2023-2024学年江西高一年级下册期中考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江西高一下册期中考试数学试题

一、单选题

1.cos210°=（）

A.--B.；C.-3D.正

2222

【正确答案】C

【分析】根据诱导公式可求函数值.

【详解】cos210°=cos（180°+30°）=-cos30°=-y,

故选：C.

sinct

2.若2--<0,且cosa-tana<0,则角a是

tana

A.第一象限B.第二象限C.第四象限D.第三象限

【正确答案】D

【详解】分析：根据三角函数符号规律确定角a所在象限.

详解：因为丝里<0,所以角a在第二、三象限，

tana

因为cose-tana<0,所以角a在第四、三象限，

因此角a在第三象限，

选D.

点睛：三角函数符号规律：正弦函数在第一、二象限为正，在第三、四象限为负；余弦函数

在第一、四象限为正，在第二、三象限为负;正切函数在第一、三象限为正，在第二、四象

限为负.

3.设a=lg2,ZJ=COS2,c=202,则（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.h<a<cD.a<h<c

【正确答案】C

【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出

结论.

【详解】根据对数函数），=电工在定义域内为单调递增可知o=igi<】g2<igio=i,即

«€（0,1）;

IT

由三角函数y=cosX单调性可知Z?=cos2<cos-=0；

利用指数函数y=2、为单调递增可得C=20-2>2°=1；

所以

故选：C

4.下列函数中最小值为4的是（）

4

A.y=x+—B.y—G

x

D.y=tanXH-----

tanx

【正确答案】B

【分析】A、D讨论工、tanx为负数即可判断；B、C应用基本不等式求最值，结合根式、

正弦函数性质判断等号是否能成立.

4

【详解】A：当x为负数时丫=工+—<0,不满足；

x

厂4"2^^=4,

B：由丁=〃+下仅当x=4时等号成立，满足;

\JX

C：由y=binH+i-Jz2』sinM-i"上=4,仅当|sinx|=2时等号成立,

|sinx\V|sinx\

显然等号无法成立，故y=kinx|+岛>4,不满足；

4

D：当tanx为负值时丁=1@门+----<0,不满足.

tanx

故选：B

5.已知函数/（x）=g+1cosx,则其图象可能是（）

【正确答案】A

【分析】计算函数值”兀）后可得.

【详解】由条件知/（兀）=[!）+gcOS7t=

故选：A.

6.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.安排甲、乙、丙、

丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展

工作，则不同的安排方案共有（）

A.36种B.B种C.24种D.30种

【正确答案】D

【分析】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，后分两种方法安排丙、丁.

第一种安排丙、丁到第三个舱中；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下

一人到甲乙二人所在的舱中.

【详解】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，有A；=6种安排方法.

后分两种方法安排丙、丁，第一种安排丙、丁到第三个舱中，有1种方法；第二种先安排丙、

丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中，有2x2=4种方法.则不

同的安排方案共有6x（1+4）=30种.

故选：D

7.如图是古希腊数学家波克拉底研究的儿何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角

三角形ABC的斜边48、直角边8C、AC,N为AC的中点，点。在以AC为直径的半圆上,

3

已知以直角边AC,8c为直径的两个半圆的面积之比为3,sinND48=j,贝iJcosNDVC"的

值为（）

D

246+702473-7„773+24卜7G-24

AA.------D.-------C.------LL-------

50505050

【正确答案】A

【分析】根据面积比得到NB4c=?,确定cosND48=3,cosZDAN=^-+—,再根据

65510

cosNDNC=cos2ZDAN计算得到答案.

