集合的概念与表示（六大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）（解析版）

专题01集合的概念与表示

【题型归纳目录】

题型一：集合的含义

题型二：元素与集合关系的判断

题型三：集合的确定性、互异性、无序性

题型四：集合的表示：描述法

题型五：集合的表示：列举法

题型六：集合的综合问题

【知识点梳理】

知识点一：集合的概念

(1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母

A,B,C,表不.集合的元素通常用小写字母a.b,c,.表示.

知识点二：集合与元素的关系

如果a是集合A的元素，记作aeA,读作为属于A”；如果“不是集合4的元素，记作。任A,读作％

不属于A”.

知识点三：集合中元素的特点

(1)确定性：集合的元素必须是确定的.

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的.

(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.

知识点四：常用数集及其记法

所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N;

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*；

所有整数组成的集合称为整数集，记作Z：

所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q：

所有实数组成的集合称为实数集，记作R

知识点五：集合的表示

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，放在大括号内，依此表示集合

的方法称为列举法，如{1,2,3},{x+y,x-y}等.

使用说明

①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.

②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照

规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.

③无限集有时也可用列举法表示.

（2）描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x）,而不属于集合A的元素都不

具有这个性质，则性质p（x）为集合A的一个特征性质，此时集合A可以表示为卜加（同｝,这种表示集合

的方法称为特征性质描述法，简称描述法.

使用说明

①有些情况下，描述法中竖线及其左边元素的形式均可省略，如｛x|x是三角形｝,也可表示为｛三角

形｝.

②集合｛x|p（x）｝中所有在另一集合/中的元素组成的集合，可以表示为｛xd/|p（x）｝.

知识点六：集合的分类

一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素

的集合称为空集，记作。.例如，集合｛x[f+x+i=o,xeR｝就是空集.

【典例例题】

题型一：集合的含义

例1.（2023•河南濮阳•高一校考阶段练习）下列叙述能够组成集合的是（）

A.我校所有体质好的同学B.我校所有800米达标的女生

C.全国所有优秀的运动员D.全国所有环境优美的城市

【答案】B

【解析】A中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能组成集合：

B中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能组成集合；

C中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能组成集合；

D中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能组成集合，

故选：B.

例2.（2023.吉林松原.高一校考阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（）

A.跑步速度快的人B.乾安七中2021级高一年级全体学生

C.小于5的实数D.直线y=2;v+l上所有的点

【答案】A

【解析】由于集合中的元素满足确定性，BCD选项中的对象均满足确定性，而A选项中的对象不满足确定

性，

故A选项中的对象不能构成集合.

故选：A

例3.（2023・安徽六安•高一校考期中）下列四组对象能构成集合的是（）

A.高一年级跑步很快的同学B.晓天中学足球队的同学

C.晓天镇的大河D.著名的数学家

【答案】B

【解析】集合元素具有确定性，

高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.

“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，

所以“晓天中学足球队的同学''能够构成集合.

故选：B

变式1.（2023・高一单元测试）下列语言叙述中，能表示集合的是（）

A.数轴上离原点距离很近的所有点

B.德育中学的全体高一学生

C.某高一年级全体视力差的学生

D.与一ABC大小相仿的所有三角形

【答案】B

【解析】对A,数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误；

对B,德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确；

对C,某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误；

对D,与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误

故选：B

题型二：元素与集合关系的判断

例4.（2023•高一课时练习）设集合A={y|y=d+1},则下列元素属于A的是（）

A.（0,1）B.-1C.V2D.0

【答案】C

【解析】=/+故4={田》21},所以ABD错误，C正确，

故选：C

例5.（2023♦贵州黔东南•凯里一中校考三模）已知集合5=}|丫=/-1},7={。户）卜+旷=0},下列关系正确

的是（）

A.-2eSB.（2,—2）任7C.-IgSD.（-1,1）eT

【答案】D

【解析】因为S={y|y=x2-l}={y|yZ_1},

所以A、C错误，

因为2+（-2）=0,所以（2,-2）e7,所以B错误，

又—1+1=0,所以（―所以D正确，

故选:D.

