兀,4兀，

OO4TTOO

则无=含当，学，等，可得f(x)在(0㈤上有且仅有4个零点，c正确；

对于O,当(招时，磊<4x+K9，当4x+髀手f(x)取得最小值一2,无最大值，Q正确.

故选：BCD.

根据给定条件，求出3与仍再逐项分析求解，判断作答.

本题考查了三角函数的图象变换，涉及到正弦函数的图像性质，考查了学生的运算转化能力，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：如图所示：取441、BC、CWi中点分别为“、G、J,

连接EH、HR、RG、GF、FJ、JE,

易知HR〃F/,RG//E],GF//HE,HR=FJ,RG=E],GF=HE,

即六边形HRGF/E为正六边形，平面HRGF/E即过R,E,尸三点的平面a,故A错误；

由正方体的棱长为2,可得截面HRGF/E的面积为S=6x?x(。尸=3，耳，故。正确:

如上右图所示，连接4C、BD、BC]、BC

由正方体的性质可得AC_L80,BBrL^ABCD,ACcgXBCD,所以BB114C,

又BDnBBi=B,BD、BB】u面所以4cl面Bg,

D&u面BOB]，所以AClDBi，

而AC〃RG,所以RG1DB1，同理可得FGJ.DB1，

FGORG=G,FG、RGca,故。BiJLa,即8正确；

分别连接D，B]与截面HRGF/E的六个顶点可得两个正六棱锥，设点。到平面a的距离为九，

易知2%-HRGF/E=0正方体—8匕-HRD=8—6x-x2x-xl2=6=2x-xhxS六边形HRGFJE=h=y/~^<

故C正确.

故选：BCD.

根据平面的性质先做出截面可判定AD,再利用线线垂直可判定线面垂直得B项正误，由正六棱锥的体积

判定C.

本题考查了平面的性质，考查线线，线面垂直以及点到平面的距离，几何体的体积，是中档题.

13.【答案】70

【解析】解：（x-1）8的展开式的通项公式为7；+1=Cg”-r（_i）r,

4

当8-7=4时，r=4,T5=C^x,所以曰-的展开式的常数项为4=70.

X4

故答案：70.

利用通项公式求解，鱼纲的展开式中常数项由（％-的展开式的4次方项确定，求解即可.

本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

14.【答案】0）（答案不唯一，横坐标符合工=2卜兀±其卜62）即可）

cosxcos2*—sin?*cos*+sin]

【解析】解：f（x）=

l-sinx-（Sin尹cos犷-cos尹si畤

1■1+।t卜an^xt4anx^+.t.ann

7=tan6+》,

1—tan?1—tanJtan?

224

令5+3=/qn■或5+.=3+心兀（的，卜2eZ）,

L4,Z4-Z

求得x=-]+2自兀或x=]+2k2Mk”卜26z）,

令心=0,则x=5,所以函数f（x）的一个对称中心是&0）.

故答案为：（会0）（答案不唯一，横坐标符合X=2/OT士?kez）即可）.

由题意，利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，首先化简函数得f（x）=tanG+9,再根

据正切函数的对称中心公式求解.

本题主要考查诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，以及正切函数的图象的对称性，属于中

档题.

15.【答案】1

【解析】解：由题意可作图如下:

设4（xi，yi），B（o,},c（x2，y2），其中<o<%2,

则直线AB与直线BC的斜率分别为生I纥1,

修丫2

由481BC,即万•玩=0-

即（―/，；一丫1）'（％2,y2-；）=°，可得一+©一%）（先一；）=°，

X

而旷1=好+；,y2=2+I,代入可得：一尤1%2+（-好）•妗=0，券1%2M0,可得刀1=一占

由4B=BC,则优+（7]_；）2=以+（72-；）2,①

将%=就+%%==+"代入①,

可得好+%i=XfX2»②

1

将X1=—《代入②，可得（熄一1）（避+1）=0,解得小=1,

x2

则4（-l,3,8（0,；）,C（l,}，可得14cl=2,B到直线AC的距离d=*-；=1,

11

S^ABC=^\AC\-d=^x2xl=l.

故答案为：1.

根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.

本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题.

16.【答案】殍

A

【解析】解：由题意可得|PQ|=\PR\,^CPQ=^CPR=-,CQLPQ.CRLPR,

圆。的圆心0（0,0）,半径勺=/至，

圆C的圆心C（4,4）,半径上=y/~2,

则|PQ|+\PR\=2\PQ\=2,|PC『一|CQ『=2j|PC『一2,

当|PQ|+|PR|取最小值时，则|PC|取得最小值，

\PC\min—\OC\—T]=V16+16—yT~2—3V-2>

此时sing=sinZ-CPQ=

又号为锐角，所以cos《=浮，

zz3

所以sin。=2x|x

即当|PQ|+|PR|取最小值时，sind=~

9

故答案为：殍.

A

易得|PQ|=\PR\,/.CPQ="PR=1,CQ1PQ,CR1PR,从而可得|PQ|+\PR\=2\PQ\

27\PC\2-\CQ\2,求出|PC|取得最小值时，sin。的值即可.

本题考查圆的切线的性质，考查求长度和的最小值，考查数形结合思想，属中档题.

17.【答案】解：(1)设等比数列｛5｝的公比为q，依题意，册>0,则q>0.

ar+a2=6,S4=30.则%+a2=6,a3+a4=24,

得才=需=普=4,所以q=2,

所以的+a送=6,所以a1=2,所以厮=？*1.

n

(2)由(1)得bn=(n-l)-an=(n-l)-2,

得7；=1x22+2X23+-+(n-1)-2n,

得27；=1x23+2x24+-+(n-1)-2n+1,

两式相减得一4=22+23+24+-+2n-(n-l)-2n+1

=-2+2(二“)-(n-1)-2n+1=-(n-2)-2n+1-4，

所以〃=(n-2)-2n+1+4.