【详解】两个半圆的面积之比为3,则半径之比为G，即tanNBAC=3，

3

ZBACe(0,3,故/BACq,

sinZDAB=|,ZDABe^O.^,故cosNDAB=Jl-sin?NZMB=，,

cosZDAN=cosf4DAB-->1=—cos4DAB+-sinNDAB=—+—,

IGJ22510

cosNDNC=cos2NDAN=2cos2ZDAN-1=2|—+—|-1=之,用」,

510J50

故选：A

8.一般地，设函数y=〃x）的定义域为4,区间/qA,如果对任意的士,々€/,fe（0,l）,

当看时,都有/[(1T)X|+/]>(1T)〃X[)+/&),则称y=/(x)在区间/上是“"-函数”

下列函数中是区间（0,2兀）上是“〃-函数”的是（）

A.y=sin2xB.y=cos2x

C.y=sin—D.y=cos-

272

【正确答案】C

【分析】当，=g时，如果对任意的士,々«0,2兀），当占＜当时，都有

f（土产）〉工（吗g,故函数为凸函数，进而分析各选项即可得答案.

【详解】解：由题知，当/=；时，如果对任意的X/w（0,2兀），当玉时，都有

,1Al叫/伍）,故函数为凸函数；

对于A选项，>=sin2x的最小正周期为兀，由于正弦函数在一个周期内凸函数性质，又有

凹函数性质，所以y=sin2x在（0,2兀）不具有始终为凸函数的性质，故错误；

对于B选项，、=8$2》的最小正周期为兀，由于余弦函数在一个周期内凸函数性质，又有

凹函数性质，所以y=cos2x在（0,2兀）不具有始终为凸函数的性质，故错误;

对于C选项，y=sin5的最小正周期为4兀，其函数图像在（0,2兀）始终具有为凸函数的性质,

故正确；

对于D选项，y=cos5的最小正周期为4兀，其函数图像在（0,2兀）上即具有凸函数性质，又

有凹函数性质，故错误；

故选：C

9.下列等式成立的是（）

A.1<O6+6「1-cos2a

A.sin15=-----B.--------=tana

4sin2a

•a

sin—i

C.（l+tan4°）（l+tan41°）=3D.-——^—=------

「cosa2sin«

2

【正确答案】B

【分析】由两角差的正弦公式可判断A；由二倍角的正弦和余弦公式可判断B,D；由两角

和的正切公式可判断C.

【详解】对于A,sin15°=sin(6()°-45°)=sin6()°cos450-cos6()osin45°

=在'"一'、立=在二也，故A不正确；

22224

对于B,1-cos2a=l-(l-2sin-a)=2sin2a.一故B正确；

sin2a2sinacosa2sinacosa

对于C,(1+tan4°)(l+tan4I°)=l+tan4°+tan410+tan4°tan41°

tan40+tan410

tan(4°+41o)=则

1-tan4°tan41°

tan4o4-tan41o=tan45o（l-tan4otan41o）=l-tan4°tan41o,

所以（1+13114°）（1+341。）=1+1-12114。」31141。+12114。・131141。=2,故C不正确;

.a.a.a

sin—sinsin

2_221

对于D,22T=TT^a―7a，故D不正确•

1-cos"asirra、.aa

2sin—cos—4sin-cos—一

2222

故选：B.

二、多选题

10.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音•复合音的

产生是因为发声体在全段振动，产生频率为/的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之

一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如"，3/,V等.这些

音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为

y=sinx+gsin2x+gsin3x+：sin4x+.则函数y=sinx+；sin2x+；sin3x的周期不可能

为（）

C.|兀c兀

A.兀B.2兀D.-

2

【正确答案】ACD

【分析】函数的周期性可由/住+7）=/（工），结合选项和诱导公式一一验证即可求解.

【详解】由y=fM=sinx+sin2x4-sin3x,

对A：/（x+7u）=sin（x4-7i）+^sin[2（x4-7i）]+^sin[3（x+7c）]^/（x）,故A不可能.

对B：

/（1+2兀）=sin（x+2冗）+gsin[2（x+27r）]+；sin[3（x+27t）]=sinx+gsin2x+gsin3x=/（x）

，故B可能;

对C：/卜+|兀=sinx+<+1tin22Lisin3*22兀

wf（x）,故C不可能;

32333

=sin714sin2”71+'n3”71

对D：工〃力，故D不可能;

22232

故选：ACD.