例6.(2023•四川绵阳•统考模拟预测)已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},8={xe用-xeA},则8=()

A.{1.2}B.{-2,-1}C.{0,3}D.{3}

【答案】D

【解析】•••A={-2,-1,0,123},即集合1的可能元素-2,-1,0,1,2,3,则有：

由OeA,则-O=OwA,可得0£3；

由TeA，且leA，可得-1/3,且1比3；

由—2wA,且2e/,可得—2eB,且2任3；

由3e4,且一3史A,可得3e8；

综上所述：3={3}.

故选：D.

变式2.(2023•河南洛阳•高一校考阶段练习)下列说法正确的有()

3

01GN；(2)V2eN,;@-eQ;④2+夜任R;⑤兀eQ

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】1是自然数，故kN,故①正确：

也不是正整数，故故②错误；

|3■是有理数，故3故③正确；

2+正是实数，故2+夜eR，故④错误；

兀是无理数，故兀任Q,故⑤错误.

故说法正确的有2个.

故选:B.

题型三：集合的确定性、互异性、无序性

例7.(2023・高一课时练习)若集合M={0,l,2},N={(x,y)|x,ywM},则N中元素的个数为()

A.3B.6C.9D.10

【答案】C

【解析】由用={0,1,2},"={。,丫)除。€河}可知集合

N={(0,0),(0,1),(0,2%(1,0),("),(10,(2,0),(2,1),(2,2)},故共有9个元素,

故选：C

例8.(2023•高一课时练习)以方程d+x—2=0和2/+*-3=0的解为元素的集合含有的元素个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

3

【解析】解方程V+x—2=0,得为=-2,%=1,解方程2/+x-3=0,得毛=-］，匕=1，

所以以两个方程的解为元素的集合含有的元素个数是3,C正确.

故选：C

例9.（2023•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知集合人={12,/+4”,2},

-3wA,则。=（）

A.-1B.-3或-1C.3D.-3

【答案】D

【解析】由题意，a2+4a=-3①或。-2=-3②，

由①得，a=—1,或a=-3,由②a=—1:

当”=一1时，“°+4〃=-3,a-2=-3,不符合集合描述规则，舍去，

a=—3；

故选：D.

变式3.（2023•江苏南京•高一校考期中）已知集合4={4+1,/+4〃-9,2（）21},若则实数。的值为（）.

A.-5B.1C.5或-1D.—5或1

【答案】B

【解析】A={a+l,a2+4”一9,2021},且-4eA,.,.-4=a+l或T=〃2+4a-9

（1）、当Y=«2+4a-9即。=-5或4=1,

2

①、当。=一5时，a+l=-4,a+4a-9=-4,此时A={-4,Y,2021},不满足集合元素的互异性，故舍去;

②、当a=l时，a+l=2,a2+4a-9=-4>此时A={2,T,2021},符合题意；

⑵、当a+l=—4即。=一5时，此时A={T,T,2021},不满足集合元素的互异性，故舍去；

综上所述：实数。的值为1.

故选：B

变式4.（2023•全国•高一专题练习）已知aeR,beR,若集合上,，1}=疗,。+40},贝。初+卢2°的（）

A.-2B.1C.-1D.2

【答案】C

【解析】易知"0，二,卜,，,1}={。2,〃+40},

=0,即6=0,

a

...{〃,0,1}={々2,4,0}.

.二片二1,解得。=一1或。=1.

当〃=1时，集合为{1,0,1},不符合集合中元素的互异性，故舍去：

当4=—1时，集合为{-1,0,1}}.

。1,b=0.

产+产=(-1严+严=-1.

故选：C

变式5.(2023•全国•高一专题练习)设集合{。也而}={1,2,4},则a+b=()

A.2B.3C.5D.6

【答案】C

【解析】①当a=l时，{1也6}={1,2,4},

b=2仿=4

则扬=4或扬=2,

b=2b=4

当，正一4时，该方程组无解，当.扬2时，解得匕=4

②当。=1时，伍,1,&}={1,2,4}

a=2<7=4

当时’该方程组无解,当{L时，解得61=4

y/a=2

③当J^=l,即次?=1时，显然a#0,则6=1,此时卜,，,1}={1,2,4},

a-2a-4

当，时，该方程组无解,当10时，该方程组无解.