由7；<196,得(ri-2)-2n+1+4<196=(n-2)•2n+1<192,

当n=5时，左边=3x26=192,

当n>5时，(n-2)2n+1>192,

所以n的最大值为5.

【解析】(1)求首项、公比，从而求得即；

(2)利用错位相减求和法求得7；,解不等式7；<196.

本题考查求数列的通项公式，求数列的前n项和，属于中档题.

18.【答案】解:(1)易知10x(0.004+0.008+0.012)=0.24<0.5,

10x(0.004+0.008+0.012+0.028)=0.52>0.5,

所以中位数在区间［70,80)内，

不妨设中位数为X,

此时10X(0.004+0.008+0.012)+0.028(%-70)=0.5,

解得x«79.3,

则估计这100名居民成绩的中位数为79.3；

（2）易知成绩在［40,50）有12x0.0042人,

0.004+0.008+0.012

成绩在［50,60)有12x0.008=4人，

0.004+0.008+0.012

成绩在［60,70)有12X0.012=6人，

0.004+0.008+0.012

则f的所有可能取值为0,1，2,3,

此时P(f=0)=导=.，p(f=l)=字=||

Li2C12丁丁

P(f=2)=•=P(f=1)=早=

55

,cl2C1255

所以f的分布列列为:

lx|f+2x^+3x^=l.

【解析】（1）由题意，根据频率分布直方图中所给信息以及中位数的求法进行求解即可；

（2）先得到f的所有可能取值，求出相对应概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力.

19.1答案】解：（1）因为c=2cLsme—2ccosA,由正弦定理“=°=。

、/ci-nA

得sinC=2sinAsinC—2sinCcosA9

因为CE・••sinCH0,所以sinA—cosA=

113

所以(s讥4—cosA)2=得1—2s讥4cos4=-=>2sinAcosA=-»

2

即s讥24=7«

4

3

(2)由(1)知s出4—cosA=^,2sinAcosA4-

所以力E(0,-),可得si几4>0,cosA>0,与siMa+cos27l=1联立,

-1+C

^(/sinA-cosA=-1,解(得-A产="，

tsin2i4+cos2/4=1cosA=-----

14

。旦01i.»1l+vr~7,

得SAABC=qbcsinA=-x—^—bc^

由余弦定理得，COSA=庐+c2a2=仪匚,所以/+©2=4+c匚加，

得/+c2=4+0匚加>2bc，当且仅当b=c时等号成立，

即加式£^=氛5+/7),

得S-BC<|xx5(5+O=笞2,得4ABC面积最大值为粤1

【解析】(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sbM-cos/l=热平方进而

求得sin2A；

(2)利用余弦定理表示出炉+02,根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.

本题考查正余弦定理，基本不等式，属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：因为DGJ■平面ABC。，BCu平面ABCD,

所以CG1BC,因为AD〃BC,AD1CD,所以BC1.CD,

由G£>nCD=D,GD,CDu平面CDGF,得BC1平面CDGF,

由BCu平面BCE,得平面BCE1平面CDGF.

(2)因为。G1平面ABC。，AD,COu平面ABC。，

所以CGIAD,DG1CD,又因为AD1CD,

所以DG,AD,CD两两互相垂直，

故以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DG所在直线为z轴，建系如图，

设DG=h,由题可知：D(0,0,0),4(2,0,0),8(1,2,0),

C(0,2,0),E(l,0,/i),F(0,l,/i),G(0,0,/i).

易知平面力BCD的一个法向量为前=(0,0"),

设平面EBC的法向量为日=(x,y,z),又方=(1,0,0),BF=(0,—2,九)，

%=0

故得

S：o'即—2y+z九=O'

取有=(0,l,»|cos伍，函|=命=c

2,解得h=2,

1117

X

---X1X1--

所以三棱台EFG-4C。的体积为u=1X2X(1X2X2+222J3

【解析】(1)利用线面垂直的性质和平行的性质得BC1CD,再利用面面垂直的判定即可；

(2)建立合适的空间直角坐标系，设。G=h,求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程,

解出九，再利用棱台体积公式即可得到答案.

本题考查面面垂直的证明，三棱台的体积的求解，属中档题.

21.【答案】解：(1)已知/(%)=Q•2%-x"2,函数定义域为R,

可得/'(%)=aln2-2X—ln2=/n2(a-2X—1),

当aWO时，f(x)<0,

所以函数f(x)在R上单调递减，

当Q>0时，

当％<log2；时，<0；x>log2，时，>0,

所以函数/(%)在(-8/0比，)上单调递减，在(/。比5,+8)上单调递增，

综上，当aWO时，函数/(%)在R上单调递减；

当a>0时，函数/Q)在(一8/。92》上单调递减，在(历92：，+8)上单调递增；

(2)证明：要证不等式/(x)<2"a+:有实数解，

需证<2lna+:,

由(1)得只有当a>0时符合题意，

lo92

此时/(x)min=f(log2；)=a,2«-ln2xlog2；=1+Ina，

此时要证1+Ina<2Ina+：,

即证Ina+，INO,

不妨设h(a)=Ina+，-l(a>0),

可得"(a)=!-a=整，

当0<a<l时，/i'(a)<0；当a>l时，h'(a)>0,

所以函数h(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

则/i(a)>/i(l)=0,

W/na+i-l>0,

故当a>0时，不等式f(x)<2，na+(有实数解.

【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论当aS