11.下图是函数/（x）=Asin（0x+e）（其中A>0,少>0,0<|。|<乃）的部分图象，下列结论正

确的是（）

A.函数y=/（x-^|）的图象关于y轴对称

B.函数/（X）的图象关于点卜卷,0）对称

C.若/（玉）/天）=7,则|%+引的最小值为?

D.方程/'（x）=l在区间［-高，等J上的所有实根之和为［

【正确答案】BD

【分析】根据图象求出周期，再根据图象所经过的点，求出函数的解析式，再根据正弦型函

数的对称性、最值进行逐一判断即可.

【详解】由已知，A=2,《=与一普=（，因此7=不，

<w=—=2

7T

所以/(x)=2sin(2x+e),过点■

eu4打3万c,

因此――+(p=――+2k兀,keZ,又。<lsK万，

32

所以"（x）=2sin（2x+7）

对A,>=小-卷=2sin2x图象关于原点对称，故A错误;

对B,当》=-合时，/（-3=0,故B正确；

对C,因为|/(为)区2,依%)|<2,%>/(%)=-4,

所以有/(司)=2,/(刍)=-2,或/(5)=-2,/但)=2,

当/®)=2J®)=-2时,

TTTTTTJ7T

2x+—=2Z]7TH——(kGZ),2xi+—=2&2乃H---(k,£Z),

t62t62

则有%=%乃十三(k、GZ),x2=攵24+至(&£Z),

63

|%+司=K乃+^+忆2万+半....57r

—(匕+&)乃+—,

因为K，&eZ,所以当仁+他=-1时，卜|+司“血=?

当/a)=-2J(w)=2时,

2x+—=2k.^+—(k.eZ),2x,+—=2k,兀+三(k,eZ),

62-62

27r7t

则有％=&九+——(%eZ),x=A2"+—(%€Z),

362

7r+-2^7r-+k7T+—71=+k)7T+—,

上+即=A22

h3~66

因为K&eZ,所以当匕+&=-1时，|内+4汕=》故。不正确；

对D,当-々4x4冬时，2x+Je[0,4汨，所以y=1与函数y=〃”有4个交点令横坐

12126

标为X],x,x,x,%1+x,+x+Xj=—x2+——x2=--,故D正确.

234~3663

故选：BD

12.下列几个说法，其中正确的有()

已知函数“X)的定义域是(；，8,则/优)的定义域是(-1,3]

A.

B.函数/(x)=sinx-x有且只有1个零点

—x~+(3Q—2)X—8,XK14

C.若〃力=,在R上是增函数，则实数。的取值范围是+8

logax,x>l

2在区间一最；上的最大值与最小值分别为M和

D.若函数7(xbsinx+x-^^m,则

Af+〃？=-2

【正确答案】ABD

【分析】对A：根据函数的定义域的定义运算求解；对B：先证/(x)为奇函数，分类讨论,

结合奇函数的对称性、正弦函数的有界性以及三角函数的定义分析运算；对C：根据分段函

2

数的单调性分析运算；对D：构建g(x)=sinx+x-算行+1,先证g(x)为奇函数，结合奇

函数的性质分析运算.

【详解】对A：令]<2*48,即2一：2"23,

注意到y=2*在定义域内单调递增，则—1<x43,

故/(2、)的定义域是(-1,3],A正确；

对B：*.*/(x)+/(―x)=(sinx—x)+[sin(―x)—(―=(sinx—x)+(―sinx+x)=0,

・・・/(x)为奇函数，

当%>四时，，则/(x)=sinx-xvsinx—二KI—二vO,

222

故在C，+s)内无零点；

当xe畤时，令/(x)=sinx_x=O,则sinx=x,

如图所示：点P为任意角x与标准单位圆的交点，点A(1,O),则x为AP的长/,sinx=\PB\,

由图可得俨网4/,即sinxWx,当且仅当x=O时，等号成立，

故f(x)的零点为0；

综上所述：函数f(x)=sinx-x在[0,+司内有且只有•1个零点0,

结合奇函数的对称性可得：函数f(x)=sinx-x有且只有1个零点0,B正确；

yf

log“x,x>l

411

贝ljv。>1,解得—<a<—r

3a-\l<0

411

故实数。的取值范围是-,y,C错误;