—=4-=2

.a,a

综上所述，”=1,6=4或a=4,b=l,故a+b=5

故选：C

题型四：集合的表示：描述法

例10.(2023•上海浦东新•高一校考阶段练习)用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合

【答案】{(x,y)k<0且y>0}

【解析】平面直角坐标系中第二象限的所有点的横坐标都，小于0,纵坐标都大于0,

・•・平面直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合为{(x,y)|x<0且y>0},

故答案为：{(x,y)|x<0且y>o}.

例11.(2023・上海长宁•高一上海市延安中学校考期中)所有正奇数组成的集合用描述当表示为

【答案】｛小=2%+l,%eN｝

【解析】因为正奇数除以2,余数为1,

所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为｛x|x=2左+l,ZeN｝,

故答案为：｛x|x=2k+l,ZeN｝

例12.(2023•河南周口•高一周口恒大中学校考阶段练习)用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整数组成的集合；

⑵不等式2x-3>5的解集；

(3)方程f+x+i=o的所有实数解组成的集合；

⑷抛物线y=-f+3x-6上所有点组成的集合；

(5)集合｛1,3,5,7,9｝.

【解析】(1)所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：｛x|x=3k,ZeZ｝

(2)不等式2x-3>5的解集，用描述法可表示为：｛Hx〉4,xeR｝.

(3)方程x2+x+i=o的所有实数解组成的集合，

用描述法可表示为：｛x|x2+x+l=0,xeR｝.

(4)抛物线y=-x2+3x-6上所有点组成的集合，

用描述法可表示为：｛(乂力丫=-/+3》-6｝.

(5)集合｛1,3,5,7,9｝,用描述法可表示为：｛x|x=2〃-1,14〃45且〃€1<｝.

变式6.(2023・高一课时练习)用描述法表示下列集合：

(1)偶数组成的集合；

(2)正奇数组成的集合；

(3)不等式一NX)的解集；

(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；

⑸集合｛《，*，；｝.

【解析】(1)由偶数可以表示成整数的两倍，

故偶数组成的集合可表示为｛x|x=2〃,〃WZ｝或｛x|x为偶数｝

(2)由奇数可以表示成整数的两倍加1,

故正奇数组成的集合可表示为｛x|x=2"+l,"eN｝或｛曲为正奇数｝

(3)不等式一/却的解集可表示为国一/羽｝

(4)由第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负

故平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合可表示为：｛(Xy)|x>0,y<0｝

（5）集合可用描述法表示为［U•且〃45}

变式7.（2023•高一课时练习）用描述法表示下列集合：

（1）不等式3x+2>5的解集；

（2）平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；

（3）二次函数y=V-2x+3图象上的点组成的集合.

【解析】（1）由不等式3x+2>5的解集，

则{x|3x+2>5}；

（2）由平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合，

则{（x,y）［x<o,y>。}；

（3）由二次函数y=/-2x+3图象上的点组成的集合，

则{（x，y）ly=Y-2x+3}.

题型五：集合的表示：列举法

例13.（2023•全国•高三专题练习）用列举法写出集合A={y|y=/-2,X€Z,|X区3}=

【答案】{-2,-1,2,7}

【解析】由1》区3且xeZ,得x=-3或x=-2或x=-l或x=0或x=l或x=2或x=3,

当x=-3时，y=7；当x=-2时，y=2；当x=-l时，y=-1；

当x=0时，y=-2-当x=l时，y=-l,当x=2时，y=2,当x=3时，y=7.

故A={-2,-1,2,7}.

故答案为：{-2,-1,2,7）

例14.（2023•江西赣州•高一上犹中学校考周测）用列举法表示集合〃={4-xeN|xeN}=

【答案】{0,123,4}

【解析】由题意可得xwN且04x44,

当x=0时，4-x=4,符合题意；

当x=l时，4-x=3,符合题意；

当x=2时，4-x=2,符合题意；

当x=3时，4一x=l,符合题意；

当x=4时，4—x=0,符合题意，

综上，M={4-xeN|xeN}={0,l,2,3,4).

故答案为：{0,123,4}.

例15.（2023•四川•高一校考阶段练习）设集合A=1xeZ|"GN},则用列举法表示集合4为

【答案】{-1,0,1,4}

【解析】要使71rN,则x+2可取1236乂xeZ,则，可取T。",

故答案为：{一1,01,4}.

xyzxyz

变式8.（2023・高一课时练习）己知"z为非零实数，代数式甲加+甲南的值所组成的集合是

则"=

【答案】{-4,0,4}

xyzxyz.

【解析】当羽y,z都为正数时,可得甲丁甲厨二%

xyzxyz

当x，y，z都为负数时，可得—+—++—

M|y|IWI秘I

xyzxyz八

当"Z两正一负时，可得甲加+甲南=o；

xyzxyz

当"Z-正两负时，可得甲旧+同+厨=°,

所以集合〃={<（）,4}.

故答案为：{T,0,4}.

x|xwZ,6£N

变式9.（2023・上海浦东新•高一上海南汇中学校考期中）用列举法表示集合M=

2-x

【答案】{<-1,0,1}

【解析】由题意得2—x=1,2,3,6,所以X=1,O,-1T,所以“={-4,-1,0,1}.

故答案为：{T,-1,0,1}.

变式10.（2023•高一课时练习）用列举法表示下列集合

（1）11以内非负偶数的集合；

⑵方程（x+。，-4）=0的所有实数根组成的集合：

（3）一次函数y=2x与y=x+l的图象的交点组成的集合.

【解析】（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以构成的集合为{024,6,8,10},

（2）（x+D（d-4）=0的根为王=-1,々=2,鼻=-2,所以所有实数根组成的集合为{-2,-1,2},

（3）联立y=x+l和y=2x,解得，二;，所以两个函数图象的交点为（1,2）,构成的集合为{（1,2）}

变式11.（2023・高一课时练习）用列举法表示下列集合:

（1）中国国旗的颜色组成的集合；

（2）单词mathematics中的字母组成的集合；

(3)自然数中不大于10的质数组成的集合;

2x+4>0,

(4)同时满足的整数组成的集合;

l+x>2x—1

⑸由詈+号CR)所确定的实数组成的集合.

【解析】(1)由题意，中国国旗的颜色有红、黄两种

故中国国旗的颜色组成的集合为｛红，黄｝

(2)集合中的元素具有互异性，除去相同的字母

单词mathematics中的字母组成的集合为｛，〃,4,/,h,e,i,c,s｝

(3)自然数中不大于10的质数有2,3,5,7

故自然数中不大于10的质数组成的集合为｛2,3,5,7｝

2x+4>0x>—2

o•»-2<x<2

l+x>2x-lx<2

2x+4>0,

故同时满足的整数有一1,0,1,2

1+x>2x-1

对应的集合为：｛一1,0,1,2｝

(5)由题意，a*。,，*。

当。>0,6>0时，⑷+也1=1+1=2；

ah

当。>0,6<0时，回+回=一=0；

ab

当。<()力>()时，回+也1=-1+1=0；

ab

当"0,。<0时，里+回=_1-1=-2

ah

故由回+坐(a*wR)所确定的实数组成的集合为｛—2,0,2｝

ab

题型六：集合的综合问题

例16.(2023•全国•高三专题练习)已知集合A的元素全为实数，且满足：若aeA,则手wA.

(1)若。=-3,求出A中其它所有元素；

(2)0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数awA,再求出A中的所有元素？

(3)根据(1)(2),你能得出什么结论.

【解析】(I)由题意，可知—3wA,

1+.1+1

1+(-3)1U-3”,

则:)、=——“=一£A,——Y=2€A,

1-(-3)231-11-2

1-

3

所以A中其他所有元素为2.

(2)假设OeA,则罟=leA,

1—0

而当时‘若不存在‘假设不成立,

所以0不是A中的元素.

1+1+-

取〃=3,则m1+3=-2",1匚+(君-2)=-§1I34,

£A,——J-=3GA,

1-1--

2

1_1_

所以当3eA时，4中的元素是3,-21

32

（3）猜想：A中没有元素-1,0,1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负

倒数.

由（2）知0,1任A,

1+（-1）

若一IGA,则丁与OeA矛盾,

1一（一”

则有T£A,即-1,0,1都不在集合4中.

1+必

若实数《64,则户■=4eA,。=~=—!-eA,

1-4l-a2।1+qax

l—q

1+^-

67,-11.1+%4+1.

^—7=--",a=-i=-

a5

4+12l-a4i4一]

4+1

结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素％,a2,%，包且4%=-1,a2a4=-l.

显然6W见，否则卬=产，即无实数解.

同理，4H4,即A中有4个元素.