2

对D：4>^(^)=sinx+x-——-+1,

3+1

sin(-x)+(-x)-^-j-+l

；g(X)+g(T)=sinx+x—+1|+

3'+l)

sinx+x—+112X3X22(3,+】)0

+-sinx--x--------F12----------=U,

3V+1)3V+13X+1

:，g(x)为奇函数,

设g(x)在一；，；上的最大值为M'=g(x0),

由奇函数的性质可得g(x)在上的最小值为m'=g(To)=-g(Xo)=-M',

2

rff

***/(X)=sinx+x-=g(x)-l,可得M=M-l9/n=/n-l=—M-l,

3r+l

故M+“=(M'—1)+(——=—2,D正确;

故选：ABD.

方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解

题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函

数的性质解决问题.

三、双空题

13.已知sinc,cosa是关于x的一元二次方程2x2_x-，〃=0的两根，则

sina+cosa=,m=.

13

【正确答案】y/0.5-/0.75

【分析】根据给定条件，利用韦达定理结合同角公式求解作答.

【详解】因为sina,cosa是关于无的一元二次方程2九2_尤_机=。的两根，则△=1+8加之0,

即m>--,

8

1

sina+cosa=—

显然，2又si/a+cos2a=1,B|J(sina+coscz)2-2sinacosa=1,

.m

sinacosa=---

12

于是%"=八解得吟，而当，"V时，方程改7-＞。的两根为竽，满足

,符合题意,

13

所以sina+cosa=一,m=一.

24

跖13

故万；4

四、填空题

14.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的

六位数有一个.（用数字作答）

【正确答案】300

【分析】先求出总的排列数，再根据题意消去不符合的情况.

【详解】不考虑限制条件，由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数有&种.

题中要求个位数字比十位数字小，即个位与十位上的数字一定，则所求的六位数有

笔=300（个）

故300

15.若sinx+sin3x+sin5x=。，cosx+cos3x+cos5x=Z?,则tan3x=结果用b表

示.

【正确答案】f

【分析】由和差化积公式求出sin5x+sinx=2sin3xcos2x,cos5x+cosx=2cos3xcos2x,

口…sinx+sin3x+sin5x

从而得到cs3x+cos5x=tan3x,得到答案.

土

【详解】由和差化积公式得:sin5x+sinx=2sin.'cos__-=2sin3xcos2x

22

尸3x+5x5x-x^c

cos5x+cosx=2cos--------cos--------=2cos3xcos2x,

22

sinx+sin3x+sin5x=2sin3xcos2x+sin3x=sin3x(2cos2x+l),

cosx+cos3x+cos5x=2cos3xcos2x+cos3x=cos3x(2cos2x+l),

山sinx+sin3x+sin5xsin3x(2cos2x+l)

故---------；------丁=tan3x

cosx+cos3x+cos5xcos3x(2cos2x+l)

故tan3x=—.

h

故答案为9

b

16.已知函数y（x）=4sinxcosx-2sin2x+2cos2x+l,则下列说法中正确的是.

①/（X）一条对称轴为X=-;

O

②将八幻图象向右平移二个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；

4

③若，图=6+1,贝（Jtanx=4+V15;

④若函数y=f（等｝。>0）在区间方,兀上恰有2个极大值点，则实数。的取值范围是

'll

【正确答案】①③

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简/“）,根据利用整体代换可计算判断出①，根据

三角函数的平移规律可判断②，根据三角函数和、差公式可计算得出③，利用特殊值可判断

④.