所以A中没有元素T,0,1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数.

例17.（2023•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习）已知M是满足下列条件的集合:①OeM,le/；

②若无、yeM,则x-yeM；③若xe"且xHO,贝IJ」eA7.

x

(1)判断：eM是否正确，说明理由；

⑵证明：“若xeZ,则尤eM”是真命题；

(3)证明：若x,yeM,则孙eM.

【解析】(1)，€加正确，理由如下：

2

由①@可知I,0-1=-1GM,1-(-1)=2GM,

由③可知，—GM.

2

(2)由②可知，对于XZXGA/,O-X=-XGM,故只需证明对于VxwN',XEM,

由(1)中知，-leM,

由OwM,IGM,

假设正整数ZwM，则4-(-1)=欠+1£",

故对于VxwN*,都成立，

从而“若xwZ,则XEM”是真命题.

(3)若xwM,xwO且xwl,由①②知，lcM，X-1GM,

由③知，一£M,---GM,

XX-1

又由②③知，-一一,贝—X)£",

xx-1x(l-x)

又由②知，x-x(l-x)=x2eA/,

因为F=1GM，02=0eA/.

故xeAf时，X2eM.

因为x,yeM,所以de",y2eM,

所以由⑵知-xeM,-y&M,贝|J-x2eM,-y2eM,

又由x+y=x-(-y)wM,则(x+ypeM,

又因为—eM,所以—eM,从而(—)=—eA/,故；eA7,

xxxxx2

2jcy

从而2个=(工+丁)2-％2一丁2£知，__=XyE]^

例18.(2023•河南南阳•高一校考阶段练习)已知集合4=卜€可0^-3》+1=0,〃€口｝,求集合A满足下列

条件时实数«的所有可能取值组成的集合

(1)集合A中有且仅有一个元素；

(2)集合A中有两个元素；

【答案】⑴]。，皆；

（2乂*<0或

【分析】

将集合中元素的个数转化成方程以2-3x+l=0,aeR解的个数，然后利用方程ar2_3x+l=0,a€R解的情况

求解即可.

（1）集合A中有且仅有一个元素，即方程以2-3x+l=0,aeR只有一个解，

①当a=OH寸，方程为—3x+l=0,解得x=；,符合要求；

9

②当〃工0时，方程为•元二次方程，△=9-4。=0,解得。=：；

4

所以«的所有可能取值构成的集合为10,（}.

（2）集合中有两个元素，即方程以J3x+l=0,aeR为一元二次方程，。片0,且方程有两个解，所以

A=9-4。>0,解得a<j,所以。的所有可能取值构成的集合为或0<“<4卜

变式12.（2023・高一课时练习）（1）如果集合4="次=机+及”}（〃"€2）,%P%2eA,证明：不&e4.

（2）如果集合8=卜卜=机+夜〃},整数加，〃互素，那么是否存在x,使得x和:都属于B?若存在，请写

出一个；若不存在，请说明理由.

【解析】解：（1）证明：因为外,超64,

所以可设玉=4+后々，x2^a2+y12b2,其中4，生，仇，b【wZ,

则xtx2=（q+夜4）（4+夜4）=（4%+2a打）+0（4也+“24）.

由％,a2,b{,b2eZ9可知。由十？仿打wZ,axb2+a2b}GZ,

因此x/2wA.

（2）设xeB,则“="+血〃（整数"?，〃互素）,

所以Lm

2

Xm+y/2nnr-2n

若上人则看与心是互素的整数.

又历与〃互素，所以川-2/=±1,

所以当机，〃互素，且「-2〃2=±1时，xeB且一€8.

x

如取机=3,〃=2,得x=3+2&，—=3-2>/2.

x

综上’存在X,使得'与1都属于集合8,如x=3+20.（注：”的取值不唯一.）

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•高一课时练习）己知关于x的方程我+,〃2一3=0的解集只有一个元素，则胆的值为（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

【答案】C

【解析】因为关于x的方程d-〃氏+,/一3=0的解集只有一个元素，

所以△=M-4（疗一3）=0,解得加=±2.

故选：C

2.（2023•福建宁德•高一统考期末）下列集合与区间（1,2）表示的集合相等的是（）

A.{（1,2）}B.{X|X2-3X+2<0）

C.|x|x2-3x+2=0|D.{（x,y）|x=l,y=2}

【答案】B

【解析】区间（1,2）表示的集合为卜|1<%<2},

A.集合{（1,2）}发示点集，只有•个元素，故A错误；

B.|x|x2-3x+2<0|={x|l<x<2},故B正确：

C.k，-3x+2=0}={l,2},表示数集，其中只有2个元素，故C错误；

D.{（x,y）|x=l,y=2}={（l,2）},故D错误.

故选：B

3.（2023•河南濮阳•高一校考阶段练习）已知xe{l,2,d-x},则实数x为（）

A.0B.1C.0或1D.0或1或2

【答案】C

【解析】解:由题知xe{l,2,x2—x}.

当x=l时，集合可化为{1,2,0},符合题意；

当x=2时，集合可化为{1,2,2},

不符合元素的互异性，故舍去；

当x=*2—X时，解得x=0或X=2（舍），

若x=0,集合可化为{1,2,0},符合题意，

综上：实数》为。或1.

故选:C

4.（2023•河南郑州•高一校考阶段练习）已知集合A={xk=2〃,〃eN},8={x|x=2〃+1,〃wN},

C={x|x=4〃+l,〃eN},若aeA,beB,则（）

A.a+b&AB.a+b&BC.a+beCD.以上都不对

【答案】B

【解析】由题知，A={x|x=2〃,“eN}是非负偶数集，

8={x|x=2〃+l,〃wN}是非负奇数集，

C={xk=4〃+l,"eN}是由4的倍数加1构成的非负集合；

又，aeA,bqB,

a+b是奇数；

故a+/?eA,a+beB,。+力与C的关系不确定.

故选：B.

5.（2023•陕西安康•高一校考阶段练习）设P,。是两个非空集合，定义外。={（〃,到awRAeQ},若

P={3,4,5},Q={4,5,6,7},则PxQ中元素的个数是（）

A.3B.4C.12D.16

【答案】C

【解析】因为定义PxQ={（a,b）keP,0eQ},且尸={3,4,5},Q={4,5,6,7},

所以外。={（3,4）,（3,5）,（3,6）,（3,71（4,4）,（4,5）,（4,6）,（4,7）,（5,41（5,5卜（5,6）,（5,7）},

PxQ中兀素的个数是12,

故选：C.

6.（2023・陕西榆林•高一陕西省神木中学校考阶段练习）下列所给关系中，正确关系的个数是（）

①TteZ；②GeQ；③2eN；④|-4|eR.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】对于①，兀是无理数，所以兀走Z,故①错误：

对于②，百是无理数，所以退任Q,故②错误；

对于③，2eN,故③正确；

对于④，|-4|=4eR,故④错误.

故选：A.

7.（2023・上海徐汇・高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0w4,leA；（2）若x,ywA,

则x-ywA；（3）若xeA且XMO,则-eA.则称A为“好集”.已知命题：①集合{1,0,-1}是好集；②对

任意一个''好集'X,若x,y《A,则x+yeA.以下判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【答案】D

【解析】对于①，因为lw{LO,—l},—lw{l,O,T},而=任

所以集合{1,0,7}不是好集，故①错误；

对于②，因为集合A为“好集”，

所以0eA,0-y=-ywA,

所以x-（-y）=x+yeA,故②正确，

所以①为假命题，②为真命题.

故选：D.

8.（2023•广西钦州•高一统考期末）当一个非空数集G满足：如果“，beG,则a+6,a-b,abeG,S.b^O

时，时，我们称G就是一个数域•以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素;②若数域G有非零

b

元素，则2019eG；③集合P={x|x=2hZeZ}是一个数域.④有理数集是一个数域•其中正确的选项是（）

A.①②④B.②③④C.①④D.①②

【答案】A

【解析】对于①，当a=6且a,匕eG时，a-bGG

所以0是任何数域的元素，①正确；

对于②，当4=3/（）时，且时，由数域定义知f=lwG,

h

所以l+l=2eG,l+2=3eG...l+2018=2019eG,故选项②正确；

对于③，当。=22=4时，eG,故选项③错误；

b2

对于④，如果。，blQ,则则a+方，a-b,abeQ,且bwO时，feQ,所以有理数集是一个数域.

b

故选：A

二、多选题

9.（2023・湖南长沙•高一长沙市明德中学校考期末）已知集合人={0,加,加2—3«?+2},且2€小则实数力的

取值不可以为（）

A.2B.3C.0D.-2

【答案】ACD

【解析】因为集合4={0,，〃,，〃2-3〃7+2},且2e4,则根=2或疗一3加+2=2,解得机e{0,2,3}.