【详解】/（x）=4sinxcosx-2sin2x+2cos2x+1=2sin2x+2cos2x+1=2夜sin（2x+；）+l

令2XH—=—i-kit,解得x=—i--,ZeZ,当k=0时，x=—,①正确；

42828

/（X）图象向右平移;个单位，再向下平移1个单位后

4

y=2五sin21-力+：+1-1=2应sin（2x-：）,新函数非奇非偶,②错误；

sinx+cosx=^-,等号左右两边平方可得2sinxcosx=],

24

2sinxcosx12tanx

则「-------一=—?----—，解得tanx=4±V15③正确;

sm-x+cos-x4tanx+14

>=/（三）=2夜sin（@x+：J+l,当兀恰好是函数极大值时，那么函数一个周期正好为

〉吟…，因为3忖，卦所以④错误；

故①③

五、解答题

17.已知角a的终边经过点尸。〃,逐），cosa=显

6

⑴求tana的值；

〜cos（7i+a）-sin--a-

（2）求（2J的值.

sin（-a）

【正确答案】（1）有

⑵乎

【分析】（1）先由三角函数定义列方程求得机，再以三角函数定义求得tana的值即可;

（2）先依据三角函数诱导公式化简代数式，再以同角三角函数关系去求解即可解决.

【详解】(1)由cosa=9=-y=q=,解得加=1.

6\]nr+5

所以tana=—=y/5

m

cos(7i4-a)-sinl-a-coscz-costz

(2)

-sina

sin(-a)

2cosa22y]5

sinatana5

18.已知函数/(x)=sin(<yx+°)[°>0,网<]x=2是函数/（X）的对称轴，且在区间

6

712乃

上单调.

（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得/*）的解析式存在，并求出其解析

式;

条件①：函数"X）的图象经过点

条件②：是f（x）的对称中心；

条件③：（卷刀］是/⑴的对称中心•

(2)根据(1)中确定的/(x),求函数y=/(x)xe0,]的值域.

TT

【正确答案】(l)/(x)=sin(2x+7)

rr-jr

【分析】(1)根据题意得到0＜。＜2和2xty+gM)+1(ZeZ),

再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；

(2)先求出2x+TJT所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.

【详解】(1)因为f(x)在区间(1,寻］上单调，所以9=9，

VoJJ2362

2冗

因为7=］77，且。＞0，解得0＜。42；又因为x=/是函数f(x)的对称轴,

画6

所以军x＜y+(p=k7t+—(^eZ)；

62

若选条件①：因为函数f(x)的图象经过点A(o,；1所以Sine=g,

因为I0＜g，所以8=2，所以gx＜y+£=Z;r+3,即O=6k+2(keZ),

TT

当％=0时，①=2,满足题意，故/(x)=sin(2x+：).

6

若选条件②：因为(?，0)是/(X)的对称中心，所以?*0+*=根开(机eZ),

—XG+夕41+一

所以，()<GK2

此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.

71

—xa)+(p=m7r

若条件③：因为［w，oj是/(X)的对称中心，所以石■X0+s=,"；r(WJ€Z),

7T,71

—XCO+(p=K7r+—

71

所以1O<342，解得W(0—6—,所以f(x)=sin(2x+TTB).

c6

54

—xa)+(p=m7r

TT

(2)由(1)知，/(x)=sin(2x+-),

6

TT71

所以y=.f(x)xe等价于〃x)=sin(2x+”xe0八,y,

717117t71i

所以2X+工€所以sin(2x+")w--,1

oo2

即函数y=f（x）xe0,1］的值域为•一；」

19.某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公

共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.

（1）这6名乘客在不一样的车站下车的概率为多少？

（2）这6名乘客中恰有3人在终点站下车的概率为多少？

【正确答案】（1）0.1512；

（2）0.01458.

【分析】（1）试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有io,种结果，而满足条

件的事件是6位乘客在其不相同的车站下车共有种结果，根据公式得到结果；

（2）试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有106种结果，而满足条件的6

位乘客中恰有3人在终点站下车有C；。种结果，根据公式得到结果.