当，〃=0时，集合A中的元素不满足互异性；

当机=2时，＞一3m+2=0，集合A中的元素不满足互异性：

当帆=3时，A={0,3,2},合乎题意.

综上所述，m=3.

故选：ACD.

10.（2023•浙江金华・高一校考阶段练习）下列说法中，正确的是（）

A.血的近似值的全体构成集合B.自然数集N中最小的元素是0

C.在数集Z中，若aeZ,则-aeZD.一个集合中可以有两个相同的元素

【答案】BC

【解析】对于A,正的近似值的全体，兀素不具有确定性，不能构成一个集合，故A错误；

对于B,由自然数的定义可得B正确；

对于C,若aeZ,则—awZ,故C正确；

对于D,由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D错误.

故选:BC

11.（2023•甘肃庆阳•高一校考期中）已知集合4=卜C?4|-64》46},则有（）

A.一B.0GA

C.\[3GAD.2GJ

【答案】AB

【解析】A=|xeN|-\/3<x<V3|={0,1},所以一1eA,OsA,生A，2eA.

故选：AB.

12.（2023•江苏常州•高一江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）在整数集Z中，被6除所得余数为女的所有整

数组成一个“类集”，其中祀{0,1,2,3,4,5},记为伙],即因={m％=6〃+匕〃60,以下判断不正确的是（）

A.2022e[2]

B.-13e[l]

C.若a+be[O],则整数。力一定不属于同一类集

D.若a-6e[0],则整数“力一定属于同一类集

【答案】ABC

【解析】对于A,2022=6x337+0,••.2022e[0],故A不正确；

对于B,—13=6x（—3）+5,.---13e[5],故B不正确；

对于C,若“+女[0],则整数“力可能属于同一类集，比如a=3e[3],b=9e[3],则a+b=12e⑼，故C

不正确；

对于D,若a-6e[0],则a-匕被6除所得余数为0,则整数被6除所得余数相同，故整数。花属于同一

类集，故D正确，

故选：ABC.

三、填空题

13.(2023・高一课时练习)集合M={(x,y)|孙>0,x+y<0,xeR,yeR}表示的是.

【答案】第三象限内点的集合

XV>0fx<0.

【解析】由八，解得八，则集合M={(x,y)lx<0,y<0,xwR,y£R}表示的是第三象限内点的集

x+y<0[y<0

合.

故答案为：第三象限内点的集合

14.(2023・高一课时练习)数集{IM,，，-.}中的元素。不能取的值是.

【答案】0,I,2,生叵

2

aw1

【解析】由集合中的元素满足互异性可知。2,解•得。工1且上好且。工2且

22

a-ci手a

故答案为：0,1,2,生5

2

15.(2023•福建泉州•高一福建省南安市侨光中学校联考阶段练习)集合A={a-2,2^+5a,12},且-3eA,

则°=.

3

【答案】g

【解析】因为一3eA,A={a-2,2a2+5a,l2],

所以当a-2=-3时，解得。=-1,此时A={-3,-3,12},集合A不满足互异性，舍去；

当2/+5.=-3时，解得。=-|或a=T(舍去)，此时4=卜/-3,12},满足题意；

3

综上：〃=­/•

故答案为：一：3.

2

16.(2023•辽宁沈阳•高一沈阳市外国语学校校考阶段练习)集合{x|(a-2)Y+3x-l=0,xeR}为单元素集合,

贝".

【答案】2或廿

【解析】因为集合{玳。-2)/+3》-1=0/€身为单元素集合，

所以(a—2)/+3x—1=0有且只有一个解，

当a-2=0,即。=2时，方程(a—2)d+3x—l=0可化为3x-l=0,解得x=；,满足题意;

当a-2w0,即时，A=32-4（a-2）x（-l）=0,解得〃=—：,

经检验：当〃=-；，方程伍-2*+3x-1=0的解为x=1,满足题意；

综上：a=2或〃=-：.