【详解】（1）解：试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有io,种结果，

而满足条件的事件是6位乘客在其不相同的车站下车共有种结果，

根据古典概型的概率公式得到P=^=0.1512.

（2）解：试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有IO,种结果，

而满足条件的6位乘客中恰有3人在终点站下车有戢种结果，

其他三人在其余9个车站下车的可能有9*,共有9,C：,

•••根据古典概型的概率公式得到尸=崇=001458.

20.己知<0,cosa=,sinp=—^~.

22105

⑴求cos（a-£）的值；

（2）求a-2s的大小.

【正确答案】（1）-巫

10

【分析】（1）先通过条件求出sina,COS/,再利用两角差的余弦公式计算cos（a-⑶即可;

(2)通过(1)求出tana,tan2夕，再利用两角差的正切公式计算tan(a-24),即可求出

a-2£的大小.

【详解】⑴0<a</JT</?<0,cosa=^-,sin/3=一更~

210Z5

..r.------7及

.sincr=VI-cosa=----，cos/?=Jl-sin2/?,

10

:.cos(a-jS)=cosacos+sinasin/3-xx--=-----.

5)10,

/八,/八psma+osin/?

(2)由(1)得tana=----=7,tan/?=­J

cosacosp

tana-tan2/7

tan(a-2yff)=

1+tanatan2/7

由0<a<]IF,-y7T</?<0M0<a-2/?<37yr,

:.a-2/3=—

21.已知函数/(x)=2sin<yxcos0x+2&cos2(yx(<w>0)的最小正周期为兀.

(1)求f(x)的解析式;

⑵若关于x的方程f(x)=G+a在区间0胃上有相异两解小士

求：①实数。的取值范围；

②sin(X1+&)的值.

【正确答案】⑴/(x)=2sin(2x+»+6

⑵①［君,2),②3

【分析】(1)根据三角恒等变换公式将“X)化简，然后由“X)的最小正周期为兀，解得。，

即可得到函数“X)的解析式；

(2)将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得〃的范围，然后由

正弦函数的对称性即可得到sin(5+X?)的值.

【详解】(1)/(x)=2sin@xcos0x+2Gcos2s

=sin2(ox4-5/3cos2cox+\[3=2sin(2s+1)+G.

因为f(x)的最小正周期为兀，所以卢=兀，解得0=1.

,八兀/口。瓦兀4兀

由xw。，/,得2尤+§£y，—，

y=2sinx在号/上单调递增，在py上单调递减,且2s呜=百，

7[47r

做出y=2sinx在-,y上的图像如图，

由图可知，要使函数y=2sin(2x+5)与N=a的图像在区间0段上有两个交点，则有

y/3<a<2>

所以实数4的取值范围为[6,2).

②由(1)和正弦函数的对称性可知2%+g与2%+g关于直线对称，

则有2%+自+2占+^=兀，所以%+々=?，

336

所以sin(N+/)的值为g.

22.已知函数〃x)=log2(x+l),g(x)是定义在R上的奇函数，且当04x41时，

g(x)=f(x)，且对任意xeR,都有g(x)+g(x+2)=0.

⑴求使得/(lan》T)+/(3tanx-l)<0成立的x的取值集合；

⑵求证：g(x)为周期为4的周期函数，并理按3学g(x)在区间[-2,2]上的解析式;

⑶若不等式g(-sin2x+sinx+4)<a(e>+e-，)对任意x,yeR恒成立，求实数a的取值范围.

【正确答案】(1),兀,加+e)(%€2)

log2(-x+3),XG(l,2]

log2(x+l),xe[0,l]

(2)证明见详解,g(x)=<

-log?(-X+l),x€[—1,0)

-log?(x+3),xe[—2,—1)

(3)[-l+-log25,+co

【分析】(1)根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；

(2)根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数g(x)的性质求解析